2027职教高考数学一轮复习第一章集合学案含解析

这是一份2027职教高考数学一轮复习第一章集合学案含解析
1、集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性；
2、元素与集合的关系：属于或不属于，用符号或表示
3、集合的表示法：列举法、描述法、图示法
4、常见数集的记法与关系图
典型例题
1．若集合中只有1个元素，则（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】D
【详解】若集合中只有1个元素，
则等价于不等式只有一个实数解，
等价于对应方程只有一个实根，
所以，解得：，
当时，，满足题意.
2．已知集合，则中元素的个数是（ ）
A．8B．7C．6D．5
【答案】B
【详解】数集表示的是自然数集，
，，
， ，
中元素的个数是.
3．定义：不小于x的最小整数，在数学中通常用向上取整函数表示，符号为，读作“x的上取整”，如，.已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据题意分为，和三种情况，分别求，即可得到答案.
【详解】由题意可知，当时，，
当时，，
当时，，
所以.
故选：B.
4．下列各组对象能组成集合的是（ ）
A．深圳中学高中园2025级羽毛球打得好的学生
B．深圳中学高中园2025级幽默的学生
C．深圳中学高中园2025级所有女生
D．深圳中学高中园2025级学生感兴趣的学科
【答案】C
【分析】根据集合元素的特点判断即可．
【详解】对于ABD，羽毛球打得好，幽默的学生，学生感兴趣的学科，
都没有一个标准，对象不确定，故ABD错误；
对于C，2025级所有女生是确定的，可以组成集合，故C正确．
故选：C．
5．下面四个说法中正确的是（ ）
A．10以内的正奇数组成的集合是
B．由2，3组成的集合可表示为或
C．方程的所有解组成的集合是
D．与表示同一个集合
【答案】B
【分析】直接运用集合的含义和集合中元素的性质逐项判断即可．
【详解】对于A，10以内的正奇数组成的集合是，故A错误；
对于B，由集合元素的无序性可知，、组成的集合可表示为或，故B正确；
对于C，由集合元素的互异性可知，的所有解组成的集合是，
故C错误；
对于D，：不含有任何元素的集合，：仅含有一个元素的集合，故D错误．
故选：B．
6．下列说法中正确的是（ ）
①空集与表示同一个集合；
②由1，2，3组成的集合可表示为或；
③方程的所有解的集合可表示为；
④集合可以用列举法表示．
A．只有①和④B．只有②和③C．只有②D．只有②和④
【答案】C
【分析】根据集合的概念及表示逐项分析即得.
【详解】对于①，集合中有个元素，而中没有元素，两集合不相等，故①错误；
对于②，由1，2，3组成的集合可表示为或，故②正确；
对于③，方程的所有解的集合可表示为，故③错误；
对于④，集合为无限集，不能用列举法表示，故④错误.
故选：C.
7．下列关系中①，②.③，④.正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据常用数集的概念进行判断即可.
【详解】对于①，是有理数，但不是整数，故①错误；
对于②，是无理数，不是有理数，故②正确；
对于③，0是自然数，所以不成立，故③错误；
对于④，是无理数，也是实数，故④正确；
故正确的个数为2.
故选：B.
8．已知集合，若，则（ ）
A．B．C．或D．1或
【答案】B
【分析】分和讨论即可.
【详解】若，则①，解得，此时，不满足集合互异性，舍去；
②，解得或（舍去），
当时，，满足题意，
则.
故选：B.
9．下列所给对象不能组成集合的是________．
（1）高一数学课本中所有的难题；
（2）某班16岁以下的学生；
（3）某中学的大个子；
（4）某学校身高超过1.80米的学生．
【答案】（1）（3）
【分析】结合集合中元素的“确定性”、“互异性”逐一分析即可.
