2026肇庆重点校高二下学期4月期中考试数学试题含解析

这是一份2026肇庆重点校高二下学期4月期中考试数学试题含解析，共32页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. （ ）
A. 0B. 1C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据求导公式计算即可.
【详解】因为，所以.
2. 用1，2，3，4能写成没有重复数字的3位数的个数是（ ）
A. 24B. 12C. 36D. 6
【答案】A
【解析】
【详解】由1，2，3，4组成没有重复数字的三位数的个数为从1，2，3，4四个数字中取出三个数字的排列的个数即个，
3. 已知函数的导函数的图象如图所示，则该函数的图象可能是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据导函数的正负确定原函数的单调性，即可结合图形求解.
【详解】由的图象可知：当和时，，故在单调递减，
当和时，，故在，单调递增，
故B正确，
故选：B
4. 已知曲线在处的切线方程是，则与分别为（ ）
A. 3，B. ，3C. 2，D. ，2
【答案】A
【解析】
【分析】根据导数的几何意义分别代入计算可得结果.
【详解】将代入直线方程可得，
因为切线的斜率为，所以，
因此与分别为3，.
故选：A
5. 春节某人计划去福建莆田旅游，打算从梅寺晨钟，石室藏烟，紫霄怪石，白塘秋月，湄屿潮音这5个景点中选3个景点去游玩，则不同的选择方法种数为（ ）
A. 60B. 20C. 12D. 10
【答案】D
【解析】
【分析】直接根据组合数的计算公式求解即可．
【详解】从5个景点中选3个景点去游玩，则共有．
故选：D．
6. 函数的单调递减区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先求导得到，再解不等式即可.
【详解】，令，解得.
所以，，为减函数.
故选：B
7. 若是函数的极小值点，则实数（ ）
A. 6B. 3C. 2D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】求出函数的导数，由题意得出，求出实数的值，并验证为函数的极小值点，得解.
【详解】易得，则，解得．
当时，，
所以当和时，，
当时，，故是的极小值点，符合题意．
所以.
故选：B.
8. 如图所示的五个区域中，现在要求在五个区域中涂色，现有四种颜色可供选择要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为（ ）
A. 64B. 72C. 84D. 96
【答案】B
【解析】
【详解】根据题意可知需要5步才能涂完，
第一步，涂区域，共有4种颜色可选；第二步，涂区域，共有3种颜色可选；
第三步，涂区域，共有2种颜色可选；
第四步，涂区域，
若和同色时，则第五步区域有2种颜色可选，
若和不同色时，区域只有一种颜色可选，则第五步区域有1种颜色可选，
利用分类加法和分步乘法计数原理可知共有种.
二、多选题
9. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用求导公式求出各个选项中函数的导数，再判断作答.
【详解】直接计算得，A正确；
，B错误；
，C正确；
，D正确.
故选：ACD
10. 盒子内有20个大小相同的球，其中有15个蓝球，5个红球，现从中取出3个球，则（ ）
A. 取出的3个球中恰好有1个蓝球的取法有种
B. 取出的3个球中恰好有1个蓝球的取法有种
C. 取出的3个球中至少有2个蓝球的取法有种
D. 取出的3个球中至少有1个红球的取法有种
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据组合数的计算方式，分类和分步求出各选项提出条件的不同取法数目.
【详解】取出的3个球中恰好一个蓝球，则还有2个红球，不同取法有，所以A正确，B错误.
取出的3个球中至少有2个蓝球，则分为两种情况，第一种2个蓝球加1个红球，
第二种3个蓝球，则不同取法有，所以C正确.
取出的3个球中至少有1个红球，则在所有取法中减去没有红球的取法即可，
不同取法有，所以D正确.
故选：ACD.
11. 函数，下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则的极大值点为
C. 当时，有3个零点
D. 若，则
【答案】AD
【解析】
【分析】对于A：直接代入求解即可；对于B：利用导数分析得单调性，进而可得极值点；对于C：利用导数分析的单调性，进而可得零点；对于D：令，构造，利用导数可证，即可得结果.
【详解】由题意可知：的定义域为，且，
令，解得或.
对于选项A：若，解得，故A正确；
对于选项B：若，则，
当时，；当时，；
可知在内单调递增，在内单调递减，
所以为的极小值点，故B错误；
对于选项C：若，则，
当时，；当时，；
可知在内单调递增，在内单调递减，
则的极大值为，极小值为，
当趋近于时，趋近于，所以有且仅有1个零点，故C错误；
对于选项D：若，令，
构造，则，
可知在内单调递增，则，
即，可得，整理可得，故D正确.
三、填空题
12. 从这四个数中任取两个相乘，可以得到不相等的积的个数为________.
【答案】
【解析】
【分析】利用组合数的运算直接求解即可.
【详解】从四个数中任取两个数的取法个数为.
故答案为：
13. 已知函数，则曲线在处的切线方程为___________．
【答案】
【解析】
【详解】因为，所以，则，，
则曲线在处的切线方程为：，即：，移项得：.
