浙江省杭州市2025-2026学年第一学期高三期末测试数学试卷含答案

这是一份浙江省杭州市2025-2026学年第一学期高三期末测试数学试卷含答案，共9页。试卷主要包含了 考试结束，只需上交答题卡．， 已知A，B两点均在双曲线C， 已知抛物线C等内容，欢迎下载使用。
1. 本科考试分为试题卷和答题卷两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2. 请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡指定的区域（黑色边框）内作答，超出答题区域的作答无效．
3. 考试结束，只需上交答题卡．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合A={−2,−1,0,1}，B={x|x2−2x≤0}，则A∩B=（ ）
A. {0}B. {−1,0}
C. {0,1}D. {−1,0,1}
2. 设复数z满足z(2−i)=1+2i，则|z|=（ ）
A. 1B. 3
C. 2D. 5
3. 已知k为实数，a=(k,2)，b=(1,k−1)，则“k=2”是“向量a，b共线”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 某校举办了一次以“消防安全”为主题的知识竞赛，现随机抽取了100名学生的成绩（单位：分）作为样本进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，记样本数据的众数为p，中位数为m，平均数为x¯，则（ ）
A. m0，t>0，且s+t=1，证明：psqt≤ps+qt．
高三数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 223π
13. 1718
14. (0,2)
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15. 【答案】（1）设数列{an}的公差为d，{bn}的公比为q，
由题意得{a1+d=55a1+5×42d=40，解得{a1=2d=3，所以an=3n−1，−−−−−−−−−−−−−−−−−−−3分
又{b1q2=4b1q3=8，解得{b1=1q=2，所以bn=2n−1；−−−−−−−−−−−−−−−−−−−6分
(2)由条件得cn={3n−2,n为奇数2n−1,n为偶数，−−−−−−−−−−−−−−−−−−−8分
所以{cn}的前2n项和c1+c2+c3+c4+⋯+c2n−1+c2n
= (a1+a3+⋯+a2n−1)+(b2+b4+⋯+b2n)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−10分
= [2+8+⋯+(6n−4)]+(2+8+⋯+22n−1)=3n2−n+22n+1−23。−−−−−−−−−−−−−−−−−−−13分
16. 【答案】(1)采用宣传方法一宣传后的人是“比较了解”的概率为2430=45，−−−−−−−−−−−−−−−−−−−2分
则P(X=0)=152=125，P(X=1)=C21×45×15=825，P(X=2)=452=1625，
−−−−−−−−−−−−−−−−−−5分
故E(X)=0×125+1×825+2×1625=85．−−−−−−−−−−−−−−−−−−7分
（2）抽取的10人中，了解程度为“比较了解”的有10×3660=6人，且采用方法一宣传的有6×2436=4人，
采用方法二宣传的有6×1236=2人．−−−−−−−−−−−−−−−−−−9分
记事件A表示“第一次抽到比较了解的人”，
事件B表示“第二次抽到采用宣传方法一宣传且了解程度为比较了解的人”，
则P(A)=2+410=35，P(AB)=C61C41+C41C31A102=29，−−−−−−−−−−−−−−−−−−12分
所以P(B|A)=P(AB)P(A)=2935=1027−−−−−−−−−−−−−−−−−−15分
17．【答案】（1）∵EF∥平面PBC，EF⊂平面PAC，平面PAC∩平面PBC=PC
∴EF∥PC−−−−−−−−−−−−−−−−−−1分
∴AE:EC=AF:FP，∵AB∥CD，CD=2AB，∴AE:EC=AB:CD=1:2
∴AFFP=12−−−−−−−−−−−−−−−−−−3分