【详解】“难题”没有判断标准，无法判断一道题是否属于难题，不满足集合中元素的“确定性”，故（1）不能组成集合；
某班16岁以下的学生可以组成一个集合，16及16岁以上的学生则不在集合内，满足集合中元素的“确定性”，且每个学生都不一样，满足集合中元素的“互异性”，故（2）可以组成集合；
“大个子”没有判断标准，不知身高多少才能称为大个子，不满足集合中元素的“确定性”，故（3）不能组成集合；
某学校身高超过1.80米的学生可以组成一个集合，身高等于或低于1.80米的学生则不再集合内，满足集合中元素的“确定性”，且每个学生都不一样，满足集合中元素的“互异性”，故（4）可以组成集合；
故答案为：（1）（3）
10．下列命题正确的个数__
（1）很小的实数可以构成集合；
（2）集合{y|y＝x2﹣1}与集合{（x，y）|y＝x2﹣1}是同一个集合；
（3）1，，这些数组成的集合有5个元素；
（4）集合{（x，y）|xy≤0，x，y∈R}是指第二和第四象限内的点集．
【答案】0
【解析】利用集合元素的特征，集合中元素的含义逐一判断可得答案．
【详解】解：对于（1）很小的实数不满足集合中元素的确定性，所以（1）不正确．
对于（2）集合{y|y＝x2﹣1}表示的是函数y＝x2﹣1的值域，而集合{（x，y）|y＝x2﹣1}表示的是y＝x2﹣1图象上的点，故（2）不正确；
对于（3）：因为，，不满足集合中的元素是互异的，故（3）不正确；
对于（4）集合{（x，y）|xy≤0，x，y∈R}是指第二和第四象限内的点集及两个坐标轴上的点，故（4）不正确，
故答案为：0.
11．下列各组对象能组成一个有限集的有________．（填序号）
（1）小于100的自然数；
（2）等腰直角三角形的全体；
（3）平面内到坐标原点距离为1的所有点；
（4）方程的实数根；
（5）高一（1）班喜欢数学的全体同学．
【答案】（1）（4）
【分析】根据有限集的定义逐一可以判断
【详解】对于（1），小于100的自然数，可以一一列举，0，1，2，3，...，99，故（1）为有限集；
对于（2），等腰直角三角形有无限多个，故（2）不是有限集；
对于（3），在平面直角坐标系内，单位圆上的所有点到原点的距离都为1，所以到坐标原点距离为1的点有无穷多个，故（3）不是有限集；
对于（4），的实数根为或，共两个，故（4）为有限集；
对于（5），到底有多喜欢算喜欢，无法定论，故元素不确定，故（5）不是集合；
故答案为：（1）（4）.
12．有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥.其中不正确的是（ ）
A．①③④B．②④⑤C．②⑤⑥D．③④
【答案】D
【分析】根据集合元素的无序性判断①，根据子集的定义判断②，根据集合及空集的定义判断③④⑤，利用元素与集合的关系判断⑥.
【详解】对于①：，满足集合的无序性，正确；
对于②：，两个集合相等，一个集合的子集包括它本身，正确；
对于③：是一个集合，而是以空集为元素的一个集合，所以，故③错误；
对于④：是一个集合，元素只有0，但是是不含有任何元素的集合，所以，故④错误；
对于⑤：空集是任何集合的子集，故⑤正确；
对于⑥：就是的一个元素，所以⑥正确；
综上，不正确的有③④，
故选：D.
13．下列选项正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据元素与集合的关系及集合之间的关系判断即得.
【详解】对于A，因不含任何元素，故，即A错误；
对于B，因是任何集合的子集，故，即B正确；
对于C，显然，故C错误；
对于D，因是无理数，故,即D错误.
故选：B.
14．已知集合，若，则___________．
【答案】
【分析】分情况讨论元素与集合间的关系，解方程即可.
【详解】因为，，
当时，则，此时，不符题意：
当时，解得（舍去）或，若，则，符合题意；
综上所述，，
故答案为：.
15．符号“”与“”的区别是什么？
【答案】答案见解析
【分析】根据“属于”和“包含”的含义辨析.
【详解】符号“”表达的是元素与集合的从属关系，
“”表达的是集合与集合间的包含关系.
16．已知集合，且，求的值.
【答案】
【分析】分两种情况讨论，结合集合元素间的互异性即可求解.
【详解】由于，故或，
解得或.
当时，，不符合集合中元素的互异性，舍去；
当时，，满足题意.
故.
17．记方程的解构成的集合为，若，试写出集合中的所有元素．
【答案】
【分析】先由题意得是的解，代入求得，再将代回方程解之即可.
【详解】因为，所以，解得．
解方程，即，得或．
故M含有两个元素．
18．设是实数集，满足若，则，，且.
(1)若，则集合中至少还有几个元素?求出这几个元素.
(2)集合中能否只含有一个元素?请说明理由.
