2026年甘肃省天水市甘谷县九年级中考二模数学试题（含解析）

这是一份2026年甘肃省天水市甘谷县九年级中考二模数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了请将各题答案填写在答题卡上．， 已知，与互为余角，则的度数是， 如图，，，，则的度数为， 下列运算中，正确的是等内容，欢迎下载使用。
1.满分150分，答题时间为120分钟．
2.请将各题答案填写在答题卡上．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．
1. 下列各数中，最小的是（ ）
A. B. 3C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查有理数大小比较，熟练掌握正数大于0，0大于负数，两个负数比较，绝对值大的反而小是解题的关键．根据比较有理数大小法则比较即可得出答案．
【详解】解：，
∴这几个数，最小，
故选：A．
2. 2025年12月，国家统计局发布权威数据：2025年全国粮食总产量达14298亿斤，较2024年增加167.5亿斤，同比增长，连续两年稳定在1.4万亿斤以上．其中数据“14298亿”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】解：14298亿．
3. 已知，与互为余角，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了余角的定义，掌握互余的两个角的和为是解题的关键．
根据余角的定义列式计算即可．
【详解】解：∵，与互为余角，
∴．
故选B．
4. 如图，，，，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用两直线平行，同位角相等，三角形外角性质计算即可．
【详解】解：∵，

∴，
∵，，
∴，
故选：B．
本题考查了平行线性质，三角形外角性质，熟练掌握两条性质是解题的关键．
5. 下列运算中，正确的是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据同类项概念，同底数幂乘法、同底数幂除法、幂的乘方的法则，逐一判断选项即可．
【详解】解：对于选项A：与不是同类项，不能合并，不正确；
对于选项B：，正确；
对于选项C：，不正确；
对于选项D：，不正确．
6. 如图，是的直径，点在上，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理及平角定义，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
根据平角等定义求出的度数，再根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解即可．
【详解】解：，，
，
．
故选：C．
7. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A. B. C. 且D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的定义及根与判别式的关系，根据一元二次方程的定义及根与判别式的关系直接列式求解即可得到答案；
【详解】解：∵一元二次方程有实数根，
∴，，
解得：且，
故选：D．
8. 某中学对学生最喜欢的课外体育项目进行了随机抽样调查，要求每人只能选择其中的一项，根据得到的数据，绘制不完整统计图如图所示，则下列说法中不正确的是（ ）
A. 这次随机抽样调查一共抽取了200份样本；
B. 全校1600名学生中，估计最喜欢排球的大约有240人；
C. 被调查的学生中，最喜欢羽毛球的有60人；
D. 扇形统计图中，跳绳所对应的圆心角是．
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了求样本容量、求扇形统计图的圆心角度数、由样本估计总体；从统计图获取信息，运用篮球人数除以占比得出这次调查的样本容量为，再运算出最喜欢排球的人数，结合样本估计总体来代入数值计算，分析判断，即可求解．
【详解】解：，
这次调查的样本容量为，故A选项不符合题意；
最喜欢羽毛球的有（人），
最喜欢排球的有（人），
（人），
全校名学生中，估计最喜欢排球的大约有人，故B选项不符合题意；
，
扇形统计图中，跳绳所对应的圆心角是，故D选项符合题意；
（人），
被调查的学生中，最喜欢羽毛球的有人，故C选项不符合题意；
故选：D．
9. 如图，在中，，点是重心，连接交于点，，，是边上一点，当时，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了重心的性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例，掌握相关知识是解题的关键．根据重心和等腰三角形的性质可得：，，，由可得，结合得到，推出，即可求解．
【详解】解：在中，，点是重心，
，，，
，
，
，
，，
，
，即，
，
故选：B．
10. 如图1，在正方形中，点以每秒3cm的速度从点出发，沿的路径运动，到点停止．过点作，与边（或边）交于点，的长度（）与点的运动时间的函数图象如图2所示．当点运动时，的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象、正方形的性质、勾股定理、平行线的性质等知识，从图象中获取正确的信息是解题的关键．
