四川省达州市2026届高三下高考第二次诊断测试数学试卷

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达州市普通高中 2026 届第二次诊断性测试
数学参考答案
1. A 2. B3.B4.A 5.D6.C7.A 8. B9.AC10.ACD11.ABD
3
12.113. 2
14.16 ； 64  128π
3
C 2  C 24
C
2
15.（1）由题意可得，选出的2 人选择社团种类个数相同的概率 P  23 ．
615
由题意可得， X 的所有可能取值为 4 ， 5 ， 6 ， 7 .
C 21C1C16
P( X  4)  2 ，P( X  5)  2 3 ，
C
C
6
6
215215
C 2  C1C1
C
2
P( X  6)  32 1
6
故 X 的分布列为：
 1 ，
3
C1C1 P( X  7)  3 1
C
2
6
 1 .
5
E( X )  4  1  5  6  6  1  7  1  17 .
1515353
a5  a1  4d，a1  3，
X
4
5
6
7
P
1
15
6
15
1
3
1
5
16.（1）由题意可得a
 a  6d
解得d  2，
 71，
 an  2n 1.
（2）在a1 和 a 2 之间插入 21 个1，在 a2 和 a3 之间插入 22 个1，
在 a3 和 a4 之间插入 23 个1，……，在 a8 和 a9 之间插入 28 个1，
（2 1- 28）8
此时共插入1的个数为：
1 2
 （2 2 -1） 510 .
(3 19)  9
 T519  (a1  a2  a9 )  510 
17.（1）取 BC 中点为O ，连接 AO , B1O ．
 B BO  π .
 510  609 .
2
14
在△BOB 中，据余弦定理可得 B O2  BB 2  BO2  2BB  BO cs π  4 ，
11114
于是， BB 2  B O2  BO2 ，所以 B O  BC ．
111
易知 AO  BC ， AO ∩ B1O  O ，
 BC  平面 AOB1 ．
 AB1  平面 AOB1 ， AB1  BC ．
(2)平面 BB1C1C  平面 ABC ，平面 BB1C1C ∩ 平面 ABC  BC , B1O  平面 BB1C1C ， B1O  BC
 B1O  平面 ABC ,
以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O  xyz ，
––––→––––→
 3BM  MC .
z
––––→–––→
B1(0，0，2) ， B(0，2，0) ， A(2，0，0) ， M (0，1，0) ， B1 A1  BA  (2， 2，0)
C1B1
设平面 A1MB1 的法向量 m  (x, y, z) ，
m  ––––→A1
 B1 A1  0， 2x  2 y  0,OM
––––→
m  0，
 y  2z  0，CB
MB1y
A
令 y  2 ，则 x  2 ， z  1，
x
平面 A1MB1 的一个法向量 m  (2，2，1) .
又易知平面 ABC 的一个法向量 n  (0，0，1) ，
m  n
 cs  m，n   1 .
| m |  | n |3
平面 A MB 与平面 ABC 的夹角的余弦值为 1 .
11
(1)由题意知，动点 M 的轨迹为以 F (0
3
1) 为焦点、以直线 y   1 为准线的抛物线，
，
22
因此动点 M 的轨迹方程为 x2  2 y .
 A (x ,y )
2 x
(2)
nnn
在抛物线 M ： x
2 y 上，
y  n ，
2
n2
–––––→––––––––→
 An Bn  An 1Bn 1 , An Bn ∥ An 1Bn 1 ，
 A B 是倾斜角为的 3π 的直线，即斜率为1，
1 14
A (x ,y )
A B x2  
过 nnn

且斜率为 1的直线 n n ： y n
2
x2
(xxn ) ，
 y  n
 (x  x )，
x2x2
联立方程组 2
n，可得
 n
22
 (x  xn ) ，
x2  2 y
解得 x  xn  2 或 x  xn （舍去）
直线 An1Bn 的斜率为0 ， Bn (xn 1,yn 1)
 xn1  xn  2
∴ xn1  xn  2 .
数列xn  是以首项为 2 ，公差为 2 的等差数列，
 xn  2  2(n 1)  2n .
(3)由(2)题意可知: y
x2
 n
 (2n)2 2
2n
n22
A (2n, 2n2 ) , A(2n  2, 2(n 1)2 ) , A(2n  4, 2(n  2)2 )
nn1n2
过 An ， An1 ， An2 分别向 y 轴作垂线，垂足分别为点Cn ， Cn1 ， Cn2 ，
梯形C A A C
的面积为 S
 1 (| A C
|  | A C
|) | C C|
n n n 1
n 1
Cn An An1Cn12
n nn 1
n 1
n n 1
SCn An An1Cn1
 1 (2n  2n  2)[2(n 1) 2  2n 2]  2(2n 1) 2 .
2
C A A C
同理可得： S
n1 n1 n2 n2
 2(2n  3)2 .
梯形Cn An An 2C
n 2
的面积为 S
Cn An An2Cn2
 1 (2n  2n  4)[2(n  2) 2  2n 2]  16(n 1) 2 .
2
 △ A A A
S
n n1 n2
 S
C A A C
n n n1 n1
 S
C A A C
n1 n1 n2 n2
 S
C A A C
.
n n n2 n2
△ A A A
 S 2(2n 1)2  2(2n  3)2 16(n 1)2 .
n n1 n2
△ A A A
 S 16n 2  32n  20  (16n 2  32n 16)  4
n n1 n2
△ An An1 An2 的面积为定值 4 .
(1) f (x)  ex  xex  (x 1)ex
当 x  1 时， f (x)  0 ，当 x  1时， f (x)  0
 f (x) 单调递减区间为(，1) ，单调递增区间为(1， )
(2)（i）由题意得 xex  ln x  x  a  0 有两个正根 x1 ， x2
构建t  xex ， ln t  x  ln x
等价于t  ln t  a 有两个正根t1 ， t2 ， t1  f (x1 ) ， t2  f (x2 )
令 h(t)  t  ln t  h(t)  1 1  t 1
tt
 h(t) 在(1， ) 上单增，在(0，1) 上单减.
 h(t)min  h(1)  1  0  1
又 x  0 时， h(t)   ； x   时， h(t)   .
 a 的范围为(1, ) .
（ii） t  (x 1)ex  0 在 x (0， ) 时恒成立 t  xex 上 x (0, ) 在单调递增
由t1  f (x1 ) ， t2  f (x2 )
不妨设0  x1  x2
 0  t1  t2

 t1  ln t1  a  0，
ln t2  t  t
t
，
t2  ln t2  a  0
令u  t2 ，则u >1
t1
21 ，
1
t2
ln u
u  t ，
t1 ，

1
t,整理可得
u 1
，
u ln u
ln 2  t  tt 
21
t1
 2
u 1
11 k
1  1  k
u 1
u 1u 2 1
12
f (x )f (x )
，即 tt
，也即
ln u
 k .
u ln uu ln u
12
 u2 1 ku ln u  0 在u (1, ) 时恒成立.
令(u)  u 2 1 ku ln u ，(u)  2u  k(ln u 1) .
(1)  12 1 0  0 .(1)  2  k ≥ 0 . k ≤ 2 .
当 k ≤ 2 时，记 w(u) (u) ，则 w(u)  2  k ，
u
 u (1, )
①当 k ≤ 0 时 2  k  0 ,
u
②当  k ≤ 2 时 w(u)  2  k 为增函数， w(u)  w(1)  2  k ≥0 ，
u
(u) 在u (1, ) 单调递增.
(u) (1)  0(u) 在u (1, ) 单调递增.
(u) (1)  12 1  0  0 ，可知 k ≤ 2 时符合题意.