【答案】(1)至少还有两个元素-1和
(2)不能，理由见解析
【分析】（1）根据题意逐个代入验证即可求得A中的元素；
（2）用反证法假设集合中只含有一个元素，然后利用方程无解即可证明.
【详解】（1），，，，
因此A中至少还有两个元素：和；
（2）不能.用反证法证明：
如果集合中只含有一个元素，则，整理得，该方程无实数解，故在实数范围内，集合中不可能只含有一个元素
集合之间的关系
典型例题
1．已知集合，则的子集个数是（ ）
A．8B．7C．4D．3
【答案】A
【分析】解方程组求得其解，即可确定的元素，即可求得答案.
【详解】联立，得，解得，
则的解为，，，
集合，故，
所以的子集个数是.
2．集合，，若，则实数m的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】已知，集合，，可得.
所以的取值范围是.
3．设集合，若，则（ ）
A．-3B．C．1D．3
【答案】B
【详解】则，因为 ，所以 ，
所以，解得：或.
当时，，，，不符合条件.
当时，，，，符合条件.
综上，.
4．下面关于集合的表示正确的是（ ）
A．B．.
C．D．.
【答案】C
【分析】对于A，根据集合元素的无序性判断；对于B，根据特征元素判断；对于C，根据集合相等的定义判断；对于D，根据集合相等的定义判断.
【详解】对于A，根据集合元素的无序性，可知，故错误；
对于B，特征元素不相同，故不是相等集合，故错误；
对于C，都是数集，且范围相同，故相等，故正确；
对于D，不是空集，0是一个元素，故错误；
故选C.
5．已知，，若，则（ ）
A．2B．1C．D．
【答案】D
【分析】根据集合相等的定义分两种情况解方程组，再结合元素具有互异性判断可得结果.
【详解】因为，且，，
①当，解得或，由集合中元素具有互异性，故不符合题意；
②当时，解得（舍去）或.即，符合题意.
所以.
故选：D
6．下列关系中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据空集的性质和子集的概念得到答案.
【详解】由于是的一个子集，故，B正确，AD错误，C选项，空集不是的元素，故C错误.
故选：B
7．设全集，集合，则的子集个数为（ ）
A．4B．7C．8D．16
【答案】C
【分析】根据集合的交并补运算求出，结合子集个数的计算公式求解即可.
【详解】因为，
所以，所以的子集个数为.
8．全集，且，则满足条件的集合的个数为（ ）
A．8B．7C．4D．2
【答案】A
【详解】因为全集，且，
所以可能为，共个
即集合的个数为.
9．集合的子集个数为（ ）
A．4B．8C．16D．64
【答案】B
【详解】集合有3个元素，
故该集合有个子集．
10．若集合，，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由可得，再求出集合后，利用集合间关系计算即可得.
【详解】由，则，
解得，即，
由，则，
当时，，解得；
当时，，解得；
综上可得：的取值范围为.
11．集合的子集的个数为___________．
【答案】4
【分析】求出集合中的元素，由子集的定义求解．
【详解】因为，
所以的子集的个数为．
故答案为：4
12．若，则实数的值为__________.
【答案】0
【分析】由条件结合集合包含关系的定义可得，列方程求，利用集合元素的互异性排除增根即可..
【详解】因为，所以，
故或，解得或，
当时：，与集合元素的互异性矛盾，舍去；
当时：，，满足条件，
故答案为：
13．已知，或，若，则实数的取值范围是______.
【答案】
【分析】由得到，然后由子集的定义求解.
【详解】因为集合，或.
若，则，
∴或，即或.
∴实数的取值范围是.
故答案为：.
14．已知集合，，若，则____________.
【答案】
【分析】利用子集的定义求解.
【详解】，，，
集合中所有的元素都在集合中，
集合中的元素在集合中，
.
故答案为：.
15．若关于的不等式的解集为.
(1)求的值；
(2)设集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，结合韦达定理即可求解；
（2）由题意可得，分为和两种情况，分别求解即可求出答案.
【详解】（1）由题意知是方程的两个根，
所以，解得.
（2）因为“”是“”的充分条件，所以.
①当，即时，
，符合条件；
②当时，即时，
则，解得，
综上所述，实数的取值范围为.
