甘肃省武威市2025-2026学年中考数学模试卷（含答案解析）

这是一份甘肃省武威市2025-2026学年中考数学模试卷（含答案解析），共13页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁等内容，欢迎下载使用。
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．某公园里鲜花的摆放如图所示，第①个图形中有3盆鲜花，第②个图形中有6盆鲜花，第③个图形中有11盆鲜花，……，按此规律，则第⑦个图形中的鲜花盆数为（）
A．37B．38C．50D．51
2．半径为3的圆中，一条弦长为4，则圆心到这条弦的距离是（ ）
A．3B．4C．D．
3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC+∠DCB=90°，且BC=2AD，分别以AB、BC、DC为边向外作正方形，它们的面积分别为S1、S2、S1．若S2=48，S1=9，则S1的值为（ ）
A．18B．12C．9D．1
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，那么sin∠B等于( )
A．B．C．D．
5．如图，剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A．∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCDB．AB＝BC
C．AB＝CD，AD＝BCD．∠DAB+∠BCD＝180°
6．某单位组织职工开展植树活动，植树量与人数之间关系如图，下列说法不正确的是（ ）
A．参加本次植树活动共有30人B．每人植树量的众数是4棵
C．每人植树量的中位数是5棵D．每人植树量的平均数是5棵
7．据资料显示，地球的海洋面积约为360000000平方千米，请用科学记数法表示地球海洋面积面积约为多少平方千米( )
A．B．C．D．
8．若x，y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）
A．B．C．D．
9．如图是几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．圆锥B．圆柱C．三棱柱D．三棱锥
10．一个圆锥的侧面积是12π，它的底面半径是3，则它的母线长等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
11．某经销商销售一批电话手表，第一个月以550元/块的价格售出60块，第二个月起降价，以500元/块的价格将这批电话手表全部售出，销售总额超过了5.5万元．这批电话手表至少有（ ）
A．103块B．104块C．105块D．106块
12．下列各数：π，sin30°，﹣ ，其中无理数的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．如图，已知AB∥CD，=____________
14．如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠AED的正切值等于__________．
15．抛物线y=x2﹣2x+3的对称轴是直线_____．
16．的相反数是______，的倒数是______．
17．如果=k（b+d+f≠0），且a+c+e=3（b+d+f），那么k=_____．
18．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，csA=，BE=4，则tan∠DBE的值是_____．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）解不等式组并在数轴上表示解集．
20．（6分）某学校为弘扬中国传统诗词文化，在九年级随机抽查了若干名学生进行测试，然后把测试结果分为4个等级；A、B、C、D，对应的成绩分别是9分、8分、7分、6分，并将统计结果绘制成两幅如图所示的统计图．请结合图中的信息解答下列问题：
（1）本次抽查测试的学生人数为 ，图①中的a的值为 ；
（2）求统计所抽查测试学生成绩数据的平均数、众数和中位数．
21．（6分）规定：不相交的两个函数图象在竖直方向上的最短距离为这两个函数的“亲近距离”
（1）求抛物线y＝x2﹣2x+3与x轴的“亲近距离”；
（2）在探究问题：求抛物线y＝x2﹣2x+3与直线y＝x﹣1的“亲近距离”的过程中，有人提出：过抛物线的顶点向x轴作垂线与直线相交，则该问题的“亲近距离”一定是抛物线顶点与交点之间的距离，你同意他的看法吗？请说明理由．
（3）若抛物线y＝x2﹣2x+3与抛物线y＝+c的“亲近距离”为，求c的值．
22．（8分）M中学为创建园林学校，购买了若干桂花树苗，计划把迎宾大道的一侧全部栽上桂花树（两端必须各栽一棵），并且每两棵树的间隔相等，如果每隔5米栽1棵，则树苗缺11棵；如果每隔6米栽1棵，则树苗正好用完，求购买了桂花树苗多少棵？
23．（8分）如图，在平面直角坐标xOy中，正比例函数y＝kx的图象与反比例函数y＝的图象都经过点A（2，﹣2）．
（1）分别求这两个函数的表达式；
（2）将直线OA向上平移3个单位长度后与y轴交于点B，与反比例函数图象在第四象限内的交点为C，连接AB，AC，求点C的坐标及△ABC的面积．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+b与双曲线y＝相交于A，B两点，
已知A（2，5）．求：b和k的值；△OAB的面积．
25．（10分） 先化简，再求值： ，其中x是满足不等式﹣（x﹣1）≥的非负整数解．
26．（12分）如图，在△ABC中，∠A＝45°，以AB为直径的⊙O经过AC的中点D，E为⊙O上的一点，连接DE，BE，DE与AB交于点F.求证：BC为⊙O的切线；若F为OA的中点,⊙O的半径为2，求BE的长.
