第06讲 圆的证明与计算（课件）2025年中考数学二轮复习讲练测（全国通用）

这是一份第06讲 圆的证明与计算（课件）2025年中考数学二轮复习讲练测（全国通用），共60页。PPT课件主要包含了圆的证明与计算，∠DCE，名师总结等内容，欢迎下载使用。
2大考点精讲+题型专训
圆的证明与计算是中考数学的重要组成部分，其题目类型多样，综合性强，对学生的逻辑思维和空间想象能力提出了较高要求。【考情分析】圆的证明与计算题型在中考中多以解答题形式出现，通常分为两问。第一问侧重于几何证明，常涉及切线的判定、圆心角与圆周角的关系等；第二问则注重计算，包括线段长度、面积求解以及角度的三角函数值等。这类题型不仅考查学生对圆的基本性质的掌握，还考查其综合运用几何知识的能力。【考点分析】1）切线的判定与性质：判定切线是中考的常见考点，通常需要学生通过证明直线垂直于过切点的半径来确认切线。此外，切线的性质，如切线长定理，也常在题目中出现。2）圆心角与圆周角：理解和运用圆心角与圆周角的关系是解题的关键。学生需要掌握圆周角定理及其推论，能够利用这些关系求解角度和线段长度。3）弦、弧、半径的关系：垂径定理及其相关推论是求解圆内线段长度的重要工具。考试中常要求学生利用垂径定理结合勾股定理进行复杂的计算。4）图形的相似与解直角三角形：在涉及圆的计算题中，图形的相似和解直角三角形知识经常被综合运用。学生需能够灵活运用相似三角形的性质和直角三角形的边角关系来求解。
【解题策略】1）掌握基础知识：熟练掌握圆的基本概念和性质是解题的基础。学生应理解并牢记圆的定义、弦、直径、弧、圆心角、圆周角等基本概念。2）识别基本图形：能够将复杂的图形分解为基本的几何图形，如直角三角形、等腰三角形等，有助于发现隐藏的线段关系和解题途径。3）灵活运用定理：垂径定理、切线定理、圆周角定理等是解决圆的问题的重要工具。学生应能够根据题目条件选择合适的定理进行证明和计算。4）注重逻辑推理：圆的证明题要求学生具备严密的逻辑推理能力。在解题过程中，要注意每一步推理的合理性和严谨性，确保证明过程的完整性和正确性。【备考建议】1）系统复习：对圆的相关知识点进行全面系统的复习，确保基础知识的扎实掌握。2）多做练习：通过大量的习题练习，熟悉各种题型和解题方法，提高解题速度和准确率。3）总结归纳：对做过的题目进行总结归纳，分析解题过程中的思路和方法，形成自己的解题策略。4）查漏补缺：针对自己的薄弱环节进行有针对性的训练，及时弥补知识漏洞。
1. 遇到与圆周角，圆心角有关角度计算时，通过辅助线1）作同弧所对的两个圆周角；2）作同弧所对的一个圆心角，一个圆周角；3）连接多个半径，构造等腰三角形.
3. 圆内接四边形的性质定理为证明两角相等或互补提供了依据.在求角的度数时往往综合运用圆内接四边形的性质、圆周角定理及其推论等知识建立所求角与已知条件的联系.
2. 圆中出现直径，我们可以构造直径所对的圆周角，直径所对的圆周角等于90°，由此可利用在直角三角形中两锐角互余计算角的度数，利用勾股定理计算边的长度，也可结合其他几何知识进行相关的推理证明.
