安徽省池州市贵池区2026年中考一模九年级数学试卷（含解析）

这是一份安徽省池州市贵池区2026年中考一模九年级数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了你拿到的试卷满分为150分等内容，欢迎下载使用。
1．你拿到的试卷满分为150分．考试时间为120分钟．
2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共6页，“答题卷”共6页；
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的；
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 在下列实数中，绝对值最小的数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先求出每个数的绝对值各是多少；然后根据有理数大小比较的方法，判断出绝对值最小的数是哪个即可．
【详解】解：，，，，
0＜1＜2＜3，
∴绝对值最小的数是0，
故选B．
此题主要考查了有理数大小比较的方法，以及绝对值的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正数＞0＞负数，两个负数绝对值大的反而小．
2. 某靶向药物输送纳米机器人的长度约为米，其中数用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查将绝对值小于1的数表示成科学记数法，掌握其表达形式是解题的关键．
其形式为，其中，当原数绝对值小于时，为负整数，且为原数的第一个非零数字起左边的零的个数，包括小数点前的零．
【详解】解：∵在中，第一个非零数字位于小数点后第位，
∴将小数点向右移动位得到，
即，，
∴，
故选：B．
3. 如图是一个古建筑中常用的榫卯构件，其左视图为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查判断简单组合体的三视图，熟练掌握该知识点是解题关键．根据左视图的观察方法判断即可．
【详解】解：根据左视图是从左侧观看可确定该模型的左视图是一个矩形，中间的两条棱能看得到应画成实线，故其左视图如下图所示．
故选：B．
4. 下列运算中，结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法、合并同类项、幂的乘方等整式运算的对应法则，逐一验证选项即可得到正确结果．
【详解】解：A、，选项运算正确；
B、，选项运算错误；
C、，选项运算错误；
D、与不是同类项，不能合并，选项运算错误．
5. 经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小相同．若两辆汽车经过这个十字路口，则至少一辆车向右转的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是运用树状图求概率，运用树状图法确定所有情况数和符合题意情况数是解答本题的关键．
运用树状图法确定所有情况数和符合题意情况数，然后用概率公式解答即可．
【详解】解：列树状图如图所示，
共有9种情况，至少一辆车向右转有5种，
∴至少一辆车向右转的概率是，
故选：D．
6. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C均在格点上，则的值为（ ）
A. B. C. 5D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查勾股定理逆定理及正切，熟练掌握勾股定理逆定理及正切是解题的关键；如图，构造，由图可知，则有，然后根据正切的定义进行求解即可．
【详解】解：如图，构造，
由格点图可知：，
∴，
∴是直角三角形，即，
∴；
故选A．
7. 已知实数，，，满足，，，则下列判断错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了整式的加减，方程组的解法，不等式的应用，掌握知识点的应用是解题的关键．
先由，，整理得，，然后通过整式的加减，方程组的解法，不等式解法逐一排除即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
、得：，
∴，原选项正确，不符合题意；
、得，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，原选项错误，符合题意；
、得，原选项正确，不符合题意；
、∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，原选项正确，不符合题意；
故选：．
8. 已知抛物线的对称轴为．若关于x的一元二次方程在的范围内有解，则c的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的性质与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的对称轴公式以及利用函数值的范围确定参数范围是解题的关键．
先根据抛物线对称轴求出的值，将方程转化为函数形式，再结合函数在给定区间内的取值情况确定的范围．
【详解】解：抛物线的对称轴公式为．
∵对称轴为，
∴，解得．
∴，
令，其图象是开口向上的抛物线，对称轴为．
当时，．
当时，．
当时，．
∵方程在的范围内有解，
∴当时，，即，解得；
当时，，即，解得．
综上，．
故选：D．
9. 如图，在矩形中，，点E是上一点，将沿折叠，点B的对应点恰好落在对角线上，且为中点，连接交于点P，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由矩形的性质可得，，，由折叠的性质得，，即可得是的垂直平分线，，进而得到，，设，则，利用勾股定理可得，，再证明，利用相似三角形的性质列出比例式求解即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