27．（12分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）直接写出关于原点的中心对称图形各顶点坐标：________________________；
（2）将绕B点逆时针旋转，画出旋转后图形.求在旋转过程中所扫过的图形的面积和点经过的路径长．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、D
【解析】
试题解析：
第①个图形中有 盆鲜花，
第②个图形中有盆鲜花，
第③个图形中有盆鲜花，
…
第n个图形中的鲜花盆数为
则第⑥个图形中的鲜花盆数为
故选C.
2、C
【解析】
如图所示：
过点O作OD⊥AB于点D，
∵OB=3，AB=4，OD⊥AB，
∴BD=AB=×4=2，
在Rt△BOD中，OD=．
故选C．
3、D
【解析】
过A作AH∥CD交BC于H，根据题意得到∠BAE=90°，根据勾股定理计算即可．
【详解】
∵S2=48，∴BC=4，过A作AH∥CD交BC于H，则∠AHB=∠DCB．
∵AD∥BC，∴四边形AHCD是平行四边形，∴CH=BH=AD=2，AH=CD=1．
∵∠ABC+∠DCB=90°，∴∠AHB+∠ABC=90°，∴∠BAH=90°，∴AB2=BH2﹣AH2=1，∴S1=1．
故选D．
本题考查了勾股定理，正方形的性质，平行四边形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
4、A
【解析】
根据锐角三角函数的定义得出sinB等于∠B的对边除以斜边，即可得出答案．
【详解】
根据在△ABC中，∠C=90°，
那么sinB= =，
故答案选A.
本题考查的知识点是锐角三角函数的定义，解题的关键是熟练的掌握锐角三角函数的定义.
5、D
【解析】
首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条纸条宽度相同；再由平行四边形的等积转换可得邻边相等，则四边形为菱形．所以根据菱形的性质进行判断．
【详解】
解:
四边形是用两张等宽的纸条交叉重叠地放在一起而组成的图形，
，，
四边形是平行四边形（对边相互平行的四边形是平行四边形）；
过点分别作，边上的高为，．则
（两纸条相同，纸条宽度相同）；
平行四边形中，，即，
，即．故正确；
平行四边形为菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）．
，（菱形的对角相等），故正确；
，（平行四边形的对边相等），故正确；
如果四边形是矩形时，该等式成立．故不一定正确．
故选：．
本题考查了菱形的判定与性质．注意：“邻边相等的平行四边形是菱形”，而非“邻边相等的四边形是菱形”．
6、D
【解析】
试题解析：A、∵4+10+8+6+2=30（人），
∴参加本次植树活动共有30人，结论A正确；
B、∵10＞8＞6＞4＞2，
∴每人植树量的众数是4棵，结论B正确；
C、∵共有30个数，第15、16个数为5，
∴每人植树量的中位数是5棵，结论C正确；
D、∵（3×4+4×10+5×8+6×6+7×2）÷30≈4.73（棵），
∴每人植树量的平均数约是4.73棵，结论D不正确．
故选D．
考点：1.条形统计图；2.加权平均数；3.中位数；4.众数．
7、B
【解析】
分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
详解：将360000000用科学记数法表示为：3.6×1．
故选：B．
点睛：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
8、D
【解析】
根据分式的基本性质，x，y的值均扩大为原来的3倍，求出每个式子的结果，看结果等于原式的即是答案．
【详解】
根据分式的基本性质，可知若x，y的值均扩大为原来的3倍，
A、，错误；
B、，错误；
C、，错误；
D、，正确；
故选D．
本题考查的是分式的基本性质，即分子分母同乘以一个不为0的数，分式的值不变．此题比较简单，但计算时一定要细心．
9、C
【解析】
分析：根据一个空间几何体的主视图和左视图都是长方形，可判断该几何体是柱体，进而根据俯视图的形状，可判断是三棱柱，得到答案．
详解：∵几何体的主视图和左视图都是长方形，
故该几何体是一个柱体，
又∵俯视图是一个三角形，
故该几何体是一个三棱柱，
故选C．
点睛：本题考查的知识点是三视图，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥，如果有两个矩形，该几何体一定柱，其底面由第三个视图的形状决定．
10、C
【解析】
设母线长为R，底面半径是3cm，则底面周长=6π，侧面积=3πR=12π，
∴R=4cm．
故选C．
11、C
【解析】
试题分析：根据题意设出未知数，列出相应的不等式，从而可以解答本题．设这批手表有x块，
550×60+（x﹣60）×500＞55000 解得，x＞104 ∴这批电话手表至少有105块
考点：一元一次不等式的应用
12、B
【解析】
根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，找出无理数的个数即可．
【详解】
sin30°=，=3，故无理数有π，-，
故选：B．
本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13、85°．
【解析】
如图,过F作EF∥AB，
而AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠ABF+∠BFE=180°，∠EFC=∠C，
∴∠α=180°−∠ABF+∠C=180°−120°+25°=85°
故答案为85°.
