2024年甘肃省天水市甘谷县中考数学二模试卷（含解析）

这是一份2024年甘肃省天水市甘谷县中考数学二模试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若零上10℃记作+10℃，则零下10℃可记作( )
A. 10℃B. 0℃C. −10℃D. −20℃
2.下列计算正确的是( )
A. m2⋅m3=m6B. −(m−n)=−m+n
C. m(m+n)=m2+nD. (m+n)2=m2+n2
3.据统计，2021年我省出版期刊杂志总印数3400万册，其中3400万用科学记数法表示为( )
A. 3.4×108B. 0.34×108C. 3.4×107D. 34×106
4.下列说法错误的是( )
A. 成语“水中捞月”表示的事件是不可能事件
B. 一元二次方程x2+x+3=0有两个相等的实数根
C. 任意多边形的外角和等于360°
D. 三角形三条中线的交点叫作三角形的重心
5.如图所示几何体是由一个球体和一个圆柱组成的，它的俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
6.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点．若OE=3，则菱形ABCD的周长为( )
A. 6B. 12C. 24D. 48
7.我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果一间客房住9人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，则列出关于x，y的二元一次方程组正确的是( )
A. {7x−7=y9(x−1)=yB. {7x+7=y9(x−1)=yC. {7x+7=y9x−1=yD. {7x−7=y9x−1=y
8.陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一.图②是从正面看到的一个“老碗”(图①)的形状示意图．AB是⊙O的一部分，D是AB的中点，连接OD，与弦AB交于点C，连接OA，OB.已知AB=24cm，碗深CD=8cm，则⊙O的半径OA为( )
A. 13cmB. 16cmC. 17cmD. 26cm
9.如图，AB，CD是⊙O的两条直径，E是劣弧BC的中点，连接BC，DE.若∠ABC=22°，则∠CDE的度数为( )
A. 22°
B. 32°
C. 34°
D. 44°
10.如图1，点P从等边三角形ABC的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B.设点P运动的路程为x,PBPC=y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形ABC的边长为( )
A. 6B. 3C. 4 3D. 2 3
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.分解因式：xy2−x= ．
12.已知关于x的一元二次方程x2+mx−2=0的一个根为−1，则m的值为______，另一个根为______．
13.《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法.“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺(即图中的ABC).“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度.如图，点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D.测得AB=40cm，BD=20cm，AQ=12m，则树高PQ=______m．
14.某射击运动队进行了五次射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如图所示，甲、乙两选手成绩的方差分别记为S 甲2、S 乙2，则S 甲2______S 乙2.(填“>”“<”或“=”)
15.如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，垂足为E，连接CE，若tan∠ADB=12，则tan∠DEC的值是______．
16.如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移到OB的中点O′处，得到扇形A′O′B′.若∠O=90°，OA=2，则阴影部分的面积为 ．
三、计算题：本大题共2小题，共12分。
17.计算：(12)−1− 9+3tan30°+| 3−2|．
18.解不等式组：2x+1≥x+22x−1<12(x+4)．
四、解答题：本题共9小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
先化简，再求值：aba−b÷(1a+b+2ba2−b2)，其中a= 5+1，b= 5−1．
20.(本小题8分)
如图，在矩形ABCD中，AC是对角线．
(1)实践与操作：利用尺规作线段AC的垂直平分线，垂足为点O，交边AD于点E，交边BC于点F(要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母)．
