广东省汕尾市2025—2026学年度第二学期教学质量监测 九年级 数学试题（含解析）中考模拟

这是一份广东省汕尾市2025—2026学年度第二学期教学质量监测 九年级 数学试题（含解析）中考模拟试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁等内容，欢迎下载使用。
本试卷共8页，23小题，满分120分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的学校、姓名和班级填写在答题卡上．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列四个数中，最小的数是（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】根据有理数的大小比较及绝对值可直接进行排除选项．
【详解】解：∵，
∴，
∴最小的数是-2；
故选A．
本题主要考查有理数的大小比较及绝对值，熟练掌握有理数的大小比较及绝对值是解题的关键．
2. 从正月初二品清湖烟花和无人机秀的绚丽多彩，到正月初五新春英歌汇演的热闹非凡；从二马路非遗快闪的烟火气息，到红海湾沙雕、风筝的碧海欢歌，共同构成了一幅绚丽的新春旅游画卷，吸引省内外游客纷至沓来．据汕尾电信运营商漫游数据初步测算，春节假期天（月日至日），全市累计接待游客人次，较年春节假期天增长，实现旅游收入亿元、增长．数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】解：由科学记数法的表示形式为，要求满足，为整数，
∵将原数转变为符合要求的时，小数点向左移动了位，且原数绝对值大于，
∴，，
∴用科学记数法表示为．
3. 在平面直角坐标系中，把点绕原点旋转后，得到的对应点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查平面直角坐标系中点绕原点旋转的坐标变化规律，理解绕原点旋转就是关于原点对称是解决问题的关键．
绕原点旋转实质是求关于原点对称的点的坐标，利用关于原点对称的点的坐标性质即可求解．
【详解】解：在平面直角坐标系中，把点绕原点旋转后的坐标就是求点关于原点对称的点的坐标，
∴把点绕原点旋转后，得到的对应点的坐标为，
∴故选：D．
4. 陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一，如图是一个陀螺玩具（上面是圆柱体，下面是圆锥体），它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了三视图，熟练掌握三视图的定义是解题的关键．
根据主视图是从前面看到的图形进行求解即可．
【详解】解：从前面看到的图形是一个等腰三角形，和一个矩形，并且矩形在等腰三角形的正中间，即看到的图形如下：
故选：D．
5. 下列各式中，错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次根式化简、平方根与立方根的计算，对各选项逐一计算即可找出错误的选项．
【详解】解：选项A．，计算错误；
选项B．，计算正确；
选项C．，，计算正确；
选项D．，，计算正确．
6. 如图，点A、B、C在上，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由圆周角定理即可得到答案．
【详解】解：∵点A、B、C在上，且，
∴．
7. 已知不等式组，其解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解不等式组要先求出两个不等式的解集，然后依据解集口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找，确定不等式组解集，在数轴上表示；注意带有等号的数在数轴上用实心表示，没有等号用空心圈表示，即可得出选项．
【详解】解：，
解得，
解得，
不等式组的解集为：，
在数轴上表示为：
8. 如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值为（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据勾股定理求出，再根据三角函数的定义得出答案．
【详解】解：如图所示，根据题意，得，
在中，根据勾股定理，得，
∴．
9. 如图是学习分式方程应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程．
方程中的x和y表示的意义，下列说法错误的是（ ）
A. x表示甲队每天修路的长度B. x表示乙队每天修路的长度
C. y表示甲队修400米所用的时间D. y表示乙队修600米所用的时间
【答案】B
【解析】
【分析】根据两人的方程思路，可得出：表示甲队每天修路的长度；表示甲队修路400米所需时间或乙队修路600米所需时间；即可求解．
【详解】解：冰冰是根据时间相等列出的分式方程，
表示甲队每天修路的长度；
庆庆是根据乙队每天比甲队多修20米列出的分式方程，
表示甲队修路400米所需时间或乙队修路600米所需时间，
故选：B．
本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
10. 如图，是边长为的等边三角形的外接圆，点D是弧的中点，连接，，以点D为圆心，的长为半径在内画弧，将阴影部分剪下来围成一个圆锥，则圆锥底面圆的半径为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】如图所示，连接，根据等边三角形的性质得出，，再根据圆内接四边形的性质得出：，由垂径定理的推论和圆周角定理的推论可得，解直角三角形求出的长，最后根据圆锥侧面展开图的弧长等于其底面圆周长即可得出答案．
