2026宜宾普通高中高三下学期第二次诊断性测试数学含解析

这是一份2026宜宾普通高中高三下学期第二次诊断性测试数学含解析，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试题
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．抛物线的焦点到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
3．已知向量，，若向量在方向上的投影向量为，则（ ）
A．B．1C．D．3
4．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
5．已知数列满足对任意的，都有．若，则（ ）
A．8B．18C．20D．27
6．已知，且，则（）
A．B．C．D．
7．已知定义在上的函数满足，若函数与函数的图象的交点为，，，，则（ ）
A．8B．C．12D．
8．已知，若，存在，使得成立，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．赓续绵延长江情，携手共谱新篇章．2026年央视春晚宜宾分会场筹备期间，某中学向全校学生征集“立上游-新宜宾”主题宣传文案，共收到500篇作品．由专业评委进行打分，满分100分，不低于60分为及格，不低于m分为优秀，若征文得分X（单位：分）近似服从正态分布，且及格率为80%，则下列说法正确的是（ ）
A．随机取1篇征文，则评分在内的概率为0.6
B．已知优秀率为20%，则
C．越大，的值越小
D．越小，评分在的概率越大
10．定义在上的函数，对都有，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．数列单调递减
C．D．数列的前n项和为，则
11．已知正三棱台，上底面边长为2，下底面ABC边长为6，侧棱长为4，点在侧面内（包含边界）运动，且，Q为上一点，且，则下列说法正确的是（ ）
A．正三棱台的高为
B．高为，底面半径为的圆柱可以放进该棱台内
C．点P的轨迹长度为
D．过点的平面截该棱台内最大的球所得的截面面积为
三、填空题
12．若复数z满足，则复数______．
13．等比数列的前n项和为，若，，则________．
14．已知在圆锥中，高长为，底面圆的直径长为，点为母线的中点．过点用平行于母线的平面去截圆锥，得到的截口曲线是抛物线，则该抛物线的焦点到点的距离为________．
四、解答题
15．已知的内角A、B、C的对边分别为，满足．
(1)求A；
(2)设点D为上一点，是的角平分线，且、，求的长度．
16．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点M在C上，轴，且．
(1)求C的方程；
(2)过点的直线交C于不同的两点A、B，于点H，证明：直线HB过定点．
17．某大学进行强基计划测试，已知有6名学生进入最后面试环节，且这6名学生全都来自A、B、C三所学校，其中A、B、C三所学校参加面试的学生人数比为．该大学要求所有面试考生面试前到场，并随机给每人安排一个面试号码，按面试号码k由小到大依次进行面试，每人面试时长5分钟（假定相邻两名考生之间面试时无缝衔接），面试完成后自行离场．
(1)求面试号码为3的学生来自A校的概率；
(2)记随机变量X表示从1号学生开始面试到A校最后一名学生完成面试所用的时间，求X的分布列与数学期望；
(3)求A校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试（A校所有参加面试的学生完成面试，B、C两校都还有学生未完成面试）的概率．
18．在四棱锥中，四边形为矩形，为锐角三角形，，，，为棱的中点，平面与平面的交线为，直线与相交于点．
(1)求线段长度的最小值；
(2)若异面直线与所成角为．
（ⅰ）求平面与平面夹角的余弦值；
（ⅱ）求三棱锥的外接球的表面积．
19．已知函数．
(1)判断函数在区间上极值点的个数，并说明理由；
(2)将函数在区间上的极值点从小到大排列，形成数列，数列满足：．
证明：（ⅰ）；
（ⅱ）．
参考答案
1．C
【详解】，，
则.
2．B
【详解】抛物线的焦点为，
则该点到直线的距离.
3．D
【详解】（方法一）由题意，， ，
向量在方向上的投影向量为，
，，，
，，．
（方法二）由题意，向量在方向上的投影向量为，
，，，，，．
故选：D.
4．B
【详解】因为双曲线（，）的离心率为，
所以，则，
所以，则，
所以双曲线的渐近线方程是.
5．C
【详解】因为数列满足对任意的，都有，，
所以，当时，，解得；
当时，，解得；
所以
6．D
【详解】设，因为，所以.
所以， ， .
因为，所以，，故；
而，所以，，
因为函数在时单调递减，且，所以，即.
综上，.
7．A
【详解】由可得，，所以函数关于点对称.
函数的定义域为.
因为，
所以函数关于点对称.
因此函数与函数的图象的交点也关于点对称.
若是两函数图象的交点，则一定是两函数图象的交点，
那么，.
所以.
8．B
【详解】命题“，存在，使得成立”的否定为：
，对，不等式恒成立，
而，，令，
函数，函数的最小正周期为，不妨令，
当时，，此时，则；
当时，，函数在上递减，在上递增，
；
当时，，；
当时，，函数在上递减，在上递增，
；
当时，，，
由，对，不等式恒成立，得，
即，而，解得，
因此当，存在，使得成立时，，
所以的最大值为.
9．AD
【详解】对于A，由题意可知，，
，
，由对称性可知，
，故A正确；
对于B，由题意可知，，
因为，所以，故B不正确；
对于C，因为是该正态分布图象的对称轴，所以，
不会随的变化而变化，故C错误；
对于D，由对正态分布图象的影响可知，越小，图象越“瘦高”，
因此在区间对应图象的面积变大，所以评分在的概率越大，故D正确；
10．ACD
【详解】由函数方程可得，又，
可推出，可得，对任意正整数数成立.