由题意知，当运动到时，最长，此时，由图象可知，当时，，得出正方形边长为，当时，，由，得出，推出，根据勾股定理计算，得出答案即可．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，，
由题意知，当运动到时，最长，此时，
由图象可知，当时，，
∴，
整理得：
∵，
∴，即正方形边长为，
∴当时，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 因式分解： _________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，掌握提公因式法和公式法分解因式是解题的关键．先提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【详解】解：原式
，
故答案为：．
12. 如图，在的正方形网格中，有三个小正方形已经涂成灰色，若从四个小正方形中再任意涂灰1个，使得新构成的灰色部分的图形既是轴对称图形又是中心对称图形，则应将小正方形______涂灰．(填编号)
【答案】①
【解析】
【详解】解：如图，
当涂灰①时，图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
当涂灰②时，图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
当涂灰③时，图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
当涂灰④时，图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．
13. 反比例函数的图象如图所示，轴．若的面积为4，则k的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】连接，根据轴，可得与的面积相等，可推出，解得，再根据反比例函数的图象在第二象限，可得，从而得到答案．
【详解】解：连接，
∵轴，
∴与的面积相等，
即．
又∵，
∴
解得：，
∵反比例函数的图象在第二象限，
∴．
14. 如图，五边形是正五边形，连接、，则的度数是______．
【答案】##36度
【解析】
【分析】本题考查了正多边形的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握多边形内角和公式是解题关键．先求出多边形的内角度数，再根据等边对等角的性质，得出，同理可得，，即可求出的度数．
【详解】解：五边形是正五边形，
内角度数为，，
，
同理可得，，
，
故答案为：．
15. 发明小组成员自制一款泡茶器（图1），为检测泡茶器的实用性和安全性，小组成员对泡茶器的电路（图2）进行了测试，移动滑动变阻器指针，使电流表示数从到，在此过程中计算滑动变阻器的功率P，并绘制滑动变阻器的功率与电流的图象如图3所示．若该图象为抛物线的一部分，图象的顶点坐标为，则m的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象的运用，根据题意，可得二次函数图象经过，顶点坐标为，设二次函数的解析式为，代入计算可得解析式，再把时，代入解析式计算即可．
【详解】解：根据题意，可得二次函数图象经过，顶点坐标为，
设二次函数的解析式为，
将代入解析式得：，
解得：，
二次函数的解析式为，
二次函数图象经过，
，
故答案为：．
16. 由表格规律可知，当时，______．
【答案】79
【解析】
【分析】先根据表格数据分别得到、关于的变化规律，再代入计算的值．
【详解】解∶对于，当时，，
当时，，
当时，，
归纳可得规律：．
对于，当时，，
当时，，
当时，，
归纳可得规律：．
当时，，，
∴．
三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. ．
【答案】1
【解析】
【详解】解：．
18. 解不等式组：．
【答案】
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】
解不等式①得：
解不等式②得：
不等式的解集为：
本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键．
19. 化简：．
【答案】
【解析】
【分析】先对括号内的分式进行通分并计算减法，再将除法转化为乘法，同时对分子分母中的多项式进行因式分解，最后约去公因式完成化简．
【详解】解：原式
．
20. 如图，的顶点都在上，为的直径，连接．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出的中点．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）连接，交于点，若，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了尺规作图，作线段的垂直平分线，同弧（等弧）所对的圆周角相等，半圆（直径）所对的圆周角是直角，外角的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）分别以点、点为圆心，大于的长度为半径画弧交于点，连接，交于点，点即为所求；
