四川省宜宾市2026届高三下学期第二次诊断性测试数学试卷含解析（word版+pdf版）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 已知集合 ,则
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】 ,故 .
2. 抛物线 的焦点到直线 的距离为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题可知,抛物线 的焦点 ,
则焦点 到直线 的距离 .
3.已知向量 ，若向量 在 方向上的投影向量为 ，则
A. -1 B. 1 C. -3 D. 3
【答案】D
【解析】由题意， ， ， 向量 在 方向上的投影向量为 ，
.
4.双曲线 的离心率为 ,则其渐近线方程为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意,该双曲线的离心率 ,则 ,
所以该双曲线的渐近线方程为 即 .
5.已知数列 满足对任意的 ,都有 . 若 ,则
A. 8 B. 18 C. 20 D. 27
【答案】C
【解析】因为 ,令 ,得 ,
所以数列 为公差为 2 的等差数列, .
6.已知 ,且 ,则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】令 ,则 为 的交点横坐标, 为 的交点横坐标, 为 的交点横坐标,结合图像可知: .
7.已知定义在 上的函数 满足 ,若函数 与函数 的图象的交点为 ,则
A. 8 B. C. 12 D.
【答案】A
【解析】 ,所以 关于点 对称,
,
则 ,所以 亦关于点 对称,
所以两函数图象的交点也关于点 对称,
.
8.已知 ,若 ,存在 ,使得 成立,则 的最大值为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由 ,存在
,又 ,所以 的最大值为 .
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.赓续绵延长江情，携手共谱新篇章. 2026 年央视春晚宜宾分会场筹备期间，某中学向全校学生征集“立上游.新宜宾”主题宣传文案，共收到 500 篇作品. 由专业评委进行打分，满分 100 分， 不低于 60 分为及格，不低于 分为优秀，若征文得分 (单位:分) 近似服从正态分布 ,且及格率为 80%,则下列说法正确的是
A. 随机取 1 篇征文,则评分在 内的概率为 0.6
B. 已知优秀率为 20%,则
C. 越大, 的值越小.
D. 越小，评分在 的概率越大
【答案】AD
【解析】对于 ,由题意可知, ,根据对称性可知, 0.6,故 正确;
对于 ,由题意可知, ,因为 ,所以 ,故 错误;
对于 ,因为 是该正态分布图象的对称轴,所以 ,不会随 的变化而变化,故 错误; 对于 ,由 对正态分布图象的影响可知, 越小,图象越“瘦高”,因此在区间 对应图象的面积变大，所以评分在 的概率越大，故 正确.
10.定义在 上的函数 ,对 都有 ,且 , 则下列说法正确的是
A.
B. 数列 单调递减
C.
. 数列 的前 项和为 ,则
【答案】ACD
【解析】对于 ,令 ,得 ,故 正确;
对于 ,令 ,可得 ,所以 ,且 ,
所以，数列 是首项为 1，公比为 2 的等比数列，所以， ,
所以, ,即 ,故数列 单调递增,故 错误;
对于 ,函数 满足 ,都有 ,令 ,
则 ,即 ,则 ,
所以, ,当且仅当 时,等号成立, 故 正确；
对于 ,故 正确.
11.已知正三棱台 ，上底面 边长为2,下底面 边长为6,侧棱长为4, 点 在侧面 内 (包含边界) 运动,且 为 上一点,且 ,则下列说法正确的是
A. 正三棱台 的高为
B. 高为 ,底面半径为 的圆柱可以放进该棱台内
C. 点 的轨迹长度为
D. 过点 的平面截该棱台内最大的球所得的截面面积为
【答案】ABD
【解析】如图，延长正三棱台的侧棱相交于点 ，
由题意可知， .
在等腰梯形 中，因为 ，
所以 ，即 为等边三角形，
所以三棱锥 为正四面体，且 .