16．已知全集，集合，集合
(1)求和
(2)已知集合，若，求实数的取值范围
【答案】(1)或，
(2)
【分析】（1）求解对数型不等式和一元二次不等式，再根据补集、交集定义求解；
（2）根据，可得，从而求参数范围.
【详解】（1）因为,
所以，则，所以，
因为，解得，
所以，
则或，；
（2）因为，可得，
则，得，
所以实数的取值范围为.
17．已知集合.
(1)若，求；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)或
(2)或
【分析】（1）根据补集的定义求出，求解不等式得集合，根据并集的定义求得；
（2）由于集合恒为非空集合，故只需讨论集合与的位置关系即可求出..的取值范围
【详解】（1）当时，，所以，
，
所以或.
（2）由（1）知，.
因为恒成立，所以，
所以或，所以或.
综上可得，实数的取值范围为或.
18．已知集合，．
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题知，，再根据集合交集，补集运算求解即可；
（2）由题知，再分和两种情况讨论求解即可.
【详解】（1）集合，
当时，，
所以或
所以.
（2）因为，所以，
①当时，，解得 ，此时，
②当时，应满足，解得，此时，
综上，的取值范围是.
集合的运算
2、集合运算中的常用二级结论
（1）并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.
（2）交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.
（3）补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅．∁U(∁UA)＝A；
∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)．
典型例题
1．若集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为集合，
由交集的定义可得.
2．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由，
则.
3．设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据并集的概念即可求出.
【详解】集合，，则.
故选：D.
4．已知集合，.若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用集合间的基本关系可得答案.
【详解】由条件 ，可知 ：，
又由 ， ，
得：.
故选：D
5．已知集合，，，则集合（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】要确定集合B，需结合交集和并集的定义分析.
【详解】交集，说明B包含2，且不包含A中的0、1；
并集，A已包含0、1、2，因此3、4必须来自B，且元素属于；
综上，集合.
故选：C
6．已知集合，，设与的元素个数分别为、，则（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【分析】分别求出和，即可求出集合中元素的个数，即可求解.
【详解】，；，，.
故选：B.
【点睛】本题考查集合交集和补集运算，考查求集合中元素的个数，属于基础题.
7．已知全集，，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据补集、交集的定义，即可得答案.
【详解】由题意，所以.
故选：A
8．设全集（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据补集的定义即可得出答案．
【详解】由题可知，，
则.
故选：A
9．设全集，集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用补集和交集的定义可求得集合.
【详解】因为全集，集合，，则，
故.
10．已知全集，集合，如图阴影部分表示的集合是（ ）
A．B．或
C．D．
【答案】D
【分析】由韦恩图得阴影部分为,利用集合的运算即可求解.
【详解】由韦恩图得阴影部分为，
因为，所以，
所以
故选：D.
11．设集合，，则______.
【答案】
【分析】根据交集的定义可得集合.
【详解】因为集合，，则.
故答案为：.
12．已知集合，．若，则______．
【答案】5
【分析】利用交集概念即可求解.
【详解】因为集合，，，所以，
故答案为：
13．已知集合，，则______．
【答案】
【分析】先求得集合B，根据并集运算的概念，即可得答案.
【详解】由题意，所以.
故答案为：
14．已知集合，，若，则实数的值为__________.
【答案】5
【分析】运用集合并集的运算、集合之间的包含关系求出的值.
【详解】因为集合，，
所以且且，
由，知是的子集，
所以，故.
15．已知全集，，.
(1)求；
(2)求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先确定集合和，再根据交集运算求交集；
（2）先求集合和的并集，再求其在全集中的补集.
【详解】（1）因为，
解方程，得或，所以.
所以.
（2）因为，，所以.
因为全集，所以.
16．已知全集U为R，集合，或求：
(1)；
(2).
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）利用交集运算的定义求解即得；
（2）先求并集，再由补集运算的定义即得．
【详解】（1）因，或，
则；
（2）全集U为R，，或，
则或，故.
17．已知全集，集合，．
(1)求；
(2)若，求实数a的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）根据补集的概念直接求补集即可.
（2）根据集合之间的关系，可求参数的取值范围.
【详解】（1）因为全集，集合，
所以或．
（2）因为，所以，故实数a的取值范围是．
18．已知集合．
(1)求和；
(2)定义且，求和．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）化简集合即可求出和；
（2）化简集合即可求出和.
