重庆市第八中学校2026届高三下学期模拟预测数学试题（含解析）高考模拟

这是一份重庆市第八中学校2026届高三下学期模拟预测数学试题（含解析）高考模拟，共10页。试卷主要包含了填空题等内容，欢迎下载使用。
1. 若 ，则 （ ）
A. 0B. 1C. D. 2
【答案】B
【解析】
【详解】依题意， z=2i−i=i ，所以.
2. 已知集合 M=x∈N∣6−x∈N ，则 的子集个数是（ ）
A. 63B. 64C. 127D. 128
【答案】D
【解析】
【分析】根据子集的个数公式计算即可.
【详解】因为M=x∈N∣6−x∈N，
所以M=0,1,2,3,4,5,6，有7个元素，
故子集个数为.
3. 为等比数列 的前 项和， ，对 ∀n∈N∗ ，甲： ；乙： ；则（ ）
A. 甲是乙的充分不必要条件
B. 甲是乙的必要不充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲是乙的既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【详解】充分性：由 可得Sn+1−Sn=an+1>0；
因此可知等比数列的各项均为正数，所以公比，
当时，满足，当时，满足，因此充分性不成立；
必要性：因为，若，可得等比数列为递增数列，且各项均为正数，
所以，因此Sn+1=Sn+an+1>Sn，即必要性成立.
即可得甲是乙的必要不充分条件.
4. 设圆 与圆 交于 两点，则线段 的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】圆，圆.
展开圆：，即.
两圆方程相减得公共弦：.
圆心到直线2x+2y−1=0的距离：.
圆半径，弦长.
5. 某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻出演且前3个节目中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有（ ）种.
A. 216B. 360C. 432D. 672
【答案】C
【解析】
【分析】借助插空法解决不相邻要求，用排除法解决前3个节目至少有一个机器人节目要求
【详解】步骤1：先排 4 个歌舞节目：，排好后会产生 5 个空位（包括两端）；
步骤2：将 2 个机器人节目插入空位：；
步骤3：排除“前3个节目全是歌舞”的情况：先从4个歌舞节目中选3个排在前3个位置，有种方法，
剩下的1个歌舞节目和2个机器人节目排在后3个位置，且机器人节目不相邻，只能是“机器人-歌舞-机器人”的排列，
有种方法.故不满足条件的情况有.
故总数为：
故选：C
6. 函数对应的图象如图，点为图象与轴的交点，点为图象的最高点，点为图象的最低点， 若，则的值为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】化简得到fx=3sin(ωx+φ)，得到的最大值为，最小值为，设的中点为，得到点和点都在轴上，由，得出，设的最小正周期为，列出关于的方程，求得，进而得到的值.
【详解】由函数fx=sinωx+2csωx=3sin(ωx+φ)，其中，
可得函数的最大值为，最小值为，
因为点为图象的最高点，可得，点为图象最低点，可得，
点是图象与轴的交点，可得，
设的中点为，因为和的纵坐标互为相反数，所以，
所以点和点都在轴上，
在中，因为，所以，且为的中点，
根据直角三角形的性质，可得，
过点分别作的平行线，交于点，则，
设函数的最小正周期为，
可得AM=12T，BC=BN2+CN2=(23)2+(12T)2=12+14T2，
因为，可得，解得，所以.
7. 在正四棱锥中，，当过，，三点的球的体积最小时，该球被平面所截截面的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分析过，，三点的球体积最小时，球心为正三角形的中心，再求出球心到截面的距离，利用求截面圆半径即可得解.
【详解】由题意，是边长为4的正三角形，设过，，三点的球心为，半径为，
则球中过，，三点的截面圆圆心为的中心，截面圆的半径.
设球心到截面圆的距离为，则，要使球的体积最小，则最小，
当时，有最小值为，此时、重合，即球心为的中心，
如图，作出符合题意的图形，
设为正方形的中心，为的中点，
连接、、、，过作，交于点N，
则为正四棱锥的高，PQ=PB2−BQ2=42−222=22，
由知，平面，且，
即球心到截面的距离为，
所以截面圆的半径为R2−ℎ2=4332−2232=2103，
所以球被平面所截截面的面积为S=π×21032=40π9.
8. 某商场有4种礼品，每次随机抽取一种（有放回），共抽4次． 记为被抽到次数最多的礼品的抽中次数（若并列，则取该次数），则（ ）
A. B. C. 2D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】确定随机变量的取值，分别计算每个取值的概率，再根据期望公式求解即可.
【详解】被抽到次数最多的礼品的抽中次数的可能取值为1，2，3，4.
：4次抽取中每个礼品都恰好被抽到1次，即4个礼品的排列，
故.
：4次都抽到同1个礼品，故.
：有1个礼品被抽到3次，另1个礼品被抽到1次，故.
所以.
故.
二、共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分．在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分．
9. 已知 ，若对都成立，下列说法正确的有（ ）
A.
B. 是的一个对称中心
C. 的最小正周期为
D. 先将函数图象上所有的点向左平移个单位长度，再把横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，则得到的函数解析式为
【答案】BC
【解析】
【分析】对于A，根据题意fxmax=fπ3，计算的值；对于B，根据对称中心的概念计算即可；对于C，根据最小正周期公式计算即可；对于D，根据平移变换计算即可.
【详解】对于A，因为对都成立，
则fxmax=fπ3，
则2⋅π3+φ=π2+2kπ,k∈Z，且，
所以，,
所以，故A错误，
对于B，代入，得fπ12=sin2⋅π12−π6=sin0=0，
因此 是的一个对称中心，B正确
对于C，的最小正周期为，
的图象是将在x轴下方的部分翻折x轴上方，最小正周期变为原来的，
故的最小正周期为，C正确，
对于D，向左平移个单位长度得fx+π6=sin2x+π6−π6=sin2x+π6，
横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标不变，则得gx=sin2⋅12x+π6=sinx+π6，故D错误.