对于 ,设 为等边三角形 的中心,由正四面体的性质可知,
侧面 ，且 ，
即点 到底面 的距离为 ，又因为 ， ，
所以正三棱台 的高为 ，故 正确；
对于 ，因为正三棱台 的高为 ， 的内切圆的半径为 ，且 ，
所以高为 ,底面半径为 的圆柱可以放进该棱台内,故 正确；
对于 ,且 ,所以 ,且等边三角形 的内切圆的半径为 ,
,可知点 轨迹与等边三角形 的三边相交,且边上两交点的距离为 2,故其对应圆心角为 , 所以点 的轨迹长度为 ,故 错误;
对于 ,设正四面体 的内切球的半径为 ,由等体积法可得 ,
解得 ,因为 ,所以该棱台内最大的球即为正四面体 的内切球,
又因为 ,所以 为 的中点,过点 的平面正好过该内切球的球心, 所以截面面积为 ，故 正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.若复数 满足 ，则复数 ________.
【答案】
【解析】由题意得 .
13.等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 _______.
【答案】84
【解析】 ,所以 ,
.
14.已知在圆锥 中,高 长为 2,底面圆的直径 长为 8,点 为母线 的中点. 过点 用平行于母线 的平面去截圆锥,得到的截口曲线是抛物线,则该抛物线的焦点到点 的距离为________.
【答案】
【解析】建立如图平面直角坐标系,设抛物线与底面圆的一个交点为 ,
则 ,设抛物线方程为 ,则 ,解得: ,则抛物线的焦点到 点的距离为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.已知 的内角 的对边分别为 ,满足 .
(1)求A；
(2)设点 为 上一点， 是 的角平分线，且 ， ，求 的长度 .
【解析】( 1 )由 及正弦定理得 .2 分
而 ,整理得 .4 分
因为 ,所以 .6 分
(2) 是 的角平分线，则 ， .8 分
可得 .10 分
因为 ,即有 ,
故 .13 分
16.已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点 在 上， 轴,且 .
(1)求 的方程；
(2)过点 的直线交 于不同的两点 于点 ，证明:直线 过定点.
【解析】(1) 由题意知, .1 分
令 ,则 ,得 ,则 .2 分
又 ,得 ,故 的方程为 .5 分
(2)由题意可知，当直线 的斜率不为 0 时，设 ， ， ，
联立 ,得 ,解得
则 .8 分
则直线 的方程为
令 ,所以 .12 分
即 ,恒过点 ,
当直线 的斜率不为 0 时,则 ,则 ,也过点 .14 分
故直线 过定点 .15 分
17.某大学进行强基计划测试，已知有 6 名学生进入最后面试环节，且这 6 名学生全都来自 ， ， 三所学校，其中 三所学校参加面试的学生人数比为 3:1:2. 该大学要求所有面试考生面试前到场,并随机给每人安排一个面试号码 ,按面试号码 由小到大依次进行面试,每人面试时长 5 分钟 (假定相邻两名考生之间面试时无缝衔接), 面试完成后自行离场.
(1)求面试号码为 3 的学生来自 校的概率；
(2)记随机变量 表示从 1 号学生开始面试到 校最后一名学生完成面试所用的时间，求 的分布列与数学期望；
(3)求 校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试( 校所有参加面试的学生完成面试后, 两校都还有学生未完成面试) 的概率.
【解析】
(1) 因为 三所学校参加面试的学生人数共 6 人，且人数比为 3:1:2，则 校参加面试的学生有 3 名, 校参加面试的学生有 1 名, 校参加面试的学生有 2 名.
记“面试号码为 3 的学生来自 校”为事件 ，故 .3 分
(2)将 校 3 名学生面试号码的安排情况作为样本空间，则样本点总数为 ，
若前三位均为 校学生,此时 ,此时 3 号一定为 校学生,1,2号也安排 校学生,
故 ,故 ,
若最后一名 校学生在 4 号,此时1,2,3号中安排两个号码给 校学生,
故 ,
若最后一名 校学生在 5 号,此时1,2,3,4号中安排两个号码给 校学生,
故 ,
若最后一名 校学生在 6 号,此时1,2,3,4,5号中安排两个号码给 校学生,
故 ,
所以 的分布列为:
.10 分
(3)记“最后面试的学生来自 校”为事件 ，“最后面试的学生来自 校”为事件 ，显然事件 ， 互斥.