【详解】（1）由题意，
在中，
，
则，．
（2）由题意及（1）得，，
∵且，
∴，．
四．充要条件
1、充分条件与必要条件
2、充要条件
（1）充要条件的定义
如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均为真命题，即既有，又有，就记作。
此时，既是的充分条件，也是的必要条件，我们说是的充分必要条件，简称充要条件。
（2）充要条件的含义
若是的充要条件，则也是的充要条件，虽然本质上是一样的，但在说法上还是不同的，
因为这两个命题的条件与结论不同。
（3）充要条件的等价说法：是的充要条件又常说成是成立当且仅当成立，或与等价。
知识点5 全称量词与存在量词
1、全称量词与全称量词命题
（1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号“”表示．
【注意】（1）全称量词的数量可能是有限的，也可能是无限的，由有题目而定；
（2）常见的全称量词还有“一切”、“任给”等，相应的词语是“都”
（2）全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题．
符号表示：通常，将含有变量的语句用，，，…表示，变量的取值范围用表示，那么，全称量词命题“对中任意一个，成立”可用符号简记为
【注意】（1）从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题；
（2）一个全称量词命题可以包含多个变量；
（3）有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补出来。
如：命题“平行四边形对角线互相平行”理解为“所有平行四边形对角线都互相平行”。
2、存在量词与存在量词命题
（1）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号“”表示．
【注意】常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“对某些”、“有的”等；
（2）存在量词命题：含有存在量词的命题，叫作存在量词命题。
符号表示：存在量词命题“存在中的元素，使成立”可用符号简记为
【注意】（1）从集合的观点看，存在量词命题是陈述某集合中有一些元素具有某种性质的命题；
（2）一个存在量词命题可以包含多个变量；
（3）有些命题虽然没有写出存在量词，但其意义具备“存在”、“有一个”等特征都是存在量词命题
3、命题的否定：对命题p加以否定，得到一个新的命题，记作“”，读作“非p”或p的否定．
（1）全称量词命题的否定：
一般地，全称量词命题“”的否定是存在量词命题： ．
（2）存在量词命题的否定：
一般地，存在量词命题“ ”的否定是全称量词命题： ．
（3）命题与命题的否定的真假判断：
一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假．
即：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然．
（4）常见正面词语的否定：
典型例题
1．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义直接判断.
【详解】依题意，集合真包含于集合，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
2．已知函数，则的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求解不等式，再由“充分不必要条件”的定义可得答案.
【详解】由，得，而为上的减函数，则得.
由“充分不必要条件”的定义可知，的一个充分不必要条件为.
故选：B.
3．“”是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质进行判断即可．
【详解】充分性：若，根据不等式基本性质可得，充分性成立；
必要性：若，根据不等式基本性质可得，必要性成立；
因此“”是的充要条件，
故选：C.
4．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】直接根据充分必要条件的定义判断可得结果.
【详解】由“”可得出“”或“”，所以由“”推不出“”，
而由“”能推出“”，所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
5．已知命题，命题，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】解方程，利用集合的包含关系判断可得出结论.
【详解】解方程，得，因为是的真子集，故是的充分不必要条件.
故选：A.
6．设，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不是充分条件，也不是必要条件
【答案】D
【分析】根据充分、必要条件的定义，结合特殊值法，分析即可得答案.
【详解】若，取，满足，但，不满足，充分性不成立；
若，取，满足，但不满足，必要性不成立，
所以是的既不是充分条件，也不是必要条件.
故选：D
7．若，则“”是“”的（ ）条件．
A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．非充分非必要
【答案】A
【分析】化简，根据取值得出充分非必要条件
【详解】因为，所以，所以“”是“”的充分非必要条件.
故选：A
8．已知则“且”是“”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【分析】利用充要条件的定义即可求解.
【详解】由且可知一定成立，故“且”是“”的充分条件，
又由可知都为0，即且，故“且”是“”的必要条件.
综上，“且”是“”的充要条件.
故选：C.
9．设是实数，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据不等式的性质，以及充分不必要条件的性质，证明结果即可.
【详解】根据不等式的性质可知，当时，，
当时，满足，不满足，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
10．已知p：，q：，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据集合间的真子集关系即可结合必要条件和充分条件的定义求解.
