四川省成都市2025_2026学年高一数学上学期期中试题含解析

这是一份四川省成都市2025_2026学年高一数学上学期期中试题含解析，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

考试时间：120 分钟 总分：150 分
第 I 卷（选择题）
一、单选题（本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分.）
1. 已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接求交集得到答案.
【详解】集合 ，集合 ，则 .
故选：A
2. 已知命题 ， ，则 是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题判断即可.
【详解】命题 ， 为全称量词命题，
则 是： ， .
故选：C
3. 设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
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【解析】
【分析】先解出不等式 ，再判断充分性和必要性即可.
【详解】由于不等式 的解集为 ，则 可推出 ，反之不成立，
所以“ ”是“ ”的充分而不必要条件．
故选：A.
4. 下列命题中错误的是（ ）
A. 若 ， ，则
B. 若 ， ，则
C. 若 ，则
D. 若 ，则
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式的性质判断 A、C，利用作差法判断 B，利用特殊值判断 D.
【详解】对于 A：因为 ，所以 ，又 ，所以 ，故 A 正确；
对于 B：因为 ， ，所以 ，
所以 ，所以 ，故 B 正确；
对于 C：因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，故 C 正确
对于 D：当 时 ，故 D 错误.
故选：D
5. 下列函数中，最小值为 2 的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
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【解析】
【分析】结合二次函数的性质、基本不等式等知识确定正确选项.
【详解】 ，A 不符合题意.
，当且仅当 ，即 时，等号成立，显然 不可
能成立，B 不符合题意.
，当且仅当 ，即 时，等号成立，C 符合题意.
当 时， ，D 不符合题意.
故选：C
6. 已知集合 ， ，若 ，则实数 取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解分式不等式化简集合 ，从而求出 ，再由 得到 ，从而求出参数的取值
范围.
【详解】不等式 等价于 ，解得 或 ，
所以 或 ，则 ，
又 ，若 ，则 ，所以 ，
即实数 的取值范围是 .
故选：B
7. 已知函数 定义域是 ，且满足 ， ，如果对于任意
，都有 ，则不等式 的解集为（ ）
A. B. C. D.
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【答案】D
【解析】
【分析】首先求出 ，原不等式 ，即为 ，再由单调
性即可得到不等式组，解出即可．
【详解】因为 ， ，所以 ，
由于对于任意 ，都有 ，所以 在 上单调递减，
不等式 即为 ．
则原不等式即为 ，解得 ，
即不等式 的解集为 ．
故选：D．
8. 如图，直线 l 的解析式为 y=-x+4，它与 x 轴和 y 轴分别相交于 A，B 两点．平行于直线 l 的直线 m 从原点
O 出发，沿 x 轴的正方向以每秒 1 个单位长度的速度运动．它与 x 轴和 y 轴分别相交于 C，D 两点，运动时
间为 t 秒(0≤t≤4)，以 CD 为斜边作等腰直角三角形 CDE(E，O 两点分别在 CD 两侧)．若△CDE 和△OAB 的
重合部分的面积为 S，则 S 与 t 之间的函数关系的图象大致是
A. B.
C. D.
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【答案】C
【解析】
【分析】分别计算出 和 时, S 与 t 之间的函数关系,再结合四个选项即可判断出答案.
【详解】当 时, ,
当 时, ,
分析四个选项可知,选 C.
故选:C
【点睛】本题考查了求分段函数的解析式,考查了函数的图象的识别,属于基础题.
二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分）
9. 下列命题正确的是（ ）
A. 与 不是同一个函数
B. 的值域为
C. 函数 的单调递减区间是
D. 若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为
【答案】AD
【解析】
【分析】根据函数的三要素及函数的性质分别判断即可.
【详解】A 选项： ，与 不是同一个函数，A 选项正确；
B 选项： ，定义域： ，即 ，设 ，则 ，
又 在 上单调递增，在 上单调递减，且 单调递增，所以函数
在 上单调递增，在 上单调递减，所以当 时， 取最大值为 ，当
或 时， 取最小值为 ，所以函数 的值域为 ，B 选项错误；
C 选项： 的单调递减区间为 和 ，C 选项错误；
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D 选项：函数 的定义域为 ，即 ，则 ，所以函数 的定义域为 ，
D 选项正确；
故选：AD.
