2026届西藏自治区那曲市高考数学四模试卷（含答案解析）

这是一份2026届西藏自治区那曲市高考数学四模试卷（含答案解析），共18页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，函数，函数的图象可能是下面的图象等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． “角谷猜想”的内容是：对于任意一个大于1的整数，如果为偶数就除以2，如果是奇数，就将其乘3再加1，执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的（ ）
A．6B．7C．8D．9
2．是边长为的等边三角形，、分别为、的中点，沿把折起，使点翻折到点的位置，连接、，当四棱锥的外接球的表面积最小时，四棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
3．下列说法正确的是（ ）
A．命题“，”的否定形式是“，”
B．若平面，，，满足，则
C．随机变量服从正态分布（），若，则
D．设是实数，“”是“”的充分不必要条件
4．抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则的值为 ( )
A．B．C．D．
5．将函数图象上每一点的横坐标变为原来的2倍，再将图像向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数图象的一个对称中心为（ ）
A．B．C．D．
6．函数（），当时，的值域为，则的范围为（ ）
A．B．C．D．
7．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍.问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第天长高尺，芜草第天长高尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的倍.问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（ ）
（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：，）
A．B．C．D．
8．函数的图象可能是下面的图象( )
A．B．C．D．
9．已知函数的图象在点处的切线方程是，则（ ）
A．2B．3C．-2D．-3
10．正三棱柱中，，是的中点，则异面直线与所成的角为（ ）
A．B．C．D．
11．已知，如图是求的近似值的一个程序框图，则图中空白框中应填入
A．B．
C．D．
12．设递增的等比数列的前n项和为，已知，，则（ ）
A．9B．27C．81D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知复数z是纯虚数，则实数a＝_____，|z|＝_____．
14．已知实数x，y满足，则的最大值为____________.
15．函数满足，当时，，若函数在上有1515个零点，则实数的范围为___________.
16．已知正四棱柱的底面边长为，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的体积是____．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在直角坐标系中，是过定点且倾斜角为的直线；在极坐标系（以坐标原点为极点，以轴非负半轴为极轴，取相同单位长度）中，曲线的极坐标方程为.
（1）写出直线的参数方程，并将曲线的方程化为直角坐标方程；
（2）若曲线与直线相交于不同的两点，求的取值范围.
18．（12分）已知，（其中）
.
(1)求；
(2)求证：当时，．
19．（12分）若,且
（1）求的最小值；
（2）是否存在，使得？并说明理由.
20．（12分）已知均为正实数，函数的最小值为.证明：
（1）；
（2）.
21．（12分）定义：若数列满足所有的项均由构成且其中有个，有个，则称为“﹣数列”．
（1）为“﹣数列”中的任意三项，则使得的取法有多少种？
（2）为“﹣数列”中的任意三项，则存在多少正整数对使得且的概率为.
22．（10分）已知椭圆的左，右焦点分别为，直线与椭圆相交于两点；当直线经过椭圆的下顶点和右焦点时，的周长为，且与椭圆的另一个交点的横坐标为
（1）求椭圆的方程；
（2）点为内一点，为坐标原点，满足，若点恰好在圆上，求实数的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B
【解析】
模拟程序运行，观察变量值可得结论．
【详解】
循环前，循环时：，不满足条件；，不满足条件；，不满足条件；，不满足条件；，不满足条件；，满足条件，退出循环，输出．
故选：B．
本题考查程序框图，考查循环结构，解题时可模拟程序运行，观察变量值，从而得出结论．
2．D
【解析】
首先由题意得，当梯形的外接圆圆心为四棱锥的外接球球心时，外接球的半径最小，通过图形发现，的中点即为梯形的外接圆圆心，也即四棱锥的外接球球心，则可得到，进而可根据四棱锥的体积公式求出体积.
【详解】
如图，四边形为等腰梯形，则其必有外接圆，设为梯形的外接圆圆心，
当也为四棱锥的外接球球心时，外接球的半径最小，也就使得外接球的表面积最小，过作的垂线交于点，交于点，连接，点必在上，
、分别为、的中点，则必有，
，即为直角三角形.
对于等腰梯形，如图：
因为是等边三角形，、、分别为、、的中点，
必有，
所以点为等腰梯形的外接圆圆心，即点与点重合，如图
，，
所以四棱锥底面的高为，
.
故选：D.
本题考查四棱锥的外接球及体积问题，关键是要找到外接球球心的位置，这个是一个难点，考查了学生空间想象能力和分析能力，是一道难度较大的题目.
3．D
【解析】
由特称命题的否定是全称命题可判断选项A；可能相交，可判断B选项；利用正态分布的性质可判断选项C；或，利用集合间的包含关系可判断选项D.
