2026年上海市徐汇区高三下学期二模数学试卷和答案

这是一份2026年上海市徐汇区高三下学期二模数学试卷和答案，共13页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
一、填空题(本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.
不等式 1
x  2
0 的解集为.
函数 y  2x 1 的零点是.
3. 计算  2
  1 i
   .
i1 
若函数 y  f  x 在 x  x 处的切线方程为 y  2x 1 ，则 lim f  x0  h  f  x0   .
0h0h
设 a  R ,若幂函数 y  xa 在区间 0,  上是严格减函数,则实数 a 的取值范围为.
若
tan    2 , tan 1 ，则 tan.
3
1 n
x
若  x  

的二项展开式中，第 5 项为常数项，则 n  .
已知向量 a 、 b ，其中
  3 ， a 在 b 方向上的投影向量是 2  ，则   b  .
b ba
9
已知实数 a1 、a2 、a3 、a4 、a5
满足x |  x  a1  x  a2  x  a3  x  a4  x  a5   0  1, 2, 3, 4 ,
则 a1 、a2 、a3 、a4 、a5 的方差的最大值为.
 
设 A 、B 是一个随机试验中的两个事件, P  B   1 , P B | A  3 , P B | A  9
3510
,则 P  A 
.
i
已知复数 w 、 w 满足 w  w 4，记满足 z  w 1, 3 i  1, 2 的复数 z 组成
1212w  w
12
的集合为 A . 若 z1  A 且 z2  A ，则 z1  z2 的取值范围是.
如图为一架农业无人机沿固定航线匀速飞行, 并在某时刻向下喷洒农药的示意图. 将种植坡面视为坡角为的平面, 航线视为直线, 无人机视为航线上的点, 无人机在任意时刻喷洒农
药的雾滴形成的形状均为以铅垂线为轴、母线与轴夹角为 45 的圆锥及其内部. 若无人机飞行的海拔高度恒定, 航线与种植坡面平行且距离为 3 米, 假设无人机飞行时农药喷洒不间断且
不受风速影响; 则飞行过程中会在种植坡面上形成一条宽为 L  米的 “农药条带”. 当
0  15 时， L 的最大值为. （结果精确到 0.01）
二、选择题(本大题共有 4 题，满分 18 分，第 13-14 题每题 4 分，第 15-16 题每题 5 分)每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置, 将代表正确选项的小方格涂黑.
已知 a 、b  R ,则 “ lna  lnb ” 是 “ eab  1 ” 的()
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件
11
已知甲、乙两班在某次数学测验中成绩近似服从正态分布,甲班成绩 X  N ,2  ,乙班
22
成绩 Y  N ,2  ,其密度曲线如图所示,则有()
1  2
且 1  2
1  2
且 1  2
P  X  70  P Y  75D. P  X  75  P Y  75
设  0
,函数 y 
3 csx  1 sinx 在区间 , 上没有最大值和最小值,则  的取
22 2
值范围为()
 0, 1 
1 , 1 