14、
【解析】
根据同弧或等弧所对的圆周角相等来求解．
【详解】
解：∵∠E=∠ABD，
∴tan∠AED=tan∠ABD==．
故选D．
本题利用了圆周角定理（同弧或等弧所对的圆周角相等）和正切的概念求解．
15、x=1
【解析】
把解析式化为顶点式可求得答案．
【详解】
解：∵y=x2-2x+3=（x-1）2+2，
∴对称轴是直线x=1，
故答案为x=1．
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．
16、2，
【解析】
试题分析：根据相反数和倒数的定义分别进行求解，﹣2的相反数是2，
﹣2的倒数是.
考点：倒数；相反数．
17、3
【解析】
∵=k，∴a=bk，c=dk，e=fk，∴a+c+e=bk+dk+fk=k(a+b+c)，
∵a+c+e=3(b+d+f)，∴k=3，
故答案为：3.
18、1．
【解析】
求出AD=AB，设AD=AB=5x，AE=3x，则5x﹣3x=4，求出x，得出AD=10，AE=6，在Rt△ADE中，由勾股定理求出DE=8，在Rt△BDE中得出代入求出即可，
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，
∵csA=，BE=4，DE⊥AB，
∴设AD=AB=5x，AE=3x，
则5x﹣3x=4，
x=1，
即AD=10，AE=6，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
在Rt△BDE中，
故答案为：1．
本题考查了菱形的性质，勾股定理，解直角三角形的应用，关键是求出DE的长．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19、﹣＜x≤0，不等式组的解集表示在数轴上见解析.
【解析】
先求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【详解】
解不等式2x+1＞0，得：x＞﹣，
解不等式，得：x≤0，
则不等式组的解集为﹣＜x≤0，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是掌握“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”．
20、（1）50、2；（2）平均数是7.11；众数是1；中位数是1．
【解析】
（1）根据A等级人数及其百分比可得总人数，用C等级人数除以总人数可得a的值；
（2）根据平均数、众数、中位数的定义计算可得．
【详解】
（1）本次抽查测试的学生人数为14÷21%=50人，a%=×100%=2%，即a=2．
故答案为50、2；
（2）观察条形统计图，平均数为=7.11．
∵在这组数据中，1出现了20次，出现的次数最多，∴这组数据的众数是1．
∵将这组数据从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是1，∴=1，∴这组数据的中位数是1．
本题考查了众数、平均数和中位数的定义．用到的知识点：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
21、（1）2；（2）不同意他的看法，理由详见解析；（3）c＝1．
【解析】
(1)把y=x2﹣2x+3配成顶点式得到抛物线上的点到x轴的最短距离，然后根据题意解决问题；
(2)如图，P点为抛物线y=x2﹣2x+3任意一点，作PQ∥y轴交直线y=x﹣1于Q，设P(t，t2﹣2t+3)，则Q(t，t﹣1)，则PQ=t2﹣2t+3﹣(t﹣1)，然后利用二次函数的性质得到抛物线y=x2﹣2x+3与直线y=x﹣1的“亲近距离”，然后对他的看法进行判断；
(3)M点为抛物线y=x2﹣2x+3任意一点，作MN∥y轴交抛物线于N，设M(t，t2﹣2t+3)，则N(t，t2+c)，与(2)方法一样得到MN的最小值为﹣c，从而得到抛物线y=x2﹣2x+3与抛物线的“亲近距离”，所以，然后解方程即可．
【详解】
(1)∵y=x2﹣2x+3=(x﹣1)2+2，
∴抛物线上的点到x轴的最短距离为2，
∴抛物线y=x2﹣2x+3与x轴的“亲近距离”为：2；
(2)不同意他的看法．理由如下：
如图，P点为抛物线y=x2﹣2x+3任意一点，作PQ∥y轴交直线y=x﹣1于Q，
设P(t，t2﹣2t+3)，则Q(t，t﹣1)，
∴PQ=t2﹣2t+3﹣(t﹣1)=t2﹣3t+4=(t﹣)2+，
当t=时，PQ有最小值，最小值为，
∴抛物线y=x2﹣2x+3与直线y=x﹣1的“亲近距离”为，
而过抛物线的顶点向x轴作垂线与直线相交，抛物线顶点与交点之间的距离为2，
∴不同意他的看法；
(3)M点为抛物线y=x2﹣2x+3任意一点，作MN∥y轴交抛物线于N，
设M(t，t2﹣2t+3)，则N(t，t2+c)，
∴MN=t2﹣2t+3﹣(t2+c)=t2﹣2t+3﹣c=(t﹣)2+﹣c，
当t=时，MN有最小值，最小值为﹣c，
∴抛物线y=x2﹣2x+3与抛物线的“亲近距离”为﹣c，
∴，
∴c=1．
本题是二次函数的综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，正确理解新定义是解题的关键．
22、购买了桂花树苗1棵
【解析】
分析：首先设购买了桂花树苗x棵，然后根据题意列出一元一次方程，从而得出答案．
详解：设购买了桂花树苗x棵，根据题意，得：5(x+11-1)=6(x-1)， 解得x=1．
答：购买了桂花树苗1棵．
点睛：本题主要考查的是一元一次方程的应用，属于基础题型．解决这个问题的关键就是找出等量关系以及路的长度与树的棵树之间的关系．
23、（1）反比例函数表达式为，正比例函数表达式为；
（2），.