（2）取PD的中点H，连接AH、GH，∴HG∥CD，HG=12CD，
∵CD∥AB，AB=12CD，∴HG∥AB且HG=AB，即四边形ABGH为平行四边形，
∴AH∥BG−−−−−−−−−−−−−−−−−−4分
在∆PAD中，H为PD中点，∴AH⊥PD
∵AB⊥AD，AB⊥PA，PA∩AD=A，∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥AH
又∵CD∥AB，∴AH⊥CD，∵CD∩PD=D，∴AH⊥平面PCD−−−−−−−−−−−−−−−−−−6分
∵AH∥BG ∴BG⊥平面PCD．−−−−−−−−−−−−−−−−−−7分
(3)取AD的中点O，BC的中点Q，连接OQ，OP，由条件知OD，OQ，OP两两垂直，以O为原点，OD，OQ，OP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O−xyz，则D(1,0,0)，B(−1,1,0)，P(0,0,3)，C(1,2,0)．−−−−−−−−−−−−−−−−8分
所以BD→=(2,−1,0)，BP→=(1,−1,3)，设平面PBD的一条法向量为n→=(x,y,z)．
由{n→⋅BD→=0n→⋅BP→=0得到{2x−y=0x−y+3z=0，取{x=3y=23z=1，即n→=(3,23,1)．−−−−−−−−−−−−−−−−10分
设CM→=λCP→，λ∈[0,1]，
则DM→=DC→+λCP→=(0,2,0)+λ(−1,−2,3)=(−λ,2−2λ,3λ)．−−−−−−−−−−−−−−−−11分
设直线DM与平面PBD的所成角为θ，
则sinθ=|DM→·n→||DM→||n→|=|−3λ+43−43λ+3λ|3+12+1·λ2+(2−2λ)2+3λ2=3|λ−1|22λ2−2λ+1=155−−−−−−−−−−−−−−−−13分
化简得3λ2+2λ−1=0，解得λ=13或λ=−1（舍去），
所以|CM→|=13|CP→|=13·(0−1)2+(0−2)2+(3−0)2=223．
故线段CM的长度为223．−−−−−−−−−−−−−−−−15分
18．【答案】(1)椭圆C的离心率为223，所以ca=223，即c2=89a2．−−−−−−−−−−−−−−−−1分
因为|AB|2=a2+b2=10，−−−−−−−−−−−−−−−−2分
又a2=b2+c2，解得a=3，b=1，
所以椭圆C的标准方程为x29+y2=1．−−−−−−−−−−−−−−−−4分
（2）（i）设直线l的方程为y−1=k(x−2)，其中k>0，且k≠23，M(x1,y1)，N(x2,y2)，
联立方程组{y−1=k(x−3)x29+y2=1，整理得(9k2+1)x2−(54k2−18k)x+81k2−54k=0，
所以x1+x2=54k2−18k9k2+1，x1x2=81k2−54k9k2+1．−−−−−−−−−−−−−−−−6分
（i）所以1k1+1k2=x1y1−1+x2y2−1=x1k(x1−3)+x2k(x2−3)=1k·x1x1−3+x2x2−3
=1k·2x1x2−3(x1+x2)(x1−3)(x2−3)=1k·2x1x2−3(x1+x2)x1x2−3(x1+x2)+9=1k·2·81k2−54k9k2+1−3·54k2−18k9k2+181k2−54k9k2+1−3·54k2−18k9k2+1+9=1k·162k2−108k−162k2+54k9k2+181k2−54k−162k2+54k+81k2+819k2+1=1k·−54k81=−54k81k=−6，
故1k1+1k2为定值．−−−−−−−−−−−−−−−−−−−9分
（ii）直线BM的方程为y=k1x+1，令y=0，得x=−1k1，故T−1k1,0，
设直线BN与x轴交于点Q，直线BN的方程为y=k2x+1，令y=0，得x=−1k2，故Q−1k2,0，
由（i）可知，1k1+1k2=−6，故−1k1−1k2=6，所以点A(3,0)是线段TQ的中点．
故∆BNT的面积S=2S∆BAN=2×12×|AB|×d=10d，其中d为点N到直线AB的距离．−−−−−−−−−−−−−−−−12分
显然，当过点N且与直线AB平行的直线l'与椭圆C相切时，d取最大值．
设直线l'的方程为y=−13x+m(m0)，−−−−−−−−−−−−−−−−2分
当m≥0时，f'(x)