(2)猜想与证明：试猜想线段AE与CF的数量关系，并加以证明．
21.(本小题8分)
5月30日是全国科技工作者日，某校准备举办“走近科技英雄，讲好中国故事”的主题比赛活动．八年级(一)班由A1、A2、A3三名同学在班上进行初赛，推荐排名前两位的同学参加学校决赛．
(1)请写出在班上初赛时，这三名同学讲故事顺序的所有可能结果；
(2)若A1、A2两名同学参加学校决赛，学校制作了编号为A、B、C的3张卡片(如图，除编号和内容外，其余完全相同)，放在一个不透明的盒子里．先由A1随机摸取1张卡片记下编号，然后放回，再由A2随机摸取1张卡片记下编号，根据摸取的卡片内容讲述相关英雄的故事．求A1、A2两人恰好讲述同一名科技英雄故事的概率(请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程)．
22.(本小题10分)
每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图1，架在消防车上的云梯AB可伸缩(最长可伸至20m)，且可绕点B转动，其底部B离地面的距离BC为2m，当云梯顶端A在建筑物EF所在直线上时，底部B到EF的距离BD为9m．
(1)若∠ABD=53°，求此时云梯AB的长．
(2)如图2，若在建筑物底部E的正上方19m处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由．
(参考数据：sin53°≈0.8，cs53°≈0.6，tan53°≈1.3)
23.(本小题10分)
“双减”政策实施后，某校为丰富学生的课余生活，开设了A书法，B绘画，C舞蹈，D跆拳道四类兴趣班.为了解学生对这四类兴趣班的喜爱情况，随机抽取该校部分学生进行了问卷调查，并将调查结果整理后绘制成两幅不完整的统计图.请根据统计图信息回答下列问题．

(1)本次抽取调查学生共有______人，估计该校3000名学生喜爱“跆拳道”兴趣班的人数约为______人；
(2)请将以上两个统计图补充完整；
(3)甲、乙两名学生要选择参加兴趣班，若他们每人从A，B，C，D四类兴趣班中随机选取一类，请用画树状图或列表法，求两人恰好选择同一类的概率．
24.(本小题10分)
反比例函数y=4x的图象如图所示，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与y=4x的图象交于A(m,4)，B(−2,n)两点．
(1)求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
(2)观察图象，直接写出不等式kx+b<4x的解集；
(3)一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点C，连接OA，求△OAC的面积．
25.(本小题10分)
如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于点D，点E是BC的中点，连接OE、DE．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若sinC=45,DE=5，求AD的长；
26.(本小题10分)
已知四边形ABCD中，BC=CD，连接BD，过点C作BD的垂线交AB于点E，连接DE．
(1)如图1，若DE/​/BC，求证：四边形BCDE是菱形；
(2)如图2，连接AC，设BD，AC相交于点F，DE垂直平分线段AC．
①求∠CED的大小；
②若AF=AE，求证：BE=CF．
27.(本小题12分)
如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于点A、B，交y轴于点C，点B的坐标为(1,0)，对称轴是直线x=−1，点P是x轴上一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)若点P在线段AO上运动(点P与点A、点O不重合)，求四边形ABCN面积的最大值，并求出此时点P的坐标；
(3)若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了正数和负数，熟练掌握正数和负数可以用来表示具有相反意义的量是解题的关键．根据正数和负数可以用来表示具有相反意义的量解答即可．
【解答】
解：“零上”与“零下”相对，若零上10℃记作+10℃，则零下10℃记作−10℃．
故选C．
2.【答案】B
【解析】解：A选项，原式=m5，故该选项不符合题意；
B选项，原式=−m+n，故该选项符合题意；
C选项，原式=m2+mn，故该选项不符合题意；
D选项，原式=m2+2mn+n2，故该选项不符合题意；
故选：B．
根据同底数幂的乘法判断A选项；根据去括号法则判断B选项；根据单项式乘多项式判断C选项；根据完全平方公式判断D选项．
本题考查了整式的混合运算，掌握(a+b)2=a2+2ab+b2是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【解答】
解：3400万=34000000=3.4×107．
故选：C．
4.【答案】B
【解析】解：成语“水中捞月”表示的事件是不可能事件，故选项A正确，不符合题意；
