2026年广东中考数学二轮复习课件：结合证明与计算专题九 圆的综合（含答案）

这是一份2026年广东中考数学二轮复习课件：结合证明与计算专题九 圆的综合（含答案），共32页。PPT课件主要包含了∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，又OA＝OC，∵∠DCA＝∠B，2求DE的长等内容，欢迎下载使用。
切线的证明是中考常考考点，常见的题型有两类：(1)直线与圆有 公共点：连半径，证垂直；(2)不知道直线与圆是否有公共点：作垂 线，证半径．除了切线的证明外，圆的综合题常考求线段的长度、证明 线段之间的关系，证明角之间的关系等，解决这类的关键是通过弧找到 相关的角之间的关系，从而实现转化．
切线的判定
1． (证两线平行)如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直 径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC，交AC的延长 线于点E，连接BD，CD． 求证：DE是⊙O的切线．
证明：如图，连接OD． ∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠EAD． ∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA．
∴∠ODA＝∠EAD． ∴AE∥OD．
∴∠AED＋∠EDO＝180°.
∵DE⊥AE，∴∠E＝90°.
∴∠EDO＝90°，即OD⊥DE.
∵OD是⊙O半径，∴DE是⊙O的切线．
2． (证两角的和等于直角)如图，AB是⊙O的直径，C是圆上一 点，过点C的直线CD交BA延长线于点D，且∠DCA＝∠B，求证： CD是⊙O的切线．
∴∠CAB＋∠B＝90°.
∴∠CAB＝∠ACO.
∴∠DCO＝∠ACO＋∠DCA＝∠CAB＋∠B＝90°，
∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．
3． (证两个三角形全等)如图，AB为⊙O的直径，过圆上一点D作 ⊙O的切线CD交BA的延长线于点C，过点O作OE∥AD交CD于点 E，连接BE. 直线BE与⊙O相切吗？并说明理由．
解：直线BE与⊙O相切．理由如下：如图，连接OD． ∵CD与⊙O相切于点D，∴∠ODE＝90°.∵AD∥OE，∴∠ADO＝∠DOE，∠DAO＝∠BOE. ∵OD＝OA，∴∠ADO＝∠DAO. ∴∠DOE＝∠BOE. 又OD＝OB，OE＝OE，∴△DOE≌△BOE(SAS)．∴∠OBE＝ ∠ODE＝90°.∵OB是⊙O的半径，∴直线BE与⊙O相切．
4． 一题多解(作垂线，证半径)如图，∠APO＝∠BPO，PA与⊙O 相切于点M，连接OM. 求证：PB是⊙O的切线．
法1：证明：如图，过点O作ON⊥PB于点N. ∵PA与⊙O相切于点M，∴OM⊥PA．
∵∠APO＝∠BPO，∴PO是∠APB的平分线．∴ON＝OM.
∵OM为⊙O的半径，∴ON为⊙O的半径．∵ON⊥PB，∴PB是⊙O的切线．
法2：证明：如图，过点O作ON⊥PB于点N. ∵ON⊥PB，∴∠PNO＝90°.
∵PA与⊙O相切于点M，∴OM⊥PA． ∴∠PMO＝∠PNO＝90°.
∵∠APO＝∠BPO，PO＝PO，∴△PMO≌△PNO(AAS)．∴ON＝OM.
∵OM为⊙O的半径，∴ON为⊙O的半径．∵ON⊥PB，∴PB是 ⊙O的切线．
圆与三角形结合
5． (2024大庆)如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的 直径，将△ABC沿直线AB翻折到△ABD，点D在⊙O上．连接CD， 交AB于点E，延长BD，CA，两线相交于点P，过点A作⊙O的切线 交BP于点G.
(1)求证：AG∥CD；
(1)证明：∵将△ABC沿直线AB翻折到△ABD，∴AB⊥CD． ∵AB为⊙O的直径，AG是⊙O的切线，∴AG⊥AB． ∴AG∥CD．
(2)求证：PA2＝PG·PB；
6． (广东中考)如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC＝90°， 弦BD＝BA，AB＝12，BC＝5，BE⊥DC交DC的延长线于点E.