4. 运用切线的性质进行计算时，常见辅助线的作法是连接圆心和切点，根据切线的性质构造出直角三角形，一方面可以求相关角的大小，另一方面可以利用勾股定理求线段的长度
∵AB=BD，OA=OD，∴BO垂直平分AD，∴BH⊥AD，AH=DH，∵BE为⊙O的切线，∴HB⊥BE，∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∴四边形BHDE为矩形，∴DE⊥BE；
（1）解：∵DC=DE，∴∠DCE=∠DEC，
∵PC是切线，∴OC⊥CD，即∠DCE+∠ACO=90°，∵OA=OC，∴∠OAC=∠ACO，∵∠DCE=∠DEC，∠AEO=∠DEC，∴∠AEO+∠CAO=90°，∴∠AOE=90°，∴OD⊥AB；
∵CD是⊙O的切线，点C在以AB为直径的⊙O上，∴∠OCD=∠OCA+∠ACD=90°，∠ACB=∠ACO+∠OCB=90°，∴∠ACD=∠OCB，∵OC=OB，∴∠OBC=∠OCB，∴∠ACD=∠ABC，∵AD⊥l，∴∠ADC=90°，∴∠ADC=∠ACB，∴△ABC∽△ACD；
（2）连接BD，如图：∵AB为直径，∴∠ADB=90°，设∠CAD=∠DAB=α，∴∠CAE=2α，由（1）知：△CAD∽△CEA∴∠ADC=∠CAE=2α，∵四边形ABDC是圆的内接四边形，∴∠CAB+∠CDB=180°，即2α+2α+90°=180°，解得：α=22.5°∠ADC=∠CAE=2×22.5°=45°
∵OA=OD，∴∠2=∠3，∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2，∴∠1=∠3，∴OD∥AC，∴∠ODF=∠AED∵DE⊥AC，∴∠AED=90°，∴∠ODF=90°，即OD⊥EF，∵OD是⊙O的半径∴EF是⊙O的切线；
∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠OAC，∴∠DAC=∠OCA，∴DA∥OC，∵CD⊥DA，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；
∵AB为切线，∴OD⊥AB，∴∠ODA=90°，∴∠A+∠AOD=90°， ∵∠ACB=90°，∴∠ABC+∠A=90°∴∠AOD=∠ABC， ∵∠AOD=2∠ACD，∴∠ABC=2∠ACD．
1）给出了直线与圆的公共点和经过公共点的半径时，可直接根据“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”来证明.口诀是“见半径,证垂直”.2）给出了直线与圆的公共点，但未给出过这点的半径时，可连接公共点和圆心，然后根据“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”来证明,口诀是“连半径,证垂直”.3）当直线与圆的公共点不明确时，先过圆心作该直线的垂线，然后根据“若圆心到直线的距离等于圆的半径,则该直线是圆的切线”来证明.口诀是“作垂直,证相等”.
1. 判定直线与圆的切线的解题方法：
2.在中考数学中，与圆有关的证明题常常是考生面临的难点之一。这类题目不仅考查学生对圆的基本性质和定理的掌握，还考验其逻辑推理和解题技巧。1）首先，熟悉圆的基本性质和定理是解题的基础。这些包括弧、弦、圆心角定理，圆周角定理，垂径定理，切线定理以及切线长定理等。例如，圆周角定理指出一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，而切线的性质定理则表明圆的切线垂直于过切点的半径。掌握这些定理，有助于我们在解题时快速找到突破口。2）其次，做辅助线是解决圆相关证明题的重要技巧。见到切线时，通常连接过切点的半径，以证明垂直关系；见到直径时，则寻找直径所对的圆周角，利用其性质进行推导；若题目中有“弦的中点”或“弧的中点”，一般连接中点和圆心，利用垂径定理的推论得出结论。例如，证明切线问题时，通过连接圆心和切点，再利用半径垂直于切线的性质，往往能顺利导出所需的直角。
3）形成条件反射式的解题思路。看到题目中的某个条件或图形，脑海中应即刻呈现出可能的辅助线和解题方向。如条件给出圆周角或圆心角的度数或等量关系，应寻找同弧或等弧所对的其他圆周角或圆心角；见到平行线时，考虑利用平行线的性质进行角度转换等。4）最后，多做与圆有关的证明题，善于总结规律和技巧。通过大量的练习，积累解题经验，熟悉常见的解题模式。例如，圆中常出现的直角三角形相似，包括平行相似、错位相似、射影相似等，掌握这些相似三角形的判定和性质，有助于快速解决求边长比例或长度的问题。总之，中考中与圆有关的证明题虽然难度较大，但只要掌握了基本性质和定理，熟练运用辅助线和解题技巧，并结合综合法和分析法进行思考，就能轻松应对，取得理想的成绩。
∵AB=AC，OD=OB，∴∠C=∠4，∠ODB=∠4，∴∠C=∠ODB，∴OD∥ AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，又OD为⊙O的半径，∴DE与⊙O相切；