黑龙江省齐齐哈尔市2026届高三二模考试数学试卷含解析（word版+pdf版）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 复数 在复平面内所对应的点为 ,则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由复数的几何意义可知 ,故 .
2. 集合 ,则
A. B. C. {1} D.
【答案】D
【解析】 ,故 .
3.函数 ,若 ,则 的取值范围为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题得 ,令 ,则 为增函数,又 ,故 , 即 的取值范围为 .
4.向量 ,若 与 同向,则
A. B. C. 3 D.
【答案】A
【解析】由题设知 ,则 ,则 ,则 ,而 ,故 .
5. 在点 处的切线方程是 ,则
A. -2 B. 0 C. 1 D. 2
【答案】D
【解析】 ,又 在 处的切线方程是 ,故 ,又 ,故 .
6.某人有 3 种颜色的灯泡 (每种颜色的灯泡足够多), 要在如图所示的图形的 6 个顶点 上各安装一个灯泡,要求同一线段两端的灯泡颜色不同,则不同的安装方法共有
A. 3 种 B. 6 种C. 12 种 D. 48 种
【答案】C
【解析】先安装下底面的三个顶点有 种不同的安装方法,再安装上底面的三个顶点有 种不同的安装方法. 由分步乘法计数原理可知,共有 种不同的安装方法.
本题也可以从 点入手,则有 种不同的安装方法.
7.若 ,则
A. B. C. D. 或
【答案】B
【解析】因为 ,所以 ,而 ,故 ,则 ,故 .
8.双曲线 的右焦点为 ,过点 且斜率为 的直线与 轴交于点 ,线段 与 交于点 ,若 为 的中点,则 的离心率为
A. B. C. D. 5
【答案】C
【解析】记 ,则 ,则 ,因为点 在双曲线 上, 则 ,令 ,得 ,化简得 ,又 ,则 , 故离心率 .
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知 ,则
A. 的解集为 或
B. 的解集为
C. 当 时, 的最小值为 1
D. 恒成立
【答案】AC
【解析】 或 ,故 A 正确; ,且 ,且 ,且 ,故 B 错误; 当 时, ,故 C 正确; ,即 ,故 D 错误.
10.函数 的部分图象如图所示,则
A.
B. 在 上单调递减
C. 的表达式可以写成
D. 若关于 的方程 在 上有且只有 3 个实数根,则
【答案】BCD
【解析】由图知 ,因此 ,故 A 错误;
由五点法可知 ,因此 ,令 ,得经过最大值点的对称轴为 ,故 即 为单调递减区间,故 正确;
由诱导公式可知 ,故 C 正确;
令 ,故 ,故 ,因为 在 上有且只有 3 个实数根,则 ,故 D 正确.
11.抛物线 的焦点为 ,以 为圆心, 为半径得到圆 ,圆 上有一点 . 过点 的直线与 交于 两点,与圆 另交于点 ,则
A. B. 当 时, 的横坐标为 3
C. 当 时, D.
【答案】AC
【解析】对于 ,圆 ,代入 得 ,故 正确;
对于 ,记 ,显然 ,而 , 可得 ,则 ,而 ,解得 , 故 B 错误;
对于 ,由 得 ,此时直线的斜率 ,所以 , 即 ,点 到 的距离 ,故 ,故 C 正确;
对于 ,设直线 方程为 ,由 ,得 ,
,圆 的弦 ,
因此 不一定小于 0, D 错误.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.在 中, ,锐角 满足 ,则 ________.
【答案】
【解析】因为 ，则 ，由余弦定理 可得 ， 由正弦定理可得 .
13. ,则 _______.
【答案】
【解析】 ,故 ,
,故 ,
故 ,因此 .
14.如图,在三棱锥 中, 平面 , ,过点 的平面与 交于点 ,则 ________.
【答案】
【解析】法一(坐标法):如图建立空间直角坐标系 ,
,由 ,
得 ,由 得 ,
即 ,得 ,则 ,
则 .
法二(几何法):由 平面 ， 平面 知 ，由 ， ， 平面 ， 平面 得 平面 ，由 平面 得 ,取 上一点 使得 ,
由余弦定理得 , ,可得 ,由平行线分线段成比例知 ,故 ,故 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.已知正方形 的边长为 2,按如下规律构造正方形序列: 取当前正方形各边中点,依次连接各边中点得到新正方形,重复此操作得到一系列正方形. 设第 个正方形与第 个正方形之间的封闭区域为第 个“环域”,记第 个“环域”的面积为 ,初始正方形 为第 1 个正方形.