【详解】因为集合是的真子集 ，
所以p是q的必要不充分条件．
故选:B．
11．是的______条件.（从“充要”、“充分非必要”、“必要非充分”、“既非充分又非必要”中选择一项填入）
【答案】必要非充分
【分析】通过分析两个条件之间的推出关系，判断充分必要条件.
【详解】若，则一定有，故“”能推出“”；
若，当时，不满足，故“”不能推出“”.
所以是的必要非充分条件.
故答案为：必要非充分
12．设α：，β：，若α是β的充分条件，则实数a的取值范围是______．
【答案】.
【分析】利用充分性转化为子集关系来求解即可.
【详解】由α是β的充分条件，可得是的子集，
即，
故答案为：.
13．设，，若是的充分条件，则实数m的取值范围是___________.
【答案】
【分析】根据充分条件的定义，建立不等式，可得答案.
【详解】由题意可得.
故答案为：.
14．已知且的充分不必要条件是，则的取值范围是______.
【答案】
【分析】由充分不必要条件的定义,知是的真子集,分情况讨论即可.
【详解】由题意知当时,
当时，
则的取值范围是
故答案为：
15．已知全集，集合，．
(1)若，求；
(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将代入到集合，再结合交集的运算即可求解；
（2）由题意得是集合的真子集，结合集合间的关系计算即可求出a的取值范围.
【详解】（1）若，则，则有.
（2）由“”是“”的充分不必要条件，得集合是集合的真子集，
即，解得，
故实数的取值范围是.
16．已知集合，集合.
(1)若，求实数m的取值范围;
(2)若，，p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）讨论，两种情况，结合交集运算的结果得出实数的取值范围；
（2）由p是q成立的充分不必要条件，得出是的真子集，再由包含关系得出实数的取值范围．
【详解】（1）由，得
①若，即时，，符合题意；
②若，即时，需或，解得．
综上，实数的取值范围为．
（2）∵p是q的充分不必要条件，
∴，
∴是的真子集．
则不同时取等号，解得．
实数的取值范围为．
17．已知集合，
(1)当时，求，
(2)若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【分析】(1)将代入，根据交集、并集的定义求解即可；
(2)由题意可得集合是集合的真子集，又因为，列出不等式组，求解即可.
【详解】（1）解：当时，,
因为,
所以,
；
（2）解：因为是成立的充分不必要条件，
所以集合是集合的真子集，
因为，
所以恒成立，
所以集合，
所以解得，
故实数的取值范围为
18．已知实数x满足集合，实数x满足集合或．
(1)若，求；
(2)若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）利用交集概念及运算即可得到结果；
（2）因为p是q的充分不必要条件，所以A是B的真子集，比较端点后列出不等式，得到结果．
【详解】（1）因为，所以，又或．
所以
（2）因为p是q的充分不必要条件，所以A是B的真子集，所以或，解得：或，
故实数a的取值范围是.
19．已知命题，命题，则“命题”是“命题”的（ ）条件.
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要D．既不充分也不必要
【答案】B
【分析】根据对数函数单调性求解大小关系，再结合必要条件、充分条件的定义判断选项.
【详解】由，可得，故命题是命题的必要条件；
由不一定得到，故命题不是命题的充分条件，
所以“命题”是“命题”的必要不充分条件.
20．若，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】先解绝对值不等式，再根据充分、必要条件的概念即可判断.
【详解】由，解得，即，
又因为，所以P推不出q,q推出p,
所以是的必要不充分条件．
故选：B．
21．“”是“成等比数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用推出关系来判断即可.
【详解】当时，如，此时不能成等比数列，故充分性不成立，
当成等比数列，可以推出，故必要性成立，
所以“”是“成等比数列”的必要不充分条件，
故选：B.
22．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断.
【详解】由可以推出，故充分性成立，
反之或，必要性不成立，
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
23．已知命题且，命题且，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用不等式的性质可得必要性，利用举反例可得不充分性，即可作出判断.
【详解】由且，可推出：且，故是的必要条件，
但且，不一定能推出且，
比如：，满足且，但不满足且，
故是的不充分条件，
所以是的必要不充分条件，
故选：B.
24．设，则“且”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据不等式的基本性质，结合充分条件、必要条件的概念即可求解.
【详解】由且可得；
若，可取，则且不成立.
所以且是的充分不必要条件.
故选：A
25．已知为实数，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据必要不充分条件的定义进行判断.