【详解】解：如图所示，连接，
∵是等边三角形，
，，
，
∵点为弧的中点，
，
∴垂直平分线段，
∴经过点O，
∴，，
，
设圆锥底面圆半径为r，则，
∴．
∴圆锥底面圆的半径为2．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 计算：________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查实数的运算，根据有理数的乘方，算术平方根及零指数幂将原式化简，再进行加减运算即可．掌握相应的运算法则、公式和运算顺序是解题的关键．
【详解】解：．
故答案为：．
12. 写出一条抛物线，，共有的性质：_____
【答案】
对称轴为轴（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．三条抛物线的解析式均为的形式，因此它们都具有相同的对称轴和顶点，即可作答．
【详解】解：二次函数的对称轴为轴，顶点坐标为，
当取、、时，这一性质保持不变．
故答案为：对称轴为轴（答案不唯一）．
13. 如图是加工某零件的尺寸要求，现有4件产品的直径尺寸（单位：）如下：．从中随机抽一个产品，则抽中合格产品的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据正负数的意义确定合格产品的数量，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：，
∵，
∴合格的产品有2件，
∴从中随机抽一个产品，则抽中合格产品的概率是．
14. 中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像的示意图，其对应的数学模型如图2所示．已知与交于点，．若点到的距离为，点到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可证明，结合高之比等于相似比得到，再结合蜡烛火焰的高度是求解即可．
【详解】解：∵与交于点，，
∴，
∵点到的距离为，点到的距离为，
∴，
∵蜡烛火焰的高度是，
∴，解得，即蜡烛火焰倒立的像的高度是．
15. 数学中，把这个比例称为黄金分割比例．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是的黄金分割点（），若线段的长为，则的长为______cm．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了黄金分割．根据黄金分割的定义进行计算即可解答．
【详解】解：点是的黄金分割点，线段的长为，
，
，
故答案为：．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16. 心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化：开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指数y随时间x（单位：）的变化规律如图所示（其中分别为线段，轴，为反比例函数图象的一部分），其中段的关系式为．
（1）求出曲线所在的函数关系式；
（2）通过计算比较：开始上课后，第时与第时，哪个时间点学生的注意力更集中？
【答案】（1）
（2）第时学生的注意力更集中
【解析】
【分析】（1）根据待定系数法求反比例函数的解析式即可；
（2）分别求出当，时，的y值，再比较大小即可．
【小问1详解】
解：设曲线所在的函数关系式为，
把点代入，得
，
∴曲线所在的函数关系式为．
【小问2详解】
解：当时，，
当时，．
∵，
∴第时学生的注意力更集中．
17. 下面是两位同学解方程组的做法：
请认真阅读并完成下面的问题：
（1）善善的消元方法是______；美美的消元方法是______．
（2）判断______（选填“善善”或“美美”）的解答过程有误，并运用该同学的消元方法进行正确解答．
【答案】（1）代入消元法，加减消元法
（2）美美，见解析
【解析】
【分析】（1）根据两人的消元方法可得答案；
（2）根据两人的解题过程可知美美在计算时方程右边的4没有乘以2，导致后续过程错误，据此利用加减消元法写出正确的解题过程即可．
【小问1详解】
解：由题意得，善善的消元方法是代入消元法，美美的消元方法是加减消元法；
【小问2详解】
解：由题意得，美美的解答过程有误，正确解答如下：
由，得③，
由，得，解得．
把代入①，得．
∴原方程组的解为．
18. 如图，在中，，以为直径作交于点P．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作线段的中点D；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）连接，求证：是的切线．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了作图基本作图，切线的判定，直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
（1）根据题意作出图形即可；
（2）连接，，，由题意得：，根据点为的中点，得，求得，得到，根据切线的判定定理得到结论．
【小问1详解】
解：如图所示，点D即为所求；
【小问2详解】
证明：如图，连接，，，
由题意得：，
，
点为的中点，
，
，
，
，
，
为的半径，