(1)求数列 的通项公式；
(2)受实际物理测量精度限制，该作图操作无法实现无限次分割，仅可进行有限次作图. 若此分割作图过程可无限延续,则所有依次作出的正方形的面积之和趋近于某一确定常数 ,求这个常数 的值 .
【解析】(1)正方形 的面积为 ,故连接各边中点得到的新正方形面积是原正方形的 ,
因此 是首项为 4,公比为 的等比数列,所以 ,
因此 ,故 的通项公式为 .
(2) ,
故当 时, .
16.如图所示,已知等腰梯形 中, 是 的中点,将 沿 对折至 ,使得与边长为 2 的菱形 成 的二面角,折叠后发现 .
(1)求点 到平面 的距离；
(2)求二面角 的正弦值.
【解析】(1) 由题设,可知 ，
取 中点 ,连接 ,故 ,
又 平面 平面 ,
又 平面 ,故 . 故 为平面 与平面 所成二面角的平面角,
. 因为 平面 ,故平面 平面 ,平面 平面 ,
过 作 交 于 ,
故 平面 .
,
因此点 到平面 的距离为 .
(2)以 为坐标原点，直线 为 轴， 轴，过 且垂直于平面 的直线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
则 .
设平面 的法向量为 ,则 ,即 取 ,
设平面 的法向量为 ,则 ,即 取 ,
,
所以二面角 的正弦值为 .
17.某农场现有两种优质作物种子,在相同种植条件下,单位面积产量分别为随机变量 (单位:吨/亩),其分布列为
(1)若分别用两种种子各种植 100 亩，设 ， 分别为两种作物的总产量，求 ， ；
(2)现将总面积为 100 亩的土地进行种植规划，用 亩种植第一种种子，剩余亩数种植第二种种子, 为两种作物总产量的方差之和,求 的最小值时的 值;
(3)结合期望与方差，从稳产性、总产量、种植风险三个角度，对“全部种植第一种种子”，“全部种植第二种种子”，“按(2)最优比例种植”三种方案进行综合评价，并给出面向农场生产的合理化种植建议.
【解析】
(1) 由题设得
,
,
,
.
(2) ,
故当 时, 取得最小值 300 .
(3)全部种植第一种种子: (吨)，
全部种植第二种种子: (吨)，
按(2)最优比例种植: (吨)，
评价: 最优比例种植的方差最小, 为 300 , 稳产性最好, 产量适中; 全部种植第二种种子总产量最高, 但是风险较高.
建议: 若农场追求高产量且能承担较高风险, 可选全种第二种种子; 若更看重稳产, 降低种植风险, 应采用 75 亩种第一种种子, 25 亩种第二种种子的最优比例 .
18.设 为坐标原点, 分别是直线 和 上的动点,且 ,动点 满足 ,记动点 的轨迹为曲线 .
(1)求曲线 的方程；
(2) ，过曲线 的中心 作一条直线交曲线 于 ， 两点,求 周长的最小值、 面积的最大值；
(3)若点 是曲线 上异于顶点的任意一点,若 ， ，直线 ， 分别交直线 于点 ， . 以 为直径的圆是否恒经过 轴上的某两个定点？若经过，求出这两个定点的坐标; 若不经过, 请说明理由.
【解析】(1) 设 ,
,
,
故曲线 的方程为 .
(2) 为曲线 的右焦点，其左焦点 ，根据椭圆的对称性，
的周长为 ,
故当 最小时,周长最小,因此当 轴时周长最小,故最小值为 14 .
,
故当 最大时,面积最大,因此当 轴时面积最大,故最大值为 .
(3)设 ， ， ，
直线 的方程分别为 ,
故 ,
以 为直径的圆的方程为 ,
令 ,得 ,即 ,
解得 或 ,故以 为直径的圆恒经过 轴上的两个定点 .
19.已知 为定义在 上的奇函数且连续可导,令 . 当 时, 有 .
(1)讨论 在区间 上的单调性,并证明: 当 时, ;
( 2 )当 时，解不等式: ；
(3)我们可以找到满足题意的一个函数 . 现在利用这个函数，重新构造函数 ,记 ,若实数 满足 ,证明: .
【解析】(1) 当 时, 为奇函数. 当 时, ,
在 上单调递增,
为奇函数, 在 上单调递增.
令 ,
在 上单调递增,
.
(2) 等价于
即 ,
,
由(1)知 在 上单调递增, ,即 ,
故原不等式的解集为 .
(3) ,故 在 上单调递增,
,且 ,故 .
要证 ,只需证 ,
只需证 ,
只需证 ,
即证 .
令 ,
令 ,
故 在 上单调递增,
所以 ,故 在 上单调递减,
即 成立,
故 .0.5
1.0
0.8
0.2
0.2
0.8
1.2
0.2
0.5
0.3