C.  0, 1   1 , 7 
 0, 1   1 , 1 
2 
 3 2 
6  3 6 
6  3 2 



设 m  R . 定义点
1

P m, m 1
的t -相伴集合为 A
{ x, y | x  m  t 且
2
pt

y   1 m 1  t}，其中t 为正实数. 给出以下两个命题：①若m  0 ，则其 1- 相伴集合 A
 2
P1

7
所对应平面图形的面积为 2; ②设 t0  0 ，若对任意实数 m 及任意 t  t0
，集合
AP1 所对应
平面图形与抛物线
x2  2 y
均无公共点，则t0  12
， 则正确的选项是 ()
A. ①是真命题，②是真命题B. ①是假命题，②是假命题
C. ①是真命题，②是假命题D. ①是假命题，②是真命题
三、解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+18+18=78 分）
(本题满分 14 分, 第 1 小题满分 6 分, 第 2 小题满分 8 分)
如图，在四棱锥 P  ABCD
中， PCD
为等边三角形，底面 ABCD 为直角梯形,
AB / /CD, CD  AD, CD  4, AB  AD  2 .
3
求证: PB  CD ；
若四棱锥 P  ABCD
的体积为 4
，求直线 PD 与平面 PBC 所成角的大小.
（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分
为落实《全民健身条例》，某区体育局对本区居民的健身场所选择偏好进行调研. 数据显示，居民主要选择商业健身场馆(如健身房、体育中心)和社区公共运动场(如小区健身点、 街心 公园)两类场所. 为了解年龄因素是否影响健身场所的选择，研究人员将成年居民分为青壮年
组  18 岁 见( 40 岁)和中老年组  40 岁 ，从该区随机抽取 170 名成年居民进行调查，
得到如下不完整的 2  2 列联表:
请补充 2  2 列联表，并根据表中数据判断能否有 95% 的把握认为年龄与居民健身场所的选择有关；
用分层抽样的方式从选择社区公共运动场的居民中抽取 14 个人，再从 14 个人中随机抽取 7 个人，用随机变量 X 表示这 7 个人中中老年与青壮年人数之差的绝对值，求 X 的分布和数学期望.
青壮年
中老年
合计
商业健身场馆
60
社区公共运动场
50
合计
80
170
参考公式及数据: 2 
n ad  bc 2
a  bc  d a  c b  d 
,其中 n  a  b  c  d .
P  y2  x 
0
0.1
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
f  x  ,a  R 且 a  0 .
19.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分
已知函数
y  f  x ,其中
2a 1  g x  a  g x 
设 g  x  2x . 写出函数 y  f  x 的定义域，并判断是否存在正数 a ，使得函数
y  f  x 为奇函数, 说明理由;
设
g  x  lg2 x . 若关于 x 的方程
f  x  g  x 的解集为单元素集合，求正数 a 的值.
20.（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 8 分
已知无穷数列  为严格增数列,且   0 . 双曲线 C 的方程为 x2  y2   2, A 、B 为双
nnnnnn
曲线 Cn 上两个不同的动点,其中 An 在双曲线 Cn 的右支上.
若 1  1 ，求双曲线 C1 的渐近线方程和焦点坐标;
若 1  1,2  2
，且点 T t, 0
为线段
A1 A2
的中点，求实数 t 的取值范围；
已知直线 An Bn 过双曲线 Cn1 的右顶点. 若 Bn 在双曲线 Cn 的右支上，则称弦 An Bn 为双
曲线 Cn 的“同支弦”，否则称其为双曲线 Cn 的“异支弦”. 是否存在等差数列 n ，使得对于任意正整数 n ,双曲线 Cn “同支弦”弦长的最小值均大于双曲线 Cn “异支弦”弦长的最小值？若存在, 请求出数列 n 的通项公式; 若不存在,请说明理由.
21.（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 8 分
已知函数 y  f  x 与函数 y  g  x 的定义域均为 R ,且在 R 上的导函数分别为 f  x 和
g x . 若存在常数 k ,使得对任意实数 x, g x  k  f  x 恒成立,则称 y  g  x 是
y  f  x 的“ k -调整函数”，并称 k 为调整系数.
设
f  x  csx, g  x  2x . 求证:
y  g  x 是
y  f  x 的“2-调整函数”:
设 f  x  x2 , g  x  ex  bx . 若存在实数 b 2, 1 ，使得 y  g  x 是 y  f  x 的“ k 
调整函数”,求调整系数 k 的取值范围;
已知 y  g  x 是 y  f  x 的“1-调整函数”，函数 y  g  x 的值域是一个闭区间，记作
集合 P ,函数 y  f  x 的值域记作集合 Q . 若 P  Q ,求证: y  f  x  g  x 为常值函数.
参考答案

一、填空题
1. 2, 
12. 6.93
2. 0 3. 1 4. 2 5. , 0
6. 5 7. 8 8. 2 9. 1.36 10. 7
9
11.
0, 4 2 
二、选择题
13. A 14. C 15. C 16. D
三、解答题
17.（1）证明略 （2） arcsin21
7
18.（1） 2  2 列表：
2  16.33  3.841，有 95%的把握
青壮年
中老年
合计
商业健身场馆
60
40
100
社区公共运动场
20
50
70
合计
80
90
170
1357
（2）  4063355

，E（X）=
439

 143143143143 
143
5
19.（1）定义域, lg2 a  lg2 a,  ；不存在 （2） 5  2
x
20.（1）双曲线 C1 的渐近线方程为 y  ；焦点坐标为
2, 0, 
2, 0
（2） t  3
2
（3）不存在，理由略
21.（1）证明略 （2） k   1
2
（3）非常值函数，证明略