【详解】
命题“，”的否定形式是“，”，故A错误；，
，则可能相交，故B错误；若，则，所以
，故，所以C错误；由，得或，
故“”是“”的充分不必要条件，D正确.
故选：D.
本题考查命题的真假判断，涉及到特称命题的否定、面面相关的命题、正态分布、充分条件与必要条件等，是一道容易题.
4．A
【解析】
求得抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，解得两交点，由三角形的面积公式，计算即可得到所求值．
【详解】
抛物线的准线为， 双曲线的两条渐近线为， 可得两交点为， 即有三角形的面积为，解得，故选A．
本题考查三角形的面积的求法，注意运用抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，考查运算能力，属于基础题．
5．D
【解析】
根据函数图象的变换规律可得到解析式，然后将四个选项代入逐一判断即可.
【详解】
解：图象上每一点的横坐标变为原来的2倍,得到
再将图像向左平移个单位长度，得到函数的图象
，
故选：D
考查三角函数图象的变换规律以及其有关性质，基础题.
6．B
【解析】
首先由，可得的范围，结合函数的值域和正弦函数的图像，可求的关于实数的不等式，解不等式即可求得范围.
【详解】
因为，所以，若值域为，
所以只需，∴.
故选：B
本题主要考查三角函数的值域，熟悉正弦函数的单调性和特殊角的三角函数值是解题的关键，侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养.
7．C
【解析】
由题意可利用等比数列的求和公式得莞草与蒲草n天后长度，进而可得：，解出即可得出．
【详解】
由题意可得莞草与蒲草第n天的长度分别为
据题意得：， 解得2n＝12，
∴n21．
故选：C．
本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8．C
【解析】
因为，所以函数的图象关于点（2,0）对称，排除A，B．当时，，所以，排除D．选C．
9．B
【解析】
根据求出再根据也在直线上，求出b的值，即得解.
【详解】
因为，所以
所以，
又也在直线上，
所以，
解得
所以.
故选：B
本题主要考查导数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
10．C
【解析】
取中点，连接，，根据正棱柱的结构性质，得出//，则即为异面直线与所成角，求出，即可得出结果.
【详解】
解：如图，取中点，连接，，
由于正三棱柱，则底面，
而底面，所以，
由正三棱柱的性质可知，为等边三角形，
所以，且,
所以平面，
而平面，则，
则//，，
∴即为异面直线与所成角，
设，则，，，
则，
∴.
故选：C.
本题考查通过几何法求异面直线的夹角，考查计算能力.
11．C
【解析】
由于中正项与负项交替出现，根据可排除选项A、B；执行第一次循环：，①若图中空白框中填入，则，②若图中空白框中填入，则，此时不成立，；执行第二次循环：由①②均可得，③若图中空白框中填入，则，④若图中空白框中填入，则，此时不成立，；执行第三次循环：由③可得，符合题意，由④可得，不符合题意，所以图中空白框中应填入，故选C．
12．A
【解析】
根据两个已知条件求出数列的公比和首项，即得的值.
【详解】
设等比数列的公比为q.
由，得，解得或.
因为.且数列递增，所以.
又，解得，
故.
故选：A
本题主要考查等比数列的通项和求和公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．1 1
【解析】
根据复数运算法则计算复数z，根据复数的概念和模长公式计算得解.
【详解】
复数z，
∵复数z是纯虚数，∴，解得a＝1，
∴z＝i，∴|z|＝1，
故答案为：1，1．
此题考查复数的概念和模长计算，根据复数是纯虚数建立方程求解，计算模长，关键在于熟练掌握复数的运算法则.
14．1
【解析】
直接用表示出，然后由不等式性质得出结论．
【详解】
由题意，
又，∴，即，
∴的最大值为1．
故答案为：1．
本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题关键．
15．
【解析】
由已知，在上有3个根，分，，，四种情况讨论的单调性、最值即可得到答案.
【详解】
由已知，的周期为4，且至多在上有4个根，而含505个周期，所以在上有3个根，设，，易知在上单调递减，在，上单调递增，又，.
若时，在上无根，在必有3个根，
则，即，此时；
若时，在上有1个根，注意到，此时在不可能有2个根，故不满足；
若时，要使在有2个根，只需，解得；
若时，在上单调递增，最多只有1个零点，不满足题意；
综上，实数的范围为.
故答案为：
本题考查利用导数研究函数的零点个数问题，涉及到函数的周期性、分类讨论函数的零点，是一道中档题.
16．
【解析】
Aa设正四棱柱的高为h得到故得到正四棱柱的体积为
故答案为54.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）（为参数），；（2）
【解析】
分析：（1）直线的参数方程为（为参数），其中表示之间的距离，而极坐标方程可化为，从而的直角方程为.