【详解】因为，但，所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
26．“”是“”（ ）
A．充分且不必要条件B．必要且不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断.
【详解】若，则或，不能推出，所以充分性不成立；
若，不一定有成立，所以必要性不成立.
故“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D
27．设，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】先求一元二次不等式和绝对值不等式的解集，再根据解集的包含关系即可判断充分、必要关系．
【详解】由，解得或，即，
又，则，解得，即，
又因为是的真子集，
所以“”是“”的必要而不充分条件．
故选：B．
28．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】解不等式，再结合必要不充分条件的定义即可判断.
【详解】，即，解得或，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：.
29．“”是“”的____条件（选填“充分不必要”“必要不充分”“充要” “既不充分也不必要”）．
【答案】充分不必要
【分析】解方程，结合充分条件、必要条件的定义即可下结论.
【详解】由，解得或.
所以“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：充分不必要
30．“”是“”的______条件.
【答案】必要不充分
【分析】根据一元二次不等式的解法，先解得x的范围，根据充分、必要条件的定义，即可得答案.
【详解】由题意，解得或，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故答案为：必要不充分
31．若，，则是的_____________条件.（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“既非充分又非必要”中的一个）
【答案】必要非充分
【分析】首先解一元二次方程，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】由，解得或，即或；
所以由推不出，即充分性不成立；由推得出，即必要性成立；
所以是的必要非充分条件.
故答案为：必要非充分
32．已知，设，且是的必要非充分条件，则的取值范围是________
【答案】
【分析】将条件转化为对应集合，，利用必要非充分条件与集合包含关系的转化，得是的真子集，所进而列出不等式求解即可.
【详解】令集合，集合，由是的必要非充分条件，可得是
的真子集，所以，解得.
故答案为：.
33．已知：关于的方程有实数根，：．
(1)若命题是真命题，求实数的取值范围；
(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由命题是真命题，可得命题是假命题，再借助，求出的取值范围作答.
（2）由命题是命题的必要不充分条件，可得出两个集合的包含关系，由此列出不等式求解作答.
【详解】（1）因为命题是真命题，则命题是假命题，即关于的方程无实数根，
因此，解得，
所以实数的取值范围是.
（2）由（1）知，命题是真命题，即，
因为命题是命题的必要不充分条件，则是的真子集，
因此，解得，
所以实数的取值范围是.
34．条件，条件.
(1)若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围；
(2)若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】根据充分、必要条件的定义，将问题转化为集合间的基本关系，解不等式即可.
【详解】（1）设，
若p是q的充分不必要条件，则A是B的真子集，即，a的取值范围为；
（2）若p是q的必要不充分条件，则B是A的真子集，即，a的取值范围为.
35．设函数的定义域为，集合，记.
(1)若，求；
(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）分别求解集合，建议补集和交集运算可得答案；
（2）利用必要不充分条件得出集合间的关系，利用限制条件可得答案.
【详解】（1）解得，所以，
因为，所以，
当时，或，
所以或.
（2）是的必要不充分条件，则是的真子集，
从而，
解得，
即实数的取值范围是.
36．已知全集，集合，集合，其中.
(1)当时，求；
(2)若“”是“”的充分条件，求a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据集合的并集和补集运算法则运算即可；
（2）由题可知此时，再分和讨论即可.
【详解】（1），故，，
或.
（2）若“”是“”的充分条件，则，
当时，，
当时，，解得，
综上，.
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N＋)
Z
Q
R
表示
关系
文字语言
符号语言
图形语言
基本关系
子集
集合A的所有元素都是集合B的元素（则）
或
真子集
集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A
或
相等
集合A，B的元素完全相同
空集
不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集
集合的并集
集合的交集
集合的补集
图形语言
符号语言
“若p，则q”为真命题
“若p，则q”为假命题
推出关系
p⇒q
p⇏q
条件关系
p是q的充分条件
q是p的必要条件
p不是q的充分条件
q不是p的必要条件
定理关系
判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件
性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件
正面词语
等于（＝）
大于（＞）
小于（＜）
是
都是
否定
不等式（≠）
不大于（≤）
不小于（≥）
不是
不都是
正面词语
至多有一个
至少有一个
任意
所有
至多有n个
否定
至少有两个
一个都没有
某个
某些
至少有n+1个