（2）由同弧（等弧）所对的圆周角相等可得、的度数，再由直径所对的圆周角等于可得，最后根据外角的性质可得的度数．
【小问1详解】
解：如图，点即为所求．
【小问2详解】
解：如图所示，
，
．
为的中点，
，
．
为的直径，
．
．
21. 在一个不透明的袋子里装有分别标有数字1，2，3，4的四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次试验先搅拌均匀．
（1）若从袋中任取一个球，球上的数字为1的概率为________．
（2）若从袋中一次性取出两个球，请用列表法或画树状图法，求两个球上的数字之差的绝对值为1的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了概率的计算，熟练掌握列表法或画树状图法求概率是解题的关键．
（1）根据概率的计算公式即可求解；
（2）根据题意列表，得出所有等可能的结果数以及符合题意的情况数，再利用概率的公式计算即可．
【小问1详解】
解：从袋中任取一个球，共有4种等可能的结果，其中球上的数字为1的情况有1种，
球上的数字为1的概率为．
故答案为：．
【小问2详解】
解：列表如下：
由表格可得，共有12种等可能的结果，其中两个球上的数字之差的绝对值为1的情况有6种，
两个球上的数字之差的绝对值为1的概率．
答：两个球上的数字之差的绝对值为1的概率为．
22. 如图，这是在摄影时常用的一种可调节高度的三脚架，它主要由三根长度相等的支柱构成．小深同学通过测量发现，在保持三脚架稳定的前提下，它的每一根支柱与地面之间的夹角最大能达到，即；最小能达到，即．已知该三脚架的支柱，求该三脚架可调节部分的长．（结果精确到，参考数据：，，，）
【答案】该三脚架可调节部分的长为
【解析】
【分析】利用锐角三角函数解直角三角形，分别求得和即可解答．
【详解】解：在中，∵，
∴，
在中，∵，
∴，
∴，
答：该三脚架可调节部分的长为．
四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
23. 某校就“人工智能的知晓程度”对全校学生进行问卷测试．现从该校八、九年级中各随机抽取10名学生的测试得分（得分用x表示，共分为四个等级：不了解；比较了解；了解；非常了解）．整理得到如下信息：
八年级被抽取的学生测试得分中“了解”的数据：82，82，82，89；
九年级被抽取的学生测试得分的数据：63，64，78，78，78，80，84，86，92，95．
部分八、九年级被抽取学生的得分统计表、统计图（不完整）：
八年级被抽取学生的统计图
根据以上信息，解答下列问题．
（1）上述图表中，______，______，______．
（2）根据以上数据，你认为在此次问卷测试中，该校哪个年级被抽取的学生对人工智能的知晓程度更高？请说明理由（答案不唯一，写出一条理由即可）．
（3）若该校八年级有1500名学生，九年级有1600名学生，估计此次问卷测试中，这两个年级学生对人工智能“非常了解”的共有多少名．
【答案】（1）20；82；78
（2）八年级学生对人工智能的知晓程度更高，理由见解析
（3）620名
【解析】
【分析】（1）由八年级被抽取的学生测试得分中“非常了解”的人数有人，可得的值；由八年级被抽取的学生测试得分中第5个，第6个数据分别是：82，82，从而可得中位数的值，由九年级被抽取的学生测试得分中78出现的次数最多，可得的值；
（2）从中位数或众数的角度出发可得答案；
（3）由九年级与八年级的总人数分别乘以“非常了解”的占比，再求和即可．
【小问1详解】
解：由题意得，八年级被抽取的学生测试得分中“了解”的数据：82，82，82，89，
而八年级被抽取的学生测试得分中“不了解”的数据有，
八年级被抽取的学生测试得分中“比较了解”的数据有，
∴八年级被抽取的学生测试得分中“非常了解”的人数为，
∴，
∴；
∴第5个，第6个数据分别是：82，82，
∴中位数，
九年级被抽取的学生测试得分中78出现的次数最多，
，
【小问2详解】
解：八年级学生对人工智能的知晓程度更高．（写出一条理由即可）
理由：①因为八年级学生测试得分的中位数82大于九年级学生测试得分的中位数79；
②因为八年级学生测试得分的众数82大于九年级学生测试得分的众数78．
【小问3详解】
解：（名）．
答：估计此次问卷测试中，这两个年级学生对人工智能“非常了解”的共有620名．
24. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于A，B两点，一次函数的图象经过点A．
（1）求k的值及点B的坐标．
（2）连接，求．
【答案】（1），点B的坐标为
（2）
【解析】
【分析】（1）先求得点A坐标，进而可求得k值，得到，联立方程组可求得点B坐标；
（2）设直线与轴交于点D，先求得点D坐标，再利用求解即可．
【小问1详解】
解：由题意，得，解得，
∴点A的坐标为，
∵反比例函数的图象经过点A，
∴，
∴，
联立方程组，解得或，
∴点B的坐标为；
【小问2详解】
解：如图，设直线与轴交于点D，
令，则，
∴点D的坐标为，则，
∴．
25. 如图，在中，点O是上（异于点A、B）的一点，恰好经过点B、C，，垂足为点D，且平分．