14. 函数有两个不同的零点,则实数a的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】函数有两个不同的零点，等价于方程有两个不同的实根,当时，方程左边为，故不是根，因此可分离参数得：
,问题转化为：直线与函数的图象有两个不同的交点，通过求导分析的单调性、极值，即可确定的取值范围
【详解】由，得,
当时，左边，等式不成立，故不是根，；
当时，分离参数得​，令，则问题等价于与的图象有两个不同的交点,
,
因此在上恒成立,
所以在和上分别单调递减，
由于当，时，，时，，此时的值域为，
当，时，，时，，此时的值域为，
则的大致图像如下：
所以要使与的图象有两个不同的交点，则
四、解答题
15. 4名男生和3名女生共7人排成一排.（下列问题的结果全部用数字表示）
（1）如果男生甲不站在队伍的两头，有多少种不同的排法；
（2）如果全部男生相邻，有多少种不同的排法；
（3）如果女生不能相邻，有多少种不同的排法；
（4）如果队伍的两头均是女生且男生甲不站中间，有多少种不同的排法.
【答案】（1）3600
（2）576 （3）1440
（4）576
【解析】
【分析】（1）应用特殊元素优先处理结合排列数及组合数运算求解；
（2）应用捆绑法结合排列数及组合数运算求解；
（3）应用插空法结合排列数及组合数运算求解；
（4）应用特殊元素优先处理结合排列数及组合数运算求解.
【小问1详解】
男生甲不站在队伍的两头，有种排法；
【小问2详解】
全部男生相邻，有种排法；
【小问3详解】
女生不能相邻，有种排法；
【小问4详解】
队伍的两头均是女生且男生甲不站中间，有种排法；
16. 设函数，．
（1）若，求曲线在处的切线方程；
（2）求函数的单调区间．
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）由可求出的值，再利用导数的几何意义可求出所求切线的方程；
（2）求得，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间.
【小问1详解】
因为，则，解得，故，
所以，所以，
此时，曲线在处的切线方程为，即.
【小问2详解】
因为，则，
当时，则，
即函数的单调递减区间为，没有单调递增区间；
当时，由可得，由可得.
此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
综上所述，当时，函数的单调递减区间为，无单调递增区间；
当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
17. 已知函数.
（1）求函数的单调区间以及极值；
（2）求函数在上的最小值.
【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；极大值为，无极小值
（2）1
【解析】
【分析】(1)先求函数的定义域，然后对函数求导，利用导数的正负，求得函数的单调区间，从而可求得函数的极值;
(2)根据第(1)小问的单调性，确定函数在区间上的单调性，从而函数的最小值是，比较和的大小，求得函数的最小值.
【小问1详解】
函数的定义域是.
又，令，得，令，得，
故函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以函数的极大值为，无极小值.
【小问2详解】
由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减，
所以在上的最小值为.
因为，所以，
所以函数在上的最小值为1.
18. 已知函数的图象经过点．
（1）求曲线在点A处的切线方程．
（2）曲线是否存在过坐标原点的切线？若存在，求切点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）曲线存在过坐标原点的切线，且切点的坐标为或．
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；
（2）设出过坐标原点的切线方程以及切点坐标，利用导数的几何意义以及切点既在切线上也在曲线上列出方程组求解即可.
【小问1详解】
依题意可得，则,
∵，∴，
∴曲线在点（1，5）处的切线方程为，
即；
【小问2详解】
设过原点的切线方程为，则切点为，
则,消去k，整理得，
解得或，
所以曲线存在过坐标原点的切线，且切点的坐标为或．
19. 某学校高二年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对某“著名品牌”系列进行市场销售量调研，通过对该品牌的系列一个阶段的调研得知，发现系列每日的销售量（单位：千克）与销售价格（元/千克）近似满足关系式，其中，为常数.已知销售价格为6元/千克时，每日可售出系列15千克.
（1）求函数的解析式；
（2）若系列的成本为4元/千克，试确定销售价格的值，使该商场每日销售系列所获得的利润最大.
【答案】（1）；（2）当销售价格为5元/千克时，系列每日所获得的利润最大.
【解析】
【详解】分析：（1）根据题意已知销售价格为6元/千克时，每日可售出系列15千克.即可求出a得到解析式；（2）设该商场每日销售系列所获得的利润为，然后根据利润计算式得出具体表达式，然后根据导数求最值思维求解即可.
详解：
（1）有题意可知，当时，，即，
解得，
所以.
（2）设该商场每日销售系列所获得的利润为，则
，
，
令，得或（舍去），
所以当时，为增函数；
当时，为减函数，
故当时，函数在区间内有极大值点，也是最大值点，
即时函数取得最大值.
所以当销售价格为5元/千克时，系列每日所获得的利润最大.
点睛：考查函数的表示，导函数最值的应用，正确理解题意，写出具体表达式，然后借助导数分析思维求解是解题关键，做此类题要有耐心，认真审题，读懂题意，属于中档题.