10. 已知，若，则下列选项正确的是（ ）
A. 有两个极值点
B. 当时，
C. 当时，
D. 对任意的实数 ．
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用导数的单调性和极值点进行判断即可.
【详解】由得，
令得. 则时，递减；
时，，递增；
时，，递减.
选项A，有两个极值点（极小值点）和（极大值点），A正确；
选项B，当时，，在递增，递减，
最大值为，且时，故，
又，所以，
时，的取值范围是，即，B正确；
选项C，当时，，在单调递减，故，
所以，即，C错误；
选项D，对任意实数，当时的最大值为，
若，包含极大值点，，
又可知，当时，，故此时的最大值为，所以；
若，在递减，，故的最大值为0，所以，
因此所有，即，D正确.
11. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，， 是椭圆上异于左、右顶点的一点， 下列说法正确的有（ ）
A. 的周长为
B. 若，则的最小值为
C. 满足是直角三角形的点有 8 个
D. 的最大值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】由椭圆的定义可得的周长，判断A；根据两点间的距离公式，联立椭圆方程可得其最小值，判断B；分、、三种情况得到点个数，判断C；将看作是椭圆上的点与点连线的斜率，设直线的方程为，由直线与椭圆有交点，求得取值范围，从而得到的最大值，判断D.
【详解】
对于A：易知，，则.
由椭圆的定义可知，，
所以的周长为PF1+PF2+F1F2=25+2c=25+4，故A正确；
对于B：PA=x0−12+y02=x02−2x0+1+1−x025=45x0−542+34，x0∈−5,5.
当时，PAmin=34=32，故B错误；
对于C：易知，当或时，是直角三角形，此时点共有4个；
以为直径作圆，圆心为原点，半径，而椭圆上的点到原点距离的范围为b,a=1,5，
故圆与椭圆有4个交点，结合圆的性质可知，此时满足条件的点有4个；
综上，满足是直角三角形的点有 8 个，故C正确；
对于D：可以看作是椭圆上的点与点连线的斜率.
设该直线的方程为.
联立x25+y2=1y=kx+4，整理得5k2+1x2+40k2x+80k2−5=0，
Δ=40k22−45k2+180k2−5=−220k2+20，
由，得，即，解得.
所以的最大值为，故D正确.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 已知 的展开式中，只有 的系数最大，则 的系数和为_____．
【答案】256
【解析】
【详解】二项式 展开式的系数与该项的二项式系数相等，
则二项式 展开式中，只有 的二项式系数最大，而含的项是展开式的第5项，
于是该展开式共有9项，即，解得，
所以 1+x8 的系数和为.
13. 已知双曲线：的左右焦点分别为，，过的直线与圆相切于点，且直线与双曲线的右支交于点，若，则双曲线的离心率为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，作出图形，结合双曲线第一定义，再将所有边长关系转化到直角三角形中，化简求值即可
【详解】
如图，由题可知，，则，
又，，，
又，
作，可得，，则
在，，即，
又，化简可得，同除以，得
解得
双曲线的离心率为
本题考查了利用双曲线的基本性质求解离心率的问题，利用双曲线的第一定义和中位线定理将所有边长关系转化到直角三角形中是解题关键，一般遇到此类题型，还是建议结合图形来进行求解，更直观更具体
14. 设 ，若对 ，则 _____．
【答案】24
【解析】
【详解】，，
代入，可得，即，
展开，可得，
即，
化简可得，
因为，当时，代入可得，恒成立，
当时，化简可得
代入，可得
即，
设函数，
因为是开口向上的二次函数，且，又要满足当时，
所以必须是函数的重根，即另一个根，解得，
，解得，
所以.
四、共 5 小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程
15. 某电商对旗下100名客服人员 “双十一”当天的订单处理量(单位：千件)进行统计，将所得数据按 分成4组，制成如图所示的频率分布直方图．
（1）求图中的值及订单处理量的第75百分位数；
（2）假设订单处理量在的客服中有2名女性，现从该区间的客服中随机抽取3人进行奖励，记为抽取的女性人数．求X的分布列和数学期望．
【答案】（1）180 （2）
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图的性质即可求得a的值，结合百分位数的含义即可求得第75百分位数；
（2）求出订单处理量在中的客服人数，根据超几何分布的概率计算可求 的分布列和数学期望 .
【小问1详解】
由题意得10a=1−10×0.020+0.040+0.030,∴a=0.010，
设订单处理量的第75百分位数为，前两组频率之和为0.6，前三组频率之和为0.9，
则x∈175,185，∴0.60+x−175×0.030=0.75，解得，
订单处理量的第75百分位数为180.
【小问2详解】
订单处理量在中的客服人数为，其中女性2人，男性8人，
表示抽取的女性人数，的可能取值为
，
，
，
的分布列：
计算期望：.
16. 记为数列的前项和，已知 ．
（1）求的通项公式；
（2）记集合an an2+2an≤m,m∈N∗的元素的个数为 ，求数列的前项的和．
【答案】（1）
（2）2497
【解析】
【分析】（1）根据的关系求通项公式；
（2）利用等差数列的前项和公式求解.
【小问1详解】
已知​ ①当时，②，
①②得，整理得，说明是常数列.
令，代入得； 令，得2(a1+a2)=2a3=6，
即，结合解得.
因此，即，验证满足条件和​，通项正确，
所以的通项公式为.
【小问2详解】
将代入不等式得，整理为，
解得， 是该区间内正整数的个数，
当时，不等式无解，；
当时，仅满足，；
当（m∈N∗）时， 由分子有理化得，
而2m−1