（2）设，则 ，利用在圆上得到满足的方程，最后利用韦达定理就可求出两条线段的和.
详解：（1）直线的参数方程为（为参数）.
曲线的极坐标方程可化为.
把，代入曲线的极坐标方程可得
，即.
（2）把直线的参数方程为（为参数）代入圆的方程可得：.
∵曲线与直线相交于不同的两点，
∴，
∴，又，
∴.
又，.
∴，
∵，∴，
∴.
∴的取值范围是.
点睛：（1）直线的参数方程有多种形式，其中一种为（为直线的倾斜角， 是参数），这样的参数方程中的参数有明确的几何意义，它表示 之间的距离.
（2）直角坐标方程转为极坐标方程的关键是利用公式，而极坐标方程转化为直角坐标方程的关键是利用公式，后者也可以把极坐标方程变形尽量产生以便转化.
18．（1）（2）见解析
【解析】
(1)取，则；取，则，
∴；
(2)要证，只需证，
当时，；
假设当时，结论成立，即，
两边同乘以3 得：
而
∴，即时结论也成立，
∴当时，成立.
综上原不等式获证.
19．（1）；（2）不存在.
【解析】
（1）由已知，利用基本不等式的和积转化可求，利用基本不等式可将转化为，由不等式的传递性，可求的最小值；（2）由基本不等式可求的最小值为，而，故不存在．
【详解】
（1）由，得，且当时取等号．
故，且当时取等号．
所以的最小值为；
（2）由（1）知，．
由于，从而不存在，使得成立．
【考点定位】
基本不等式．
20．（1）证明见解析（2）证明见解析
【解析】
（1）运用绝对值不等式的性质，注意等号成立的条件，即可求得最小值，再运用柯西不等式，即可得到最小值.
（2）利用基本不等式即可得到结论，注意等号成立的条件.
【详解】
（1）由题意，则函数
，
又函数的最小值为，即，
由柯西不等式得，
当且仅当时取“=”.
故.
（2）由题意，利用基本不等式可得，，，
（以上三式当且仅当时同时取“=”）
由（1）知，，
所以，将以上三式相加得
即.
本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算能力，属于中档题.
21．（1）16；（2）115.
【解析】
(1)易得使得的情况只有“”,“”两种,再根据组合的方法求解两种情况分别的情况数再求和即可.
(2)易得“”共有种,“”共有种.再根据古典概型的方法可知,利用组合数的计算公式可得,当时根据题意有,共个；
当时求得,再根据换元根据整除的方法求解满足的正整数对即可.
【详解】
解：（1）三个数乘积为有两种情况：“”,“”,
其中“”共有：种,
“”共有：种,
利用分类计数原理得：
为“﹣数列”中的任意三项,
则使得的取法有：种．
（2）与(1)同理,“”共有种,
“”共有种,
而在“﹣数列”中任取三项共有种,
根据古典概型有：,
再根据组合数的计算公式能得到：
,
时,应满足,
,共个,
时,
应满足,
视为常数,可解得,
,
根据可知,,
,
,
根据可知,,（否则）,
下设,
则由于为正整数知必为正整数,
,
,
化简上式关系式可以知道：,
均为偶数,
设,
则
,
由于中必存在偶数,
只需中存在数为的倍数即可,
,
．
检验： 符合题意,
共有个,
综上所述：共有个数对符合题意．
本题主要考查了排列组合的基本方法,同时也考查了组合数的运算以及整数的分析方法等,需要根据题意
22．（1）；（2）或
【解析】
（1）由椭圆的定义可知，焦点三角形的周长为，从而求出.写出直线的方程，与椭圆方程联立，根据交点横坐标为，求出和，从而写出椭圆的方程；
（2）设出P、Q两点坐标，由可知点为的重心，根据重心坐标公式可将点用P、Q两点坐标来表示.由点在圆O上，知点M的坐标满足圆O的方程，得式.为直线l与椭圆的两个交点，用韦达定理表示，将其代入方程，再利用求得的范围，最终求出实数的取值范围.
【详解】
解：（1）由题意知.
，
直线的方程为
∵直线与椭圆的另一个交点的横坐标为
解得或(舍去)
，
∴椭圆的方程为
（2）设
.
∴点为的重心，
∵点在圆上，
由得
，
代入方程，得
，
即
由得
解得.
或
本题考查了椭圆的焦点三角形的周长，标准方程的求解，直线与椭圆的位置关系，其中重心坐标公式、韦达定理的应用是关键.考查了学生的运算能力，属于较难的题.