对于选项:正确.
对于选项:递增，故单调递减错误.
对于选项:是凸函数，满足，正确.
对于选项:前项和，正确.
11．ABD
【详解】延长正三棱台侧棱相交于点，由题意可知：，
在等腰梯形中，因为，，，则.
即为等边三角形，可知三棱锥为正四面体，且.
对于A：设为等边的中心，
由正四面体的性质可知：侧面，且，
即点到底面的距离为，
又因为，，所以正三棱台的高为，故A正确；
对于B，设的内切圆的半径为，则根据等面积法有：，解得，
因为正三棱台的高为，的内切圆的半径为，且，
所以高为、底面半径为的圆柱可以放进该棱台内，故B正确；
对于C，由A选项知，侧面，且，
因为点在侧面内（包含边界）运动，且
所以，
因为等边三角形的内切圆的半径为， 又，，
所以，点在侧面内的轨迹为弧和，
而,故，故为等边三角形，
所以，所以点的轨迹长度为，故C错误；
对于D，设正四面体的内切球的半径为，
由等体积法可得，解得，
因为，所以该棱台内最大的球即正四面体的内切球，
又因为，，，
所以为的中点，过点，，的平面正好过该内切球的球心，
所以截面面积为，故D正确．
12．
【详解】由，得，
则.
13．
【详解】设等比数列的公比为，
当时，由，
由，这与相矛盾，所以不成立，
当时，，
.
14．
【详解】记过点且平行于的平面与底面圆的交点为；
在三角形中，因为分别为的中点，
故//，且；
截面过点，且与平行，故点在截面上，则；
根据对称性可知抛物线的对称轴为，焦点在上，
以为坐标原点，为轴，截面内过且垂直于的直线为轴建立如下坐标：
则，；
设抛物线方程为，因为其过点，
故，解得，则抛物线的焦点到点的距离为.
15．(1)
(2)
【详解】（1）已知，
由正弦定理得，
，，
，即，
，又，
；
（2） 是的角平分线，
由（1）知，，则，
因为，
则，
因为，，即有，
故．
16．(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）将代入中得，，则，
因为，所以，
又，得，
故C的方程为；
（2）若直线斜率不为，则设直线，，，
联立，得，
则，
得，，
因为，则，
则直线的方程为，
令，得，
则直线HB过定点；
若直线斜率为，则直线HB为轴，过点；
故直线HB过定点.
17．(1)；
(2)
；
(3).
【详解】（1）面试号码为3的学生有6个不同结果，面试号码为3的学生来自A校的事件有3个不同结果，
所以面试号码为3的学生来自A校的概率为.
（2）令随机变量为A校最后一名学生的面试号码，则，
可得的所有可能取值为，的所有可能取值为，
则，，
，，
所以的分布列为
数学期望.
（3）依题意，6名学生按编号的试验有个基本事件，
而A校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试的事件，是A校学生的最大编号为3的事件，
与A校学生的最大编号为4的事件，且B校学生编号不小于5的事件的和，它们互斥，
而A校学生的最大编号为3的事件有个基本事件；
而A校学生的最大编号为4，且B校学生编号不小于5的事件有，
所以A校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试的概率为.
18．(1)
(2)；
【详解】（1）因为，平面，平面，则平面，
且平面，平面平面，所以，
又因为，，，平面，可得平面，
以为坐标原点，分别为轴，过点垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，
设，则，，，
可得，则，
可得，，，
则，，
由题意可知：直线的一个方向向量为，且，
设，则，
因为，则，可得，
则，即，
则，
令，则，
当且仅当时，等号成立，
所以线段BQ长度的最小值为.
（2）由（1）可知：，，
由题意可得：，
解得，即，则，，，，.
（ⅰ）因为，，，
设平面的法向量为，则，
设，则，可得；
设平面的法向量为，则，
设，则，可得；
则，
所以平面PCD与平面QCD夹角的余弦值为；
（ⅱ）设三棱锥的外接球的球心为，半径为，则，
即，解得，
可得，所以三棱锥的外接球的表面积为.
19．(1)有两个极值点，理由见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）因为，所以.
设，，
当时，因为，，在上单调递减，
得，所以在上无零点，
当时，因为，，在上单调递增，
且，，所以在上有唯一零点，
当，因为，，所以在上单调递减，
因为，，所以在上有唯一零点.
综上，函数在区间上有两个零点且在零点左右函数符号发生改变，
故函数在区间内恰有两个极值点.
（2）（ⅰ）由（1）可知，在无极值点，
在有极小值点，即为，在有极大值点，即为，
同理可得，在有极小值点，在有极值点，
由得，
因为，所以，
因为，，，，
所以，，
因为，
由函数在单调递增，得，
所以，
（ⅱ）同理，，
，
由于在上单调递减得，
所以，且，，
当为偶数时，从开始相邻两项配对，每组和均为负值，
即，
当为奇数时，从开始相邻两项配对，每组和均为负值，多出最后一项也是负值，
即，
综上，对一切，成立，得，
又，所以，
则，15
20
25
30
15
20
25
30