∵一元二次方程x2+x+3=0，
∴Δ=12−4×1×3=−11<0，
∴一元二次方程x2+x+3=0无实数根，故选项B错误，符合题意；
任意多边形的外角和等于360°，故选项C正确，不符合题意；
三角形三条中线的交点叫作三角形的重心，故选项D正确，不符合题意；
故选：B．
根据随机事件的定义可以判断A；根据根的判别式可以判断B；根据任意多边形的外角和都是360°可以判断C；根据三角形重心的定义可以判断D．
本题考查三角形的重心、根的判别式、三角形的重心、随机事件，解答本题的关键是明确题意，可以判断各个选项中的说法是否正确．
5.【答案】A
【解析】解：根据题意可得，球体的俯视图是一个圆，圆柱的俯视图也是一个圆，圆柱的底面圆的半径大于球体的半径，如图，
故A选项符合题意．
故选：A．
根据俯视图的定义进行判定即可得出答案．
本题主要考查了简单组合体的三视图，熟练掌握简单组合体．的三视图的判定方法进行求解是解决本题的关键．
6.【答案】C
【解析】【分析】
由菱形的性质可得出AC⊥BD，AB=BC=CD=DA，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出CD的长，结合菱形的周长公式即可得出结论．
本题考查了菱形的性质以及直角三角形的性质，解题的关键是求出CD=6．
【解答】
解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，AB=BC=CD=DA，
∴△COD为直角三角形．
∵OE=3，点E为线段CD的中点，
∴CD=2OE=6．
∴C菱形ABCD=4CD=4×6=24．
故选：C．
7.【答案】B
【解析】【解答】
解：设该店有客房x间，房客y人，
根据题意得：{7x+7=y9(x−1)=y,
故选：B．
【分析】
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据题意得出方程组是解决问题的关键．
设该店有客房x间，房客y人，根据“一房七客多七客，一房九客一房空”得出方程组即可．
8.【答案】A
【解析】解：∵AB是⊙O的一部分，D是AB的中点，AB=24cm，
∴OD⊥AB，AC=BC=12AB=12cm．
设⊙O的半径OA为R cm，则OC=OD−CD=(R−8)cm．
在Rt△OAC中，∵∠OCA=90°，
∴OA2=AC2+OC2，
∴R2=122+(R−8)2，
∴R=13，
即⊙O的半径OA为13cm．
故选：A．
首先利用垂径定理的推论得出OD⊥AB，AC=BC=12AB=12cm，再设⊙O的半径OA为Rcm，则OC=(R−8)cm.在Rt△OAC中根据勾股定理列出方程R2=122+(R−8)2，求出R即可．
本题考查了垂径定理、勾股定理的应用，设⊙O的半径OA为R cm，列出关于R的方程是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】【分析】
连接OE，根据等腰三角形的性质求出∠OCB，根据三角形内角和定理求出∠BOC，进而求出∠COE，再根据圆周角定理计算即可．
本题考查的是圆周角定理、三角形内角和定理、等腰三角形的性质，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
【解答】
解：连接OE，
∵OC=OB，∠ABC=22°，
∴∠OCB=∠ABC=22°，
∴∠BOC=180°−22°×2=136°，
∵E是劣弧BC的中点，
∴CE=BE，
∴∠COE=12×136°=68°，
由圆周角定理得：∠CDE=12∠COE=12×68°=34°，
故选：C．
10.【答案】A
【解析】解：如图，令点P从顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点O，再从点O沿直线运动到顶点B，
∖
结合图象可知，当点P在AO上运动时，PBPC=1，
∴PB=PC，AO=2 3，
又∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC，
在△APB和△APC中
AB=ACPB=PCAP=AP
∴△APB≌△APC(SSS)，
∴∠BAO=∠CAO=30°，
当点P在OB上运动时，可知点P到达点B时的路程为4 3，
∴OB=2 3，即AO=OB=2 3，
∴∠BAO=∠ABO=30°，
过点O作OD⊥AB，垂足为D，
∴AD=BD，则AD=AO⋅cs30°=3，
∴AB=AD+BD=6，
即等边三角形ABC的边长为6．
故选：A．
如图，令点P从顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点O，再从点O沿直线运动到顶点B，结合图象可知，当点P在AO上运动时，PB=PC，AO=2 3，易知∠BAO=∠CAO=30°，当点P在OB上运动时，可知点P到达点B时的路程为4 3，可知AO=OB=2 3，过点O作OD⊥AB，解直角三角形可得AD=AO⋅cs30°，进而得出等边三角形ABC的边长．
本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是综合利用两个图形给出的条件．
11.【答案】x(y−1)(y+1)
【解析】【分析】