由折叠得，，，
∴，
∵为中点，
∴是的垂直平分线，，
∴，，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得．
10. 如图，在平面直角坐标系中，A在x轴上，C在y轴上，四边形为矩形，D、E分别在上，若反比例函数过E、D两点，交于点F．则下列说法正确的是（ ）
A. k越小，的长越小
B. 当时，为定值
C. 若矩形面积为16，时，
D. 当为边长1的正方形时，最小为
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的几何应用，涉及了勾股定理，求反比例函数的解析式，相似三角形的判定和性质等．设点B的坐标为，则，点，从而得到，再由勾股定理可得，可判定A；当时， ，可判定B；过点F作于点G，则，根据，可得，，从而得到点，进而得到，可判断C；若为边长1的正方形，可得，可判断D．
【详解】解：如图，
设点B的坐标为，则，
∵四边形为矩形，D、E分别在上，若反比例函数过E、D两点，
∴点，
∴，
∴，
∴，
当，即时，k越小，的长越大，故A选项错误；
当时， ，，
∴
，
即的大小与有关，不是定值，故B选项错误；
∵矩形面积为16，
∴，
如图，过点F作于点G，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，，
∴点，
把点代入，得：
，故C选项正确；
∵为边长1的正方形，
∴，
∴，
此时当时，取得最小值，为0，故D选项错误．
故选：C
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. _____．
【答案】13
【解析】
【分析】此题主要考查了求一个数的算术平方根．直接利用算术平方根的性质化简，进而计算得出答案即可．
【详解】解：
．
故答案为：13．
12. 春晚机器人扭秧歌转手帕，实力出圈，其实是在用电机控制手帕转速，已知直流电动机在空载状态下的转速计算公式为（其中，n为转速（转/分针），U为电源电压（），k为常数，为电枢磁通（）．当直流电动机的k值与值一定时，转数n是电压U的正比例函数，若一台直流电动机的空载转数为300转/分钟，则在的电压下该电动机的空载转速为______转/分钟．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是正比例函数的应用，根据一台12V直流电动机的空载转数为300转/分钟，可得，可得，再进一步可得答案．
【详解】解：∵一台12V直流电动机的空载转数为300转/分钟，且，
∴，
∴，
当时，
∴，
故答案为：
13. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，点C的对应点D恰好落在延长线上，已知，，，则的长为________．
【答案】##
【解析】
【分析】在上截取，过点A作，根据，求出，由旋转的性质得到，易得，证明，推出，进而推出，结合，得到，利用勾股定理求出，推出是等腰直角三角形，求出，再利用三角形外角的性质求出，利用直角三角形的性质求出，再利用勾股定理求出，即可求出，即可得出结果．
【详解】解：如图，在上截取，过点A作，
∵，
∴，
由旋转的性质得到，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
14. 学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动．已知某木艺艺术品加工完成共需A，B，C，D，E，F，G七道工序，加工要求如下：
①工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，工序F须在工序C，D都完成后进行；
②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；
③各道工序所需时间如下表所示：
在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要______分钟；若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要______分钟．
【答案】 ①. 53 ②. 28
【解析】
【分析】将所有工序需要的时间相加即可得出由一名学生单独完成需要的时间；假设这两名学生为甲、乙，根据加工要求可知甲学生做工序A，乙学生同时做工序B；然后甲学生做工序D，乙学生同时做工序C，乙学生工序C完成后接着做工序G；最后甲学生做工序E，乙学生同时做工序F，然后可得答案．
【详解】解：由题意得：（分钟），
即由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，需要53分钟；
假设这两名学生为甲、乙，
∵工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，且工序A，B都需要9分钟完成，
∴甲学生做工序A，乙学生同时做工序B，需要9分钟，
然后甲学生做工序D，乙学生同时做工序C，乙学生工序C完成后接着做工序G，需要9分钟，
最后甲学生做工序E，乙学生同时做工序F，需要10分钟，
∴若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，最少需要（分钟），
故答案为：53，28；
本题考查了逻辑推理与时间统筹，根据加工要求得出加工顺序是解题的关键．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算： .
【答案】
【解析】
【分析】将二次根式化为最简二次根式，再用幂的运算公式及特殊角的三角函数值进行计算即可．
【详解】解：原式
.
