山西省太原市重点高中2025-2026学年高二下学期4月过程性评价反馈试卷 数学（含解析）

这是一份山西省太原市重点高中2025-2026学年高二下学期4月过程性评价反馈试卷 数学（含解析）试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知函数的导函数为，若，则的值为（ ）
A．B．C．2D．4
2．下列求导结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．观察，由归纳推理得：定义在上的函数满足，记为的导函数，则（ ）
A．B．C．D．
4．函数的大致图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数在上不是单调函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
6．各种不同的进制在我们生活中随处可见，计算机使用的是二进制，数学运算一般用的是十进制．通常我们用函数表示在进制下表达个数字的效率，则下列选项中表达个数字的效率最高的是（ ）
A．二进制B．三进制C．十进制D．十六进制
7．对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，则（ ）
A．0B．2C．4D．6
8．设函数，若函数有三个零点，则a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．已知函数，则（ ）
A．B．当时，
C．在上单调递增D．的最小值为
10．已知，函数，则（ ）
A．的图象关于原点对称B．恰有2个零点
C．恰有2个极值点D．在上单调递增
11．已知函数的导函数为，与的定义域都是，且满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于中心对称B．是奇函数
C．为周期函数D．
三、填空题
12．我们把分子，分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型，两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在．早在1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造一种算法（洛必达法则），用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．
如：，则______．
13．已知函数，则曲线经过点的切线方程的一般式为________．
14．已知实数，满足，，则________．
四、解答题
15．已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的极值．
16．已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)求函数在的最大值与最小值．
17．对于正数，，当时，定义为，的对数平均值，且，我们把上述不等式称为对数平均不等式．人工智能DeepSeek给出了不等式右端的证明：
（ⅰ）不妨设，则等价于，
即证：，令，即证：对一切恒成立．
记，则，
所以在上单调递增，从而有证毕．
(1)请参照以上方法证明：；
(2)已知函数
①若有两个极值点，，求的取值范围；
②在①的条件下利用“对数平均不等式”证明：．
18．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，恒成立，求实数的最小值．
19．若函数在上存在，使得，，则称是上的“双中值函数”，其中，称为在上的中值点．
(1)判断函数是否是上的“双中值函数”，并说明理由；
(2)已知函数，，存在，使得，且是上的“双中值函数”，，是在上的中值点．
①求的取值范围；
②证明：
参考答案
1．B
【详解】依题意，.
2．D
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确.
3．C
【详解】由题设，观察可知偶函数的导函数为奇函数，
而上的函数满足，即是上的偶函数，
又为的导函数，故是奇函数，所以.
4．A
【详解】由图可知当时，，当时，，
所以的解集为．
故选：A
5．A
【详解】由已知可得，定义域为，.
若，则恒成立，则在上单调递增，与已知不符，舍去；
当时，由可知，或（舍去）.
当时，有，所以在上单调递减；
当时，有，所以在上单调递增.
由已知函数在上不是单调函数，
所以应有，所以.
故选：A.
6．B
【详解】由，得，令函数，求导得，
当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
而，因此，而，
即，则，
所以最大，即三进制效率最高.
7．C
【详解】函数的定义域为R，求导得，，
由，得，解得，而，
因此函数的图象关于点对称，则，
即，
所以.
8．D
【详解】函数有三个零点，等价于函数与图象有3个交点，
且图象恒过点，作出函数的图象如图：
如图，当时，与的图象有且只有一个交点，
当时，与的图象有2个交点，
当直线过时，，此时与的图象有2个交点，
当时，与的图象有3个交点，
当时，与的图象有1个交点，
当时，，
对求导得，令，解得，
所以在处的切线方程为，
故是的切线，
此时与的图象有2个交点，
由图，当时，与的图象有3个交点，
综上，，
故选：D．
9．BD
【详解】由得，，故，故A错误；
当时，，故，故B正确；
由得；由得；
则在上单调递增，在上单调递减，
故的最小值为，故C错误，D正确.
10．ACD
【详解】因为函数是定义在上的函数，
所以定义域关于原点对称，且，
所以是奇函数，所以的图象关于原点对称，故A正确；
由得，
令，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
又，，
由函数零点存在定理知在上只有一个零点，设为，
在上只有一个零点，设为，作出的大致图象如图1：
所以当时，，即，单调递减；
当时，，即，单调递增；
当时，，即，单调递减，
所以恰有2个极值点，故C正确；
又，且当时，,
作出的大致图象如图2：
所以恰有3个零点，故B错误；
因为，由图1知，
当时，，即，单调递增，故D正确.
11．ACD
【详解】对于AC，因为，为奇函数，为偶函数；
，，故
，关于中心对称，故A正确，
对两边求导得,即的图象关于直线对称，
且
又为奇函数，故，则,
所以，
故的周期为，C正确.
对于B，对两边同时求导得，，
即，的对称轴为直线，
故为偶函数，故B不正确.
对于D，关于中心对称，
所以，
，
D正确.
12．2
【详解】由题可得.
故答案为：2.
13．或
【详解】函数的定义域为，.
设曲线经过点的切线的切点为，则.
所以，即，
整理得.解得或.
当时，切点为，切线斜率为，
此时切线方程为，即；
当时，切点为，切线斜率为，
此时切线方程为，即.
所以曲线经过点的切线方程为或.
14．4
【详解】由，得，
所以，
即，
即；
令，则，.
又是上的单调递增函数，所以.
所以.
15．(1)
(2)极小值为，无极大值
【详解】（1）由，得，
所以，又，
所以曲线在点处的切线方程为，即；
（2）由（1）知，令，得，
当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增；
所以是的极小值，无极大值.
16．(1)单调递增区间为，单调递减区间为；
(2)最大值为，最小值为.
【详解】（1）易得，
由得或；得；
故的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）由（1）可知在上单调递减，在上单调递增，
由，，，
故函数在上的最大值为，最小值为.
17．(1)证明见解析
(2)①；②证明见解析
【详解】（1）不妨设 ，则 等价于 ，
即 ，令 ，即证 ，
令 ，则 ，所以函数 在 上单调递减，
所以 ，所以 ，即 成立;
（2）①由 得，，
因为函数 有两个极值点 ，所以 有两个相异正根，即 有两个相异正根，由韦达定理可知两根之积为
即 ，解得 ，即 的取值范围为 ;
②由①知: 满足 ，所以 ，
不妨设 ，则 ，
要证 ，即证 ，
即证 .
由对数平均不等式 ，
又 ，故 ，所以 成立，
因此 ，得证.
18．(1)答案见解析
(2)
【详解】（1）函数的定义域为，求导得，
当时，由，得；由，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，由，得或；由，得，
所以函数在，上单调递增，在上单调递减；
当时，恒成立，函数在上单调递增；
当时，由，得或；由，得，
所以函数在，上单调递增，在上单调递减；
所以当时，函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在，上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在上单调递增；
当时，函数在，上单调递增，在上单调递减.
（2）由（1）知当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
则，
依题意，，即恒成立，
令函数，求导得，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
即，因此，即
所以实数的最小值.
19．(1)不是，理由见解析
(2)①；②证明见解析
【详解】（1），，
由，解得，，
因为，，
所以函数不是上的“双中值函数”.
（2）①由题意知，，
令，则，
令，则，
当时，，所以在上单调递增，
又，所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
由题意可得，存在，使得在上有两个实数解，
又因为当，，
故需使，解得，
即的取值范围为；
②不妨设，
令，
设，
，
令，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又，所以当时，即在上单调递减，
又，所以当时，当时，
即，，
又因为，所以，
即，
即，
因为，所以.