是的切线．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19. 人工智能是当前科技领域的热门话题，具有广泛的应用和巨大的发展潜力．某学校为了解该校学生对人工智能的关注与了解程度，对全校学生进行问卷测试，得分采用百分制，得分越高，则对人工智能的关注与了解程度就越高．现分别从八、九年级学生中随机抽取20名学生的测试得分进行整理和分析（用x表示学生成绩，所有学生成绩均不低于60分，共分为四组：A．，B．，C．，D．，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息．
八年级被抽取的20名学生的测试得分：66，67，71，81，83，85，85，86，89，90，90，93，93，93，95，96，98，99，100，100．
九年级被抽取的20名学生的测试得分在B组的数据：82，83，85，86，87，88．
八、九年级被抽取的学生测试得分统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中的______，______，______．
（2）根据以上数据，你认为该校八年级、九年级中哪个年级的学生对人工智能的关注与了解程度更高？请说明理由．（一条理由即可）
（3）若该校八年级有800名学生，九年级有700名学生，估计该校八、九年级学生参加此次问卷测试得分达到优秀的共有多少人？
【答案】（1）93，，30
（2）八年级，理由见解析
（3）755人
【解析】
【分析】（1）根据众数与中位数的定义即可得的值；利用九年级B组的学生人数除以九年级被抽取的学生总人数即可得，由此即可得的值；
（2）从平均数和中位数的角度进行分析即可；
（3）利用八年级的学生总人数乘以其A组学生人数所占百分比、九年级的学生总人数乘以其A组学生人数所占百分比，将两者求和即可．
【小问1详解】
解：∵在八年级被抽取的学生的测试得分中，93出现了3次，次数最多，
∴其众数；
九年级被抽取的学生的测试得分中，A组的学生人数为（名），B组的学生人数为6人，
∴将九年级被抽取的学生的测试得分按从小到大排序后，第10个数是87，第11个数是88，
∴其中位数；
由题意得：，
∴．
【小问2详解】
解：该校八年级学生对人工智能的关注与了解程度更高．
理由：两个年级被抽取的学生的测试得分的平均数相同，但八年级的中位数高于九年级．
【小问3详解】
解：（人），
答：估计该校八、九年级学生参加此次问卷测试得分达到优秀的共有755人．
20. 如图，在中，相交于点O，E，F分别是的中点．
命题1：．
命题2：连接，若，则四边形是矩形．
命题3：连接，若，则四边形是菱形．
任选两个命题，先判断真假，再证明或举反例．
【答案】见解析
【解析】
【分析】此题考查真命题，平行四边形的判定和性质，矩形的判定，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，关键是根据平行四边形的性质和判定解答即可．
【详解】解：命题1、命题2、命题3都是真命题，具体证明如下：
命题1：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵E，F分别是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
命题2：连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵E，F分别是的中点，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形
∵，
∴，
∴四边形是矩形；
命题3：连接，
∵，四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形，，
∴，
∵E，F分别是的中点，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形，
21. 现有一台红外线理疗灯（如图1所示），该设备的主体由底座、立柱、伸缩杆和灯臂组成．三点在同一直线上．图2是该设备的平面示意图．垂直于与水平线平行，与的夹角为与l的夹角为．经测量：为，为，为，．
（1）填空：______，∠2=______；
（2）已知点到的距离为时，该设备使用效果最佳．求此时理疗灯灯帽的高度，并直接写出此时伸缩杆的长度．（参考数据：）
【答案】（1）64，53
（2）高度约为，长度约为
【解析】
【分析】（1）延长交l于点，延长交l于点，由，利用三角形的外角的性质，可求得的度数，利用平角的定义，可得到的度数；
（2）延长交l于点，延长交l于点，在中，解直角三角形得，由得，进而得，在中，解直角三角形得．
【小问1详解】
解：如图，延长交l于点，延长交l于点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：64，53；
【小问2详解】
解：如图，延长交l于点，延长交l于点，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
答：此时理疗灯灯帽D的高度约为，伸缩杆的长度约为．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分．
22. 同学们还记得吗？图①、图②是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我们研究过的两个图形．受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你回答：