本题考查了用提取公因式法和平方差公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止，先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】
解：xy2−x，
=x(y2−1)，
=x(y−1)(y+1)．
故答案为：x(y−1)(y+1)．
12.【答案】−1，2．
【解析】解：将x=−1代入原方程可得1−m−2=0，
解得：m=−1，
∵方程的两根之积为ca=−2，
∴方程的另一个根为−2÷(−1)=2．
故答案为：−1，2．
将x=−1代入原方程，可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值，再结合两根之积等于−2，即可求出方程的另一个根．
本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记“两根之和等于−ba，两根之积等于ca”是解题的关键．
13.【答案】6
【解析】解：由题意可得，
BC//PQ，AB=40cm，BD=20cm，AQ=12m，
∴△ABC∽△AQP，
∴ABBD=AQQP，
即4020=12QP，
解得：QP=6，
∴树高PQ=6m，
故答案为：6．
根据题意可知：△ABC∽△AQP，从而可以得到ABBD=AQQP，然后代入数据计算，即可得到PQ的长．
本题考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
14.【答案】>
【解析】【分析】
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
直接根据图表数据的波动大小进行判断即可．
【解答】
解：由图表数据可知，
甲数据偏离平均数数据较大，乙数据偏离平均数数据较小，
即甲的波动性较大，即方差大，
故答案为：>．
15.【答案】23
【解析】解：如图，过点C作CF⊥BD于点F，
在△ABE与△CDF中，
∠AEB=∠CFD∠ABE=∠CDFAB=CD，
∴△ABE≌△CDF(AAS)，
∴AE=CF，BE=FD，
∵AE⊥BD，tan∠ADB=12，
设AB=a，则AD=2a，
∴BD= 5a，
∵S△ABD=12BD·AE=12AB·AD，
∴AE=CF=2 55a，
∴BE=FD= 55a，
∴EF=BD−2BE= 5a−2 55a=3 55a，
∴tan∠DEC=CFEF=23，
故答案为：23．
本题考查了矩形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握锐角三角函数定义是解题的关键．
16.【答案】π3+ 32
【解析】【分析】
如图，设O′A′交AB于点T，连接OT.首先证明∠OTO′=30°，根据S阴=S扇形O′A′B′−(S扇形OTB−S△OTO′)求解即可．
本题考查扇形面积的计算等知识，解题的关键是学会割补法求阴影部分的面积．
【解答】
解：如图，设O′A′交AB于点T，连接OT．
∵OT=OB，OO′=O′B，
∴OT=2OO′，
∵∠OO′T=90°，
∴∠O′TO=30°，∠TOO′=60°，
∴OO′=1， O′T= 3，
∴S阴=S扇形O′A′B′−(S扇形OTB−S△OTO′)
=90⋅π×22360−(60⋅π⋅22360−12×1× 3)
=π3+ 32．
故答案为：π3+ 32．
17.【答案】解：原式=2−3+3× 33+2− 3
=2−3+ 3+2− 3
=1．
【解析】直接利用特殊角的三角函数值以及负整数指数幂和绝对值的性质化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
18.【答案】解：2x+1≥x+2①2x−1<12(x+4)②，
解不等式①，得x≥1，
解不等式②，得x<2，
故原不等式组的解集为：1≤x<2．
【解析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集是解答此题的关键．
分别求出每一个不等式的解集，再根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
19.【答案】解：aba−b÷(1a+b+2ba2−b2)
=aba−b÷a−b+2b(a+b)(a−b)
=aba−b⋅(a+b)(a−b)a+b
=ab，
当a= 5+1，b= 5−1时，原式=( 5+1)( 5−1)
=5−1
=4．
【解析】先算括号里，再算括号外，然后把a，b的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
20.【答案】解：(1)如图，

(2)AE=CF，证明如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴AO=CO，
在△AOE和△COF中，
∠AEO=∠CFO∠EAO=∠FCOAO=CO，
∴△AOE≌△COF(AAS)，
∴AE=CF．
【解析】(1)利用尺规作图−线段垂直平分线的作法，进行作图即可；
(2)利用矩形的性质求证∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，由线段的垂直平分线得出AO=CO，即可证明△AOE≌△COF，进而得出AE=CF．