本题考查了实数的混合运算，掌握相关运算法则及特殊角的三角函数值是解题的关键．
16. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）把向左平移8个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，请在图中画出；
（2）以点O为位似中心在第三象限内画出的位似图形，使得与的位似比为；
（3）连接，请用无刻度的直尺在线段上确定一点，使得．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析； （3）见解析．
【解析】
【分析】本题考查了作图-位似变换，作图-平移变换，正确地作出图形是解题的关键．
（1）根据平移的性质即可得到结论；
（2）根据相似三角形的性质即可得到结论；
（3）根据可知点在第二象限的角平分线上，作角平分线与交点即为所求．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问2详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问3详解】
解：如图所示，点P即为所求．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 《哪吒2》上映后非常火爆，哪吒的造型深受儿童喜爱．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定购进两种哪吒玩偶．已知一个种哪吒玩偶比一个种哪吒玩偶价格贵10元，玩具店用2500元购进A种哪吒玩偶的数量是用1500元购进B种哪吒玩偶数量的2.5倍．
（1）求购进A，B两种哪吒玩偶的单价各是多少元？
（2）六一将至，该玩具店决定用不超过3000元再次购进A，B两种哪吒玩偶共120个进行销售，且将每个种哪吒玩偶售价定为32元，每个种哪吒玩偶售价定为45元，那么，B两种哪吒玩偶各购进多少个时获利最多？最大利润是多少元？
【答案】（1）A种哪吒玩偶的单价为20元，则B种哪吒玩偶的单价为30元
（2）购买A种玩偶60个，购买B种玩偶60个时，最大利润为1620元
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）设种哪吒玩偶的单价为元，则种哪吒玩偶的单价为（）元，再依题意列出，进行计算，即可作答．
（2）设玩具店购买种玩偶个，则购买种哪吒玩偶（）个，根据题意得，解得，再设总获利为元，得，运用一次函数的性质进行解答即可．
【小问1详解】
解：设种哪吒玩偶的单价为元，则种哪吒玩偶的单价为（）元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
（元），
答：A种哪吒玩偶的单价为20元，则B种哪吒玩偶的单价为30元；
【小问2详解】
解：设玩具店购买种玩偶个，则购买种哪吒玩偶（）个，
根据题意得：，
解得，
设总获利为元，
则，
，
随的增大而减小，
当时，最大为元，
此时，
答：购买A种玩偶60个，购买B种玩偶60个时，最大利润为1620元．
18. 综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔AB前有一座高为DE的观骨台，已知，，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°．

（1）求的长；
（2）求塔的高度．（取0.5，取1.7，结果取整数）
【答案】（1）3m （2）塔的高度约为
【解析】
【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质求解即可；
（2）设，分别在和中，利用锐角三角函数定义求得，，过点作，垂足为．可证明四边形是矩形，得到，．在中，利用锐角三角函数定义得到，然后求解即可．
【小问1详解】
解：在中，，
∴．
即的长为．
【小问2详解】
设，
在中，，
∴．
在中，由，，，
则.
∴．
即的长为．
如图，过点作，垂足为．

根据题意，，
∴四边形是矩形．
∴，．
可得．
在中，，，
∴．即．
∴．
答：塔的高度约为．
本题考查解直角三角形的应用，涉及含30度角的直角三角形的性质、矩形判定与性质、锐角三角函数，理解题意，掌握作辅助线构造直角三角形解决问题是解答的关键．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，是的直径，是一条弦，D是的中点，于点E，交于点F，交于点H，交于点G．

（1）求证：．
（2）若，求的半径．
【答案】（1）见解析 （2）5
【解析】
【分析】（1）根据D是的中点，于点E，得到,得到即可得证．
（2）根据，设，运用勾股定理，得到，结合，得到，运用勾股定理，得到，从而得到，在中，利用勾股定理计算x即可．
【小问1详解】
∵D是的中点，
∴，
∵，是的直径，
∴，
∴，
∴，
∴．
【小问2详解】
∵，是的直径，
∴，
∵，
设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴的半径为5．
本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，正弦函数，熟练掌握垂径定理，勾股定理，圆周角定理，正弦函数是解题的关键．
20. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为、点的坐标为、点的坐标为，…，过点、、、…，分别作轴垂线，交直线于点、、、…，覆盖的整点（横、纵坐标均为整数的点）的个数记为，面积的值记为；覆盖的整点的个数记为，面积的值记为；覆盖的整点的个数记为，面积的值记为…．
【参考公式：连续个正整数和的计算公式：】
（1）由题意可知：、；、；、；则______、_______；
（2）______；
（3）的值是否会等于？若能，请求出的值，若不能，请说明理由．
【答案】（1），
（2）
（3）会，理由见详解
【解析】
【分析】（1）作出图形，由题中规律直接求解即可；
（2）由题中要求得出规律，求出，作差即可；
（3）由（2）中规律得到，令求解得到即可得到答案．
【小问1详解】
解：如图所示：
，