【解析】
试题分析：（1）将点A坐标（2，-2）分别代入y=kx、y=求得k、m的值即可；（2）由题意得平移后直线解析式，即可知点B坐标，联立方程组求解可得第四象限内的交点C得坐标，可将△ABC的面积转化为△OBC的面积．
试题解析：（）把代入反比例函数表达式，
得，解得，
∴反比例函数表达式为，
把代入正比例函数，
得，解得，
∴正比例函数表达式为．
（）直线由直线向上平移个单位所得，
∴直线的表达式为，
由，解得或，
∵在第四象限，
∴，
连接，
∵，
，
，
．
24、（1）b=3，k=10；（2）S△AOB=．
【解析】
（1）由直线y=x+b与双曲线y=相交于A、B两点，A（2，5），即可得到结论；
（2）过A作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，根据y=x+3，y=，得到（-5，-2），C（-3，0）．求出OC=3，然后根据三角形的面积公式即可得到结论.
解：（）把代入．∴∴．
把代入，∴，
∴．
（）∵，．
∴时，，
∴，．∴．
又∵，
∴ ．
25、-
【解析】
【分析】先根据分式的运算法则进行化简，然后再求出不等式的非负整数解，最后把符合条件的x的值代入化简后的结果进行计算即可.
【详解】原式=，
=，
=，
∵﹣（x﹣1）≥，
∴x﹣1≤﹣1，
∴x≤0，非负整数解为0，
∴x=0，
当x=0时，原式=-.
【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的运算法则.
26、（1）证明见解析；（2）
【解析】
（1）连接BD，由圆周角性质定理和等腰三角形的性质以及已知条件证明∠ABC=90°即可；
（2）连接OD，根据已知条件求得AD、DF的长，再证明△AFD∽△EFB，然后根据相似三角形的对应边成比例即可求得.
【详解】
（1）连接BD，
∵AB为⊙O的直径，∴BD⊥AC，
∵D是AC的中点，∴BC=AB，
∴∠C=∠A＝45°，
∴∠ABC=90°，
∴BC是⊙O的切线；
（2）连接OD，由（1）可得∠AOD=90°，
∵⊙O的半径为2， F为OA的中点，
∴OF=1， BF=3，，
∴，
∵，
∴∠E=∠A，
∵∠AFD=∠EFB，
∴△AFD∽△EFB，
∴，即，
∴.
本题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理的运用；证明某一线段是圆的切线时，一般情况下是连接切点与圆心，通过证明该半径垂直于这一线段来判定切线.
27、（1），，；（2）作图见解析，面积，．
【解析】
（1）由在平面直角坐标系中的位置可得A、B、C的坐标，根据关于原点对称的点的坐标特点即可得、、的坐标；
（2）由旋转的性质可画出旋转后图形，利用面积的和差计算出，然后根据扇形的面积公式求出，利用旋转过程中扫过的面积进行计算即可．再利用弧长公式求出点C所经过的路径长．
【详解】
解：（1）由在平面直角坐标系中的位置可得：
，，，
∵与关于原点对称，
∴，，
（2）如图所示，即为所求，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴在旋转过程中所扫过的面积：
点所经过的路径：
．
本题考查的是图形的旋转、及扇形面积和扇形弧长的计算，根据已知得出对应点位置，作出图形是解题的关键．