10. 已知正实数 m，n 满足 ，则（ ）
A. m＋n 的最小值是 2 B. 的最小值是 1
C. 的最小值是 2 D. 的最大值是 4
【答案】ABC
【解析】
【分析】由已知可得 ，根据基本不等式依次判断各选项即可.
【详解】正实数 m，n 满足 ，所以 ，
所以 ，当且仅当 时等号成
立，故选项 A 正确；
，故 ，当且仅当 时等号成立，故选项 B 正确；
，当且仅当 时等号成立，故选项 C 正确；
，当且仅当 时等号成立，故选项 D 错误，
故选：ABC
11. 德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称“戴德金分割”），并把
实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了数学史上的第一次大
危机．将有理数集 划分为两个非空的子集 与 ，且满足 ， ， 中的每一
个元素都小于 中的每一个元素，则称 为戴德金分割．试判断下列选项中，可能成立的是（ ）
A. ， 满足戴德金分割
B. 没有最大元素， 有一个最小元素
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C. 有一个最大元素， 有一个最小元素
D. 没有最大元素， 也没有最小元素
【答案】BD
【解析】
【分析】根据 即可判断 A；可举出例子判断 BD；C 选项，推理出
，即可判断 C.
【详解】A 选项， ， ，
故 ，A 错误；
B 选项，设 ， ，满足 ，
此时 为戴德金分割，且 没有最大元素， 有一个最小元素，B 正确；
C 选项，若 有一个最大元素， 有一个最小元素，则 ，C 错误；
D 选项，设 ，满足 没有最大元素， 也没有最小元素，D
正确.
故选：BD.
第 II 卷（非选择题）
三、填空题（本大题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分）
12. 命题“ ，x2+2x﹣m≥0“为真命题，则实数 m 的最大值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】二次函数恒大于等于零，只需要 ，列出不等式，解出来即可求出其最大值.
【详解】由题可知 ，解得 ，所以实数 m 的最大值为 .
故答案为： .
13. 已知函数 是定义在 上的单调递增函数，则实数 a 的取值范围是______．
【答案】
【解析】
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【分析】分段函数 在 上单调递增，则在两个分段区间上都单调递增，且在 上的最大值要不
大于 上的任意函数值，据此解答即可.
【详解】因为 在 上单调递增，
所以当 时， 在 上单调递增，
又因为 开口向下，对称轴为 ，
所以 ，故 ，且 在 上的最大值为 ，
当 时， 在 上单调递增，
所以由幂函数的性质可知 ，且 ，
故 ，得 ，
由于以上条件要同时成立，故 ，即 .
故答案 ： .
14. 已 知 ， 是 定 义 在 上 的 函 数 ， 其 中 是 偶 函 数 ， 是 奇 函 数 ， 且
，若对于 ，都有 ，则实数 的
取值范围是______________．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数奇偶性求得 ，再根据函数的单调性求参数范围即可.
【详解】根据题意， ，则 ，
又 是偶函数， 是奇函数，则 ，故可得 ；
因为对于 ，都有 ，即
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，
故 在 单调递减；
当 时， 满足题意；
当 时，要满足题意，则 ，解得 ；
当 时，要满足题意，则 ，解得 ；
综上所述， 的取值范围为： .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：本题综合考查函数的性质，处理问题的关键是要根据 构造
，属中档题.
四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分）
15. 已知 是定义在 上 奇函数，当 时， ，且 .
（1）求 的值及 ；
（2）求 在 上的解析式.
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】（1）代入解析式求出 的值，即可得到 解析式，再求出 ，最后根据奇函数的性
质计算可得；
（2）根据奇函数 性质求出当 时 的解析式，再由 ，即可得解.
【小问 1 详解】
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因为当 时， ，且 ，
所以 ，解得 ，所以 ，
则 ，
又 是定义在 上的奇函数，所以 ；
【小问 2 详解】
因为 是定义在 上的奇函数，当 时， ，
所以 ，
令 ，则 ，所以 ，
又 为奇函数，所以 ，则 ；
综上可得 .
16. 已知函数 ， .
（1）当 时，判断函数 的奇偶性；
（2）当 时，判断函数 在 上的单调性，并用定义证明.
【答案】（1） 是奇函数
（2） 在 上单调递增，证明见解析
【解析】
【分析】（1）求出函数的定义域，再计算 即可判断；
（2）利用函数的单调性的定义即可判断与证明.