（1）【问题一】如图①，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，交于点，交于点，则与的数量关系为_________；
（2）【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图③：直线、经过正方形的对称中心，直线分别与、交于点、，直线分别与、交于点、，且，若正方形边长为8，求四边形的面积；
（3）【问题三】受图②启发，兴趣小组画出了图④：正方形的顶点在正方形的边上，顶点在的延长线上，且，．在直线上是否存在点，使为直角三角形？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2）16 （3）BP的长度为2或3或6或7．
【解析】
【分析】（1）由正方形的性质可得，，根据ASA可证，由全等三角形的性质可得结论；
（2） 过点O作交AD于点M，交BC于点N，作交AB于点T，交CD于点R，证明△进而证明；
（3）分三种情况：利用三垂线构造出相似三角形，得出比例式求解，即可求出答案．
【小问1详解】
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠
∵是对角线，
∴∠，
∴∠，
∵四边形是正方形，
∴∠，
∴∠
又∠
∴，
∴
∴
故答案为:
【小问2详解】
过点O作交AD于点M，交BC于点N，作交AB于点T，交CD于点R，如图，
∵点O是正方形ABCD的中心，
∴
又∠A=90°
∴四边形ATOM是正方形，
∴
同（1）可证△
∴
【小问3详解】
解：在直线BE上存在点P，使△APF为直角三角形，
①当∠AFP=90°时，如图④，延长EF，AD相交于点Q，
∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
∴EQ=AB=6，∠BAD=∠B=∠E=90°，
∴四边形ABEQ是矩形，
∴AQ=BE=BC+CE=8，EQ=AB=6，∠Q=90°=∠E，
∴∠EFP+∠EPF=90，
∵∠AFP=90°，
∴∠EFP+∠AFQ=90°，
∴△EFP∽△QAF，
∴，
∵QF=EQ-EF=4，
∴，
∴EP=1，
∴BP=BE-EP=7；
②当∠APF=90°时，如图⑤，
同①的方法得，△ABP∽△PEF，
∴，
∵PE=BE-BP=8-BP，
∴，
∴BP=2或BP=6；
③当∠PAF=90°时，如图⑥，
过点P作AB的平行线交DA的延长线于M，延长EF，AD相交于N，
同①的方法得，四边形ABPM是矩形，
∴PM=AB=6，AM=BP，∠M=90°，
同①的方法得，四边形ABEN是矩形，
∴AN=BE=8，EN=AB=6，
∴FN=EN-EF=4，
同①的方法得，△AMP∽△FNA，
∴，
∴，
∴AM=3，
∴BP=3，
即BP的长度为2或3或6或7．
此题是几何变换综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，作出辅助线构造出相似三角形和全等三角形是解本题的关键．
23. 在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A 的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．
例如： 点在函数图象上，点A的“纵横值”为， 函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为， 当时，的最大值为，所以函数（）的“最优纵横值”为7．
根据定义，解答下列问题：
（1）点的“纵横值”为 ；
（2）若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求c的值；
（3）若二次函数的顶点在直线上，当时，二次函数的最优纵横值为7，求h的值．
【答案】（1）8 （2）c的值是4
（3）h的值为或6
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值问题，解一元二次方程，解题的关键是掌握以上知识点，读懂题意．
（1）根据“纵横值”的定义求解即可；
（2）根据题意，先求出，再将函数图象上所有点的“纵横值”表示为，即可列方程求解；
（3）现将二次函数的解析式化为，然后将函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，令，
则，再根据对称轴的三种不同位置，分别列方程求解即可．
【小问1详解】
解：点的“纵横值”为．
故答案为：8．
【小问2详解】
解：由已知得，，
解得，
二次函数的解析式为，
函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，
最优纵横值为5，
，
；
【小问3详解】
解：二次函数的顶点在直线上，
，
，
函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，
令，
则，
其对称轴为，
当时，即，
在时，，
，
解得，或（不合题意，舍去），
当时，即，
，
此时“最优纵横值”不为7，不合题意，舍去；
当时，即，
在时，，
，
解得，或（不合题意，舍去）；
综上所述，h的值为或6．
15.3分式方程
例：有甲、乙两个工程队，甲队修路400米与乙队修路600米所用时间相等，乙队每天比甲队多修20米，求甲队每天修路的长度．
冰冰：
庆庆：
善善的做法：
由方程①，得③．
将方程③代入②，得：，解得．
把代入③，得．
∴方程组的解为
美美的做法：
由，得③．
由，得，
解得．
把代入①，得．
∴方程组的解为
年级
平均数
众数
中位数
八年级
88
a
90
九年级
88
94
b