内蒙古包头市2025届高三下学期第二次模拟考试 数学试题（含解析）

这是一份内蒙古包头市2025届高三下学期第二次模拟考试 数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，解答题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，若，且，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知角的终边经过点，则（ ）
A．B．
C．D．
3．已知复数是关于的方程的一个根，则实数的积为（ ）
A．B．C．2D．4
4．已知向量，则（ ）
A．2B．C．D．1
5．直线与双曲线交于两点，线段的中点为，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．已知圆台的上、下底面半径分别为．半径为的球与该圆台的上、下底面及母线均相切，圆台的侧面积为，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
8．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成了一般不动点定理的基石．简单来说就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称为“不动点”函数．若存在个点，满足，则称为“型不动点”函数，则下列函数中为“3型不动点”函数的是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过的焦点的直线与交于两点，分别过两点作的准线的垂线，垂足分别为，则下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的准线方程为
B．以线段为直径的圆与抛物线的准线相切
C．以线段为直径的圆与轴相交
D．以线段为直径的圆过定点
10．一组样本数据．其中，，求得其经验回归方程为：，残差为．对样本数据进行处理：，得到新的数据，求得其经验回归方程为，其残差为分布如图所示，且，，则（ ）
A．样本正相关B．
C．D．处理后的决定系数变大
11．已知如图为方格，挖去左上角的一个方格后，可以用个下列图形完全覆盖住（可以旋转，翻折但不能重叠）的有（ ）
（注：题中每个方格都是边长为1的正方形）
A．B．C．D．
三、解答题（本大题共5小题）
12．在平面直角坐标系中，双曲线的离心率为，点是上任意一点．抛物线的焦点到准线的距离是1．
(1)求的方程；
(2)过点作的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于两点，求证：平行四边形的面积为定值；
(3)是的两条切线，是切点，求面积的最小值．
13．高三某班为缓解学生高考压力，班委会决定在周班会课上进行“听音乐，猜歌名”的趣味游戏比赛，现将全班学生分为9组，每组5人，剩余的学生做裁判．比赛规则如下：比赛共分为两轮，第一轮比赛中9个小组分三场进行比赛，每场比赛有3个小组参加，在规定的时间内猜对歌名最多的小组获胜，获胜的三个小组进入第二轮比赛；第二轮进行一场比赛，选出获胜队伍．已知甲、乙、丙3个小组的学生能成功猜对歌名的概率分别为．
(1)现从甲组中任选一名学生进行歌曲试猜，记5首歌曲中猜对的歌曲数为，求随机变量的数学期望；
(2)若从甲、乙、丙3个小组中任选一名学生参加猜歌游戏，求该学生猜对歌曲的概率；
(3)若第二轮比赛中丁、戊两组并列第一，则设置以下游戏决定最终获胜的小组，游戏规则如下：从丁、戊小组中任选一名代表，从装有3个白球和2个红球的不透明的盒子中有放回地随机摸出一个球，摸出白球记分，摸出红球记分，以0分开始计分，恰好获得分或分则结束摸球．若该代表获得分，则该代表所在小组获得胜利，否则另外一组获得胜利．若该代表来自戊组，试估计戊组获胜的概率．
14．已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数在有最小值4，求的值．
15．如图，在四棱锥中，平面，，点在棱上，且不与和重合，平面交棱于点．
(1)求证：；
(2)若为棱的中点，求二面角的正弦值；
(3)记点到平面的距离分别为，求的最大值．
16．已知数列的各项均为正数，，且对任意的正整数都有成立，
(1)证明：数列是等差数列；
(2)设，是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出满足要求的和的所有值；若不存在，请说明理由．
四、填空题（本大题共3小题）
17．在中，角所对的边分别为，若，则的最大值为 ．
18．已知是数据的第70百分位数，若，则 ．
19．若函数为偶函数，则实数 ．
参考答案
1．【答案】B
【详解】因为，所以，且.
故选B.
2．【答案】D
【详解】因为角的终边经过点，可得，
由三角函数的定义，可得，
故A，B，C错误，D正确.
故选D.
3．【答案】A
【详解】∵复数是关于的方程的一个根，
∴，即
∴，解得，
故选A.
4．【答案】C
【详解】已知向量
所以，即，
即，
故选C.
5．【答案】A
【详解】设，，
因为线段的中点为，所以，，
所以，两式相减可得：，
即，
所以，即，
所以直线的斜率为，所以直线的方程为：，
化简为：，经检验符合题意.