记“ 校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试”为事件 ，则 .
当事件 发生时,只需考虑 两所学校所有参加面试的学生中最后面试的那位来自 校,
则 .12 分
当事件 发生时,只需考虑 两所学校所有参加面试的学生中最后面试的那位来自 校,
则 .14 分
所以 .15 分
(另解: )
18.在四棱锥 中,四边形 为矩形, 为锐角三角形, 为棱 的中点,平面 与平面 的交线为 ，直线 与 相交于点 .
(1)求线段 长度的最小值；
(2)若异面直线 与 所成角为 .
( i ) 求平面 与平面 夹角的余弦值;
(ii) 求三棱锥 的外接球的表面积.
【解析】(1) 如图,取 的中点为 ,连接 ,
由 ,得 ,
因为四边形 为矩形,所以 ,
则 ,所以 四点共面,
因为 ,所以 的延长线相交,设交点为 ,
因为 平面 平面 ,所以 平面 平面 ,
即 为平面 与平面 的公共点,
又 为平面 与平面 的公共点,连接 ,则直线 即为交线 ,
因为在同一平面内两条相交直线有且仅有 1 个交点,所以 与 重合,
取 的中点为 ,连接 ,设 ,则
因为 ,同理 ,所以 .
因为 ,所以
当 时， 长度有最小值 5 分
(2) (i) 设 为 的中点,连接 ,如图所示,
由 (1) 知 ,
所以几何体 是以 和 为底面的三棱柱,
因为, ,且 ,所以 平面 ,即 平面 ,
三棱柱 为直三棱柱,则
又因为异面直线 与 所成角为 ,三角形 为锐角三角形,所以 ,
即三棱柱 为正三棱柱 .7 分
又因为 ,所以
所以
所以 ,则 ,
所以 为二面角 的平面角 .9 分
在直角三角形 中, ,
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 . .11 分
(ii) 由 (i) 知 平面 ,以 为原点,以过点 且在平面 内与 垂直的直线为 轴, 所在直线分别为 轴, 轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则 ,
设球心 ,半径为 ,则 ,
所以 ①, ②,
③, ④,
由①②③④,解得 ,
所以球心 的坐标为 ,则 ,
所以球 的表面积为 .17 分
19.已知函数 .
(1)判断函数 在区间 上极值点的个数，并说明理由;
(2)将函数 在区间 上的极值点从小到大排列，形成数列 ，数列 满足: .
证明: ;
(ii) .
【解析】(1) 因为 ,设 ,则 ,
在 上单调递减, 在 上无零点 .1 分
在 上单调递增, 在 上有唯一零点 .2 分
在 上单调递减, 在 上有唯一零点 .3 分
综上,函数 在区间 上有两个零点且在零点左右函数符号发生改变,
故函数 在区间 内恰有两个极值点 .5 分
(2)
在 有极值点 ,在 有极值点 ,
在 有极值点 ,在 有极值点 ,在 有极值点 ,且 ,
根据函数 和 图象的交点情况可知,当 时 ,
,
,
由函数 在 单调递增,得 ,
,
由 在 单调递减,得 ,
. 11 分
(ii) 同理 ,
由 在 上单调递减得 ,
所以 ,且 ,
当 为偶数时,从 开始相邻两项配对,每组和均为负值,
即 ;
当 为奇数时,从 开始相邻两项配对,每组和均为负值,多出最后一项也是负值,
即 ,
综上,对一切 成立,得 .
又 ,所以 ,
则 ,所以 ,即证.17 分15
20
25
30