（1）判断与的位置关系，并说明理由．
（2）若，，求的半径长．
【答案】（1）与相切，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质、切线的判定、相似三角形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）连接，根据角平分线的定义得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据平行线的性质和切线的判定定理即可得到结论；
（2）根据勾股定理得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【小问1详解】
解：与相切，理由如下：
连接，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴与相切；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴∽，
∴，
∴，
∴，
∴的半径长为．
26. 如图，在正方形中，，M为上的一动点，连接，将绕点A按顺时针方向旋转，与的延长线交于点N．
（1）如图1，求证：．
【深入探究】
（2）如图2，将沿翻折得到，连接，试探究在点M移动的过程中，的面积是否发生变化．若发生变化，请求出的面积的最小值；若不发生变化，请求出的面积．
【拓展延伸】
（3）如图3，在（2）的条件下，点E在线段上，点F在线段上，连接，．当时，求四边形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）的面积不变，其值为18
（3）
【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质和旋转的性质证明，即可解答；
（2）过点N作，垂足为Q．由得出，进而得到，从而证明，得到，根据三角形的面积得到，即可解答；
（3）由得到，根据翻折的性质得到，，，因此，根据得到．根据，得到，因此，再由求解即可．
【小问1详解】
证明：∵四边形为正方形，
∴，，
由旋转可知，，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：的面积不发生变化．理由如下：
过点N作，垂足为Q．
由（1）知，
∴．
由翻折可知，
∴，
∴，
即．
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴．
即的面积不变，其值为18．
【小问3详解】
解：∵，
∴．
由翻折可知，，，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴
由（2）知，
∴，
∴．
27. 如图，抛物线与x轴的负半轴交于点A，与x轴的正半轴交于点，与y轴交于点，抛物线的顶点为D．过点D向x轴作垂线，交x轴于点E，以和为邻边在第二象限内作矩形．动点M从点D出发，沿向点E运动，运动的速度为每秒1个单位长度．设点M的运动时间为t秒，过点M作，交于点G，过点G作于点H，交抛物线于点Q．
（1）求该抛物线的函数表达式．
（2）当M为的中点时，求的长．
（3）如图1，连接，，当的面积最大时，求t的值．
（4）如图2，点M运动的同时，点P从点A出发沿向点F运动，运动的速度为每秒1个单位长度，K为矩形内一点，且点K在点G的正下方．当四边形为菱形时，求t的值．
【答案】（1）抛物线的函数表达式为
（2）
（3）t的值为2 （4）
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可解答此题；
（2）利用相似三角形的判定和相似比即可解答此题；
（3）分析当三角形的底边固定，高最大时三角形的面积最大，利用直线平行和直线与抛物线相切求得点坐标，进而根据题意求得点、点坐标，求得长可求值；
（4）根据题意可表示出涉及到的点、点、点坐标，假设出点坐标，根据菱形的性质对边相等表示出点坐标，在利用菱形的性质邻边相等，列出方程，解方程即可求得值．
【小问1详解】
解：∵抛物线经过点和点，
∴，
，
解得：，
所以抛物线的函数解析式为．
【小问2详解】
解：根据顶点坐标公式可求顶点的坐标为，
∵点和点关于直线对称，且，
∴点坐标为，
，
，，
，
又，
，
∵M为的中点，
，
．
【小问3详解】
解：当边上的高最大时，的面积最大，
即平行于直线且与抛物线相切时，的面积最大，
设直线的解析式为，且点坐标为，点的坐标为，
解得：，
设平行于直线且与抛物线相切的直线为，
∵两直线平行，
，
，
∵直线与抛物线相切，
，
整理，得：，
，
解得：，
，
抛物线和直线解析式联立得，，
解得：，
即：，
此时，点横坐标为，代入得：
，
即：，
，
，
（秒）．
【小问4详解】
解：，
，
根据题意可知点和点的纵坐标相等，
∴将代入得：
，
，
∵，
，
，
可设点坐标为，
则，
当四边形为菱形时，，
即：，
整理，得：，
∴点坐标为，
根据题意，由勾股定理可得：
，
，
即：，
整理，得：，
解得：（舍去），，
（秒）．m
1
2
3
4
5
…
a
3
5
7
9
11
…
b
1
4
9
16
25
…
1
2
3
4
1
2
3
4
八、九年级被抽取学生的得分统计表
年级
平均数
中位数
众数
八年级
79.8
b
82
九年级
79.8
79
c