本题考查了基本作图，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握线段垂直平分线的作法，矩形的性质，全等三角形的判定方法是解决问题的关键．
21.【答案】解：(1)这三名同学讲故事的顺序是：A1、A2、A3；A1、A3、A2；A2、A1、A3；A2、A3、A1；A3、A1、A2；A3、A2、A1；共6种等可能的情况数；
(2)根据题意画图如下：

共有9种等可能的情况数，其中A1、A2两人恰好讲述同一名科技英雄故事的有3种，
则A1、A2两人恰好讲述同一名科技英雄故事的概率是39=13．
【解析】(1)根据题意列出所有等可能的情况数即可；
(2)画出树状图，得出所有等可能的情况数，找出A1、A2两人恰好讲述同一名科技英雄故事的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22.【答案】解：(1)在Rt△ABD中，∠ABD=53°，BD=9m，
∴AB=BDcs53∘≈90.6=15(m)，
∴此时云梯AB的长为15m；
(2)在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处，
理由：由题意得：
DE=BC=2m，
∵AE=19m，
∴AD=AE−DE=19−2=17(m)，
在Rt△ABD中，BD=9m，
∴AB= AD2+BD2= 172+92= 370(m)，
∵ 370m<20m，
∴在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处．
【解析】(1)在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，即可解答；
(2)根据题意可得DE=BC=2m，从而求出AD=17m，然后在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，进行比较即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
23.【答案】解：(1)60，300；
(2)A选项人数为60×35%=21(人)，
C选项人数占被调查的总人数的百分比为1560×100%=25%，
D选项人数占被调查总人数的百分比为660×100%=10%，
补全图形如下：
(3)画树状图为：
共有16种等可能的结果数，其中两人恰好选中同一类的结果数为4，
所以两人恰好选择同一类的概率为416=14．
【解析】解：(1)本次抽取调查的学生总人数为18÷30%=60(人)，
估计该校3000名学生喜爱“跆拳道”兴趣班的人数约为3000×660=300(人)，
故答案为：60，300；
(2)见答案；
(3)见答案．
(1)根据B类型的人数及其占总人数的百分比可得被调查的总人数，用总人数乘以样本中D类型人数占被调查的总人数的百分比可得答案；
(2)用总人数乘以A类型对应的百分比可得其人数，据此可补全条形图，分别用C、D类型人数除以总人数求出其所占百分比即可补全扇形图；
(3)画树状图列出所有等可能结果，并从中找到两人恰好选择同一类的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
24.【答案】解：(1)∵(m,4)，(−2,n)在反比例函数y=4x的图象上，
∴4m=−2n=4，
解得m=1，n=−2，
∴A(1,4)，B(−2,−2)，
把(1,4)，(−2,−2)代入y=kx+b中得k+b=4−2k+b=−2，
解得k=2b=2，
∴一次函数解析式为y=2x+2．
画出函数y=2x+2图象如图；

(2)由图象可得当0∴kx+b<4x的解集为x<−2或0(3)把y=0代入y=2x+2得0=2x+2，
解得x=−1，
∴点C坐标为(−1,0)，
∴S△AOC=12×1×4=2．
【解析】(1)将A，B两坐标先代入反比例函数求出m，n，然后由待定系数法求函数解析式．
(2)根据直线在曲线下方时x的取值范围求解．
(3)由直线解析式求得C点的坐标，然后根据三角形面积公式即可求解．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键是掌握函数与方程及不等式的关系．
25.【答案】(1)证明：连接BD，OD，

在Rt△ABC中，∠ABC=90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即BD⊥AC，
在Rt△BDC中，点E是BC的中点，
∴BE=DE=12BC，
又∵OB=OD，OE=OE，
∴△OBE≌△ODE(SSS)，
∴∠OBE=∠ODE=90°，
∵D在⊙O上
∴DE是⊙O的切线．
(2)解：由(1)中结论，得BC=2DE=10，
在Rt△BDC中，sinC=BDBC=BD10=45，
∴BD=8,CD= BC2−BD2=6，
∵∠A+∠C=90°，∠A+∠ABD=90°，
∴∠C=∠ABD，
又∵∠ADB=∠BDC=90°，
∴△ADB∽△BDC，
∴ADBD=BDCD，
∴AD=BD2CD=826=323．
【解析】(1)连接BD，OD，先根据直角三角形的性质，证明BE=DE，再证明△OBE≌△ODE(SSS)即可；