【小问 1 详解】
是奇函数，
当 时， ，则定义域为 ，定义域关于原点对称，
又 ，所以 是奇函数．
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【小问 2 详解】
当 时函数 在 上单调递增，
证明如下：
设任意的 且 ，
则
，
因为 且 ， ，
所以 ， ，则 ，
所以 ，即 ，即 ，
所以 在 上单调递增．
17. 已知集合 ，集合 .
（1）当 时，求 ；
（2）若“ ”是“ ”的充分不必要条件，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）解分式不等式化简 ，解一元二次不等式化简 ，再根据补集、交集的定义计算可得；
（2）分 、 、 三种情况讨论，分别求出 ，依题意 ，再分别得到不等式组，求
出 的取值范围，最后再取并集.
【小问 1 详解】
由 ，即 ，即 ，
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等价于 ，解得 ，
所以 ，
当 时不等式 即 ，解得 ，
所以 ，
所以 或 ，则 ；
【小问 2 详解】
对于不等式 ，
当 ，即 或 时，解得 ，即 ；
当 ，即 或 时，解得 ，即 ；
当 ，即 时，解得 ，即 ；
因为“ ”是“ ”的充分不必要条件，
所以 ；
当 时满足 ，即 或 符合题意；
当 或 时 ，则 ，解得 ；
当 时 ，则 ，解得 ；
综上可得实数 的取值范围为 .
18. 习近平总书记指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山”.新能源汽车环保、节能，以电代油，减少排放，
既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向.为响应国家节能减排的号召，某汽车制造企业计划
在 2019 年引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本 2500 万元，每生产 （百辆），
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需另投入成本 万元，且 ，该企业确定每辆新能源汽车售价为 6
万元，并且全年内生产的汽车当年能全部销售完.
（1）求 2019 年的利润 （万元）关于年产量 （百辆）的函数关系式 （其中利润＝销售额－成本）
（2）2019 年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求最大利润.
【答案】（1） （2）2019 年产量为 100 百辆时，企业所获利润最
大，最大利润为 1800 万元
【解析】
【分析】（1）根据投入成本函数 是分段函数，所以分 和 时两种情况讨论，再根据
利润函数 的定义，与出函数解析式.
（2）根据（1）知 ，当 时，用二次函数求最大值.当
时，用基本不等式法求最大值，然后两者中取最大的为利润函数的最大值，此时 的取值即为产量.
【详解】（1）根据题意得：
当 时， ，
当 时， ，
所以 .
（2）当 时， ，
∴当 时， 取得最大值 1500；
当 时， ，
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当且仅当 即 时取等号.
∴综上，当 时， 取得最大值 1800.
即 2019 年产量为 100 百辆时，企业所获利润最大，最大利润为 1800 万元.
【点睛】本题主要考查了分段函数的在实际问题中的应用，还考查了分类讨论，运算求解的能力，属于中
档题.
19. 已知函数
（1）解关于 的不等式 ；
（2）若对任意的 ， 恒成立，求实数 的取值范围
（3）已知 ，当 时，若对任意的 ，总存在 ，使
成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1）详见解析；（2） ；（3） .
【解析】
【分析】
（1）由不等式 转化为 ，分 ， ， 讨论求解.
（2）将对任意的 ， 恒成立，转化为对任意的 ， 恒
成立，当 ，恒成立，当 时， 恒成立，利用基本不等式求解.
（3）根据对任意的 ，总存在 ，使 成立，则 的值域是 的值域的
子集求解.
【详解】（1）因为函数 ，
所以 即为 ，
所以 ，
当 时，解得 ，
当 时，解得 ，
当 时，解得 ，
综上：当 时，不等式的解集为 ，
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当 时，不等式的解集为 ，
当 时，不等式的解集为 ，
（2）因为对任意的 ， 恒成立，
所以对任意的 ， 恒成立，
当 时， 恒成立，
所以对任意的 时， 恒成立，
令 ，当且仅当 ，即 时取等号，
所以 ，
所以实数 的取值范围是 .
（3）当 时， ，
因为 ，所以函数 的值域是 ，
因为对任意的 ，总存在 ，使 成立，
所以 的值域是 的值域的子集，
当 时， ，
则 ，解得
当 时， ，
则 ，解得 ，
当 时， ，不成立；
综上：实数 的取值范围 .
【点睛】方法点睛：双变量任意、存在恒成立问题：
若 ， 成立，则 ；
若 ， 成立，则 ；
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若 ， 成立，则 ；
若 ， 成立，则 ；
若 ， 成立，则 的值域是 的子集；
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