，在直线上，
，
则；
【小问2详解】
解：由题中要求可得规律：
、，
、，
则；
【小问3详解】
解：会，
理由如下：
由（2）中规律可得，
令，
解得，
的值会等于．
六、（本题满分12分）
21. 某校为了解学生数学文化知识掌握的情况，从该校七、八年级学生中各随机抽取10名学生参加了数学文化知识竞赛并对数据（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于70分，用x表示，共分三组：A．，B．，C．），下面给出了部分信息：七年级10名学生的竞赛成绩是：76，78，80，82，87，87，87，93，93，97．八年级10名学生的竞赛成绩在B组中的数据是：80，83，88，88．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
八年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： ， ， ．
【数据分析与运用】
（2）请计算扇形统计图中“B组”所在扇形的圆心角的度数；
（3）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生数学文化知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（4）该校七年级学生有800人，八年级学生有1000人．估计该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”的总共有多少人？
【答案】（1）88；87；40；（2）；（3）八年级学生数学文化知识较好，理由见解析；（4）640
【解析】
【分析】本题主要考查了中位数，众数，用样本估计总体，扇形统计图等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）根据中位数和众数的定义可求出a、b的值，先求出把年级A组的人数，进而可求出m的值；
（2）用乘以“B组”所占的百分即可求解；
（3）根据八年级学生成绩的中位数和众数都比七年级学生成绩的高即可得到结论；
（4）用七年级的人数乘以七年级样本中优秀的人数占比求出七年级优秀人数，用八年级的人数乘以八年级样本中优秀的人数占比求出八年级优秀人数，再二者求和即可得到答案．
【详解】解：（1）八年级C组的人数为人，八年级B组有4人，
把八年级10名学生的成绩按照从低到高排列，处在第5名和第6名的成绩分别为88分，88分，
∴八年级学生成绩的中位数；
∵七年级10名学生成绩中，得分为87分的人数最多，
∴七年级的众数；
由题意得，，
∴；
故答案为：88；87；40；
（2）
∴扇形统计图中“B组”所在扇形的圆心角的度数为；
（3）八年级学生数学文化知识较好，理由如下：
∵两个年级10名学生的平均成绩相同，但是八年级学生成绩的中位数和众数都比七年级学生成绩的高，
∴八年级学生数学文化知识较好；
（4）人，
∴估计该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”的总共有640人．
七、（本题满分12分）
22. 在正方形中，点是对角线上一点，连接BE，过点分别作，的垂线，分别交直线， 于点F．G．
（1）如图1，求证：；
（2）若将“正方形”改为“矩形”， ，，其他条件不变．
（i）如图2，求 的值；
（ii）如图3，当点 E为的中点时，求的面积．
【答案】（1）见解析 （2）（i）；（ii）
【解析】
【分析】（1）由正方形的性质得出，，证出，由可证，由全等三角形的性质得出；
（2）（i）证明，由相似三角形的性质得出，求出，则可得出答案；
（ii）过点作于，于点，证出，，由（2）知，由相似三角形的性质证出，由锐角三角函数的定义得出，求出的长，根据三角形面积公式可得出答案．
【小问1详解】
证明：四边形是正方形，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：（i）四边形是矩形，
，
，
，
，
，，
，
又，
，
，
，
，
在中，，
，
，
；
（ii）过点作于，于点，
为的中点，
，
，，
∴，
，
，
同理可得，
由（2）知，
，
，
，
，
．
本题是相似形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质．
八、（本题满分14分）
23. 已知二次函数（为常数）图象经过点．
（1）求二次函数表达式．
（2）过点（其中）与轴平行的直线交抛物线于，两点，若，求的值．
（3）设，二次函数图象在这一段夹在直线和直线之间，求的最大值．
【答案】（1）
（2）
（3）6
【解析】
【分析】（1）将代入，求出a的值，即得函数解析式即可；
（2）先求出对称轴，由得点在对称轴右边，点在对称轴左边．设点，则点，由B、C关于对称轴对称，得，求出s，即可求出t值；
（3）根据二次函数图象在这一段夹在直线和直线之间，求的最大值，得直线与二次函数图象相切，直线与二次函数图象相交，求出b的值，得到另一条直线的解析式，联立解方程即得．
【小问1详解】
解：将代入，
得，
解得，
∴二次函数表达式为．
【小问2详解】
解：∵，
∴对称轴为直线，
设点，则点，
∵，
∴
∵
∴,
∴，
当时，，
解得，
∴，
∵，
∴不合；
当时，
解得，
∴，符合．
综上，的值为．
【小问3详解】
解：∵，
∴二次函数在的图象端点分别位于对称轴的两侧，
∵二次函数图象开口向下，直线在直线的上方，
∴当直线和二次函数图象相切时，
直线和二次函数图象两交点间的水平距离最大，
的值最大，
设直线和这一段图象切点为，
∴，
化简得．
∴，
解得，
∴另一条直线为．
∴当端点在直线上时，
设端点为，，
端点满足，
解得．
又，
故为使最大，
取．
故的最大值为6．
本题考查二次函数的综合应用．熟练掌握待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式，二次函数的图象性质，一次函数图象和性质，二次函数图象与一次函数图象交点，是解题的关键．
工序
A
B
C
D
E
F
G
所需时间/分钟
9
9
7
9
7
10
2
年级
平均数
中位数
众数
七年级
86
87
b
八年级
86
a
90