(1)求证：∠BCA＝∠BAD；
(1)证明：∵BD＝BA，∴∠BDA＝∠BAD． ∵∠BCA＝∠BDA，∴∠BCA＝∠BAD．
(3)求证：BE是⊙O的切线．
(3)证明：如图，连接OB，OD． 在△ABO和△DBO中，∵AB＝DB，BO＝BO，OA＝OD，∴△ABO≌△DBO(SSS)．∴∠ABO＝∠DBO. ∵∠ABO＝∠OAB＝∠BDC，∴∠DBO＝∠BDC． ∴OB∥ED． ∵BE⊥ED，∴EB⊥BO. ∵BO是⊙O的半径，∴BE是⊙O的切线．
7． (广东中考)如图1，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的 外接圆，过点C作∠BCD＝∠ACB交⊙O于点D，连接AD交BC于点 E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF.
(1)求证：ED＝EC；
(1)证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB． ∵∠BCD＝∠ACB，∠ABC＝∠ADC，∴∠BCD＝∠ADC． ∴ED＝EC．
(2)求证：AF是⊙O的切线；
(3)如图2，若点G是△ACD的内心，BC·BE＝25，求BG的长．
圆与四边形结合
8． (2023广东)综合探究
如图1，在矩形ABCD中(AB＞AD)，对角线AC，BD相交于点 O，点A关于BD的对称点为A′，连接AA′交BD于点E，连接CA′.
(1)求证：AA′⊥CA′.
(1)证明：∵点A关于BD的对称点为点A′，∴AE＝A′E，AA′⊥BD． ∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC． ∴OE∥A′C． 又AA′⊥BD，∴AA′⊥CA′.
(2)①证明：如答图1，设⊙O与CD切于点F，连接OF，并延长FO交AB于点G.
∴OF⊥CD，OF＝OE.
∵四边形ABCD是矩形，
∴OG⊥AB，∠FDO＝∠GBO，OA＝OB． ∴∠GAO＝∠GBO.
又∠DOF＝∠BOG，∴△DOF≌△BOG(ASA)．∴OG＝OF. ∴OG＝OE.
由(1)知，AA′⊥BD． 又OG⊥AB，∴∠EAO＝∠GAO.
∵∠EAB＋∠GBO＝90°，∴∠EAO＋∠GAO＋∠GBO＝90°.∴3∠EAO＝90°.∴∠EAO＝30°.
②如图3，⊙O与CA′相切，AD＝1，求⊙O的面积．
②解：如答图2，设⊙O切CA′于点H，连接OH. ∴OH⊥CA′.
由(1)知，AA′⊥CA′.∴OH∥AA′.
∴AA′＝2OH，CA′＝2OE.
∵OE＝OH，∴AA′＝CA′.∴∠A′AC＝∠A′CA＝45°.∴∠AOE＝ ∠A′CA＝45°.∴AE＝OE.
9． 一题多解(2024绥化)如图1，O是正方形ABCD对角线上一点， 以O为圆心，OC长为半径的⊙O与AD相切于点E，与AC相交于点F.
(1)求证：AB与⊙O相切．
(1)法1：证明：如图1，连接OE，过点O作OG⊥AB于点G.
∵⊙O与AD相切于点E，∴OE⊥AD．
∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC＝∠DAC＝45°.∴OE＝OG.
∵OE为⊙O的半径，∴OG为⊙O的半径．
又OG⊥AB，∴AB与⊙O相切．
法2：证明：如图1，连接OE，过点O作OG⊥AB于点G.
∵⊙O与AD相切于点E，∴OE⊥AD． ∴∠AEO＝∠AGO＝90°.
∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC＝∠DAC＝45°.
又AO＝AO，∴△AOE≌△AOG(AAS)．∴OE＝OG.