(2)由(1)中结论，得BC=2DE=10，先根据三角函数及勾股定理求出BD，CD的长，再证明△ADB∽△BDC即可．
此题是圆的综合题，主要考查了切线的性质与判定，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，判断出△ADB∽△BDC是解本题的关键．
26.【答案】(1)证明：如图1，∵CB=CD，CE⊥BD，
∴DO=BO，
∵DE/​/BC，
∴∠DEO=∠BCO，
在△DOE和△BOC中，
∠DEO=∠BCO∠DOE=∠BOCDO=BO,
∴△DOE≌△BOC(AAS)，
∴DE=BC，
又DE/​/BC，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∵CD=CB，
∴平行四边形BCDE是菱形；
(2)①解：∵DE垂直平分AC，
∴AE=EC，
∴∠AED=∠CED，
又∵CD=CB且CE⊥BD，
∴CE垂直平分DB，
∴DE=BE，
∴∠DEC=∠BEC，
∴∠AED=∠CED=∠BEC，
又∵∠AED+∠CED+∠BEC=180°，
∴∠CED=13×180°=60°；
②证明：由①得AE=EC，
又∵∠AEC=∠AED+∠DEC=120°，
∴∠ACE=30°，
同理可得，在等腰△DEB中，∠EBD=30°，
∴∠ACE=∠ABF=30°，
在△ACE与△ABF中，
∠ACE=∠ABF∠CAE=∠BAFAE=AF，
∴△ACE≌△ABF(AAS)，
∴AC=AB，
又∵AE=AF，
∴AB−AE=AC−AF，
即BE=CF．
【解析】【分析】
本题是四边形综合题，主要考查了菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
(1)利用AAS证明△DOE≌△BOC，得DE=BC，从而得出四边形BCDE是平行四边形，再根据CD=CB，即可证明结论；
(2)①根据线段垂直平分线的性质得，AE=EC，DE=BE，则∠AED=∠CED=∠BEC，再根据平角的定义，可得答案；
②利用AAS证明△ACE≌△ABF，可得AC=AB，由AE=AF，利用等式的性质，即可证明结论．
27.【答案】解：(1)∵抛物线对称轴是直线x=−1，点B的坐标为(1,0)，
∴点A的坐标为(−3,0)，
∴二次函数解析式为y=(x−1)(x+3)=x2+2x−3；
(2)连接ON，如图：
设P(m,0)，则N(m,m2+2m−3)，
在y=x2+2x−3中，令x=0得y=−3，
∴C(0,−3)，
∴OC=3，
∴S四边形ABCN=S△AON+S△BOC+S△CON
=12×3(−m2−2m+3)+12×1×3+12×3(−m)
=−32m2−92m+6
=−32(m+32)2+758，
∵−32<0，
∴当m=−32时，S四边形ABCN取最大值758，
此时P(−32,0)；
∴四边形ABCN面积的最大值是758，此时点P的坐标为(−32,0)；
(3)在y轴上存在点Q，使以M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形，理由如下：
由A(−3,0)，C(0,−3)得直线AC解析式为y=−x−3，
设Q(0,t)，P(n,0)，则M(n,−n−3)，N(n,n2+2n−3)，
∵MN//CQ，
∴当M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形时，MN，CQ是一组对边；
①当MC，NQ为对角线时，MC，NQ的中点重合，且CN=CQ，
∴−n−3−3=t+n2+2n−3n2+(n2+2n)2=(t+3)2，
解得n=0t=−3(此时M，N与C重合，舍去)或n=−2t=−1；
∴Q(0,−1)；
②当MQ，CN为对角线时，MQ，CN的中点重合，且CQ=CM，
∴−n−3+t=n2+2n−3−3(t+3)2=n2+(−n)2，
解得n=0t=−3(舍去)或n=−3+ 2t=−1−3 2或n=−3− 2t=−1+3 2，
∴Q(0,−1−3 2)或(0,−1+3 2)；
综上所述，Q的坐标为(0,−1)或(0,−1−3 2)或(0,−1+3 2).
【解析】(1)由抛物线对称轴是直线x=−1，点B的坐标为(1,0)，得点A的坐标为(−3,0)，故二次函数解析式为y=(x−1)(x+3)=x2+2x−3；
(2)连接ON，设P(m,0)，则N(m,m2+2m−3)，可得S四边形ABCN=S△AON+S△BOC+S△CON=−32m2−92m+6=−32(m+32)2+758，根据二次函数的性质可得答案；
(3)由A(−3,0)，C(0,−3)得直线AC解析式为y=−x−3，设Q(0,t)，P(n,0)，则M(n,−n−3)，N(n,n2+2n−3)，由MN//CQ，知MN，CQ是一组对边；分两种情况：①当MC，NQ为对角线时，MC，NQ的中点重合，且CN=CQ，②当MQ，CN为对角线时，MQ，CN的中点重合，且CQ=CM，分别列出方程组，即可解得答案．
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形，四边形面积，菱形性质及应用，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．