故选A.
6．【答案】B
【详解】由题意可知，则，
因，则，
则，，
因在上单调递增，
结合正弦函数图象性质可得，解得，
故的取值范围是.
故选B.

7．【答案】C
【详解】如图，设内切球的半径为，
设圆台上、下底面圆心分别为，则圆台内切球的球心一定在的中点处，
设球与母线切于点，所以，所以，
所以与全等，所以，同理，
圆台的母线长，而，因此，
所以，过作，垂足为，
则，所以，
所以球的表面积为.
故选C.
8．【答案】D
【分析】结合“不动点”函数的概念，转化为方程有根或对应函数有零点的问题，依次求解判断各个选项.
【详解】对于A，令，即．
因为满足，所以在区间上单调递增，
所以不可能为“3型不动点”函数，故A错误；
对于B，令，即．
易判断在区间上单调递增，
所以不可能为“3型不动点”函数，故B错误；
对于C，由，得，
易知当时，单调递减，且，所以当时，的图象与直线有且只有一个交点；
当时，单调递减，且；
当时，单调递增．令，得，解得，此时，所以直线与曲线相切于点．
所以直线与曲线共有两个交点，所以为“2型不动点”函数，故C错误；
对于D，，作出的图象，如图所示．易知其与直线有且只有三个不同的交点，
即有三个不同的解，所以为“3型不动点”函数，故D正确．
故选D.
9．【答案】ABD
【详解】对于A，因为抛物线的焦点到准线的距离为2，
所以，所以抛物线，所以抛物线的准线方程为，故A正确；
对于B，设的中点为D点，过D点作准线的垂线，垂足为，
可得，所以B正确；
对于C，设、，则由抛物线的定义可得：,，
的中点为，的中点到轴的距离为，
所以以线段为直径的圆与轴相切，故C正确；
对于D，、，所以的中点，，
设直线为，所以联立，
所以，所以，
因为，
所以，
以线段为直径的圆过定点，故D正确.
故选ABD.
10．【答案】BD
【详解】A选项，因为原始数据的经验回归方程为，斜率为负数，
所以样本负相关，A选项错误；
B选项，，所以，B选项正确；
C选项，由图可知处理后的数据的残差分布更集中，说明处理后的数据的残差方差更小，所以，C错误；
D选项，处理后的数据的经验回归方程的斜率绝对值更大，
这表明处理后的数据的线性关系更强，因此决定系数变大，D选项正确.
故选BD.
11．【答案】ACD
【详解】由题意，
假设每种不同的颜色代表选项给出的一个基本图形
A项，
∴能够用12个图形完全覆盖住剩余部分，A正确；
C项，
∴能够用6个图形完全覆盖住剩余部分，C正确；
D项，
∴能够用8个图形完全覆盖住剩余部分，D正确；
而B项则无法不重叠地将剩余部分覆盖住，
故选ACD.
12．【答案】(1)的方程为；的方程为
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）设双曲线的半焦距为，则，
又因为离心率为，所以，代入得，解得，
所以双曲线的方程为．
因为抛物线焦点到准线的距离为1，所以，
所以抛物线的方程为．
（2）设双曲线的半焦距为，则，
又因为离心率为，所以，代入得，解得，
所以双曲线的方程为．
因为抛物线焦点到准线的距离为1，所以，
所以抛物线的方程为．
（3）设，
因为函数的导数为，所以直线的方程为，
由于在直线上，则，
同理，所以均满足方程，
所以直线的方程为，
联立方程，得，所以，
则，
又因为到直线的距离，
所以面积，
又因为，
所以，当为时取最小值，
所以面积最小值为．
13．【答案】(1)4
(2)
(3)
【详解】（1）由题意可知，，由二项分布的期望公式可得．
（2）记事件分别表示该学生来自甲，乙，丙组，事件B表示该同学能猜对，所以，，
由全概率公式可得．
所以，该学生能猜对的概率为．
（3）由题意可知，积分增加1分的概率为，增加2分的概率为，
记得分为的概率为，且，
，
所以，，且，
所以，数列是首项为，公比为的等比数列，
则，
由累加法可得
．
因此，戊组获胜的概率为．
14．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当时，，
，
故曲线在点处的切线方程为．
（2），
①当时，，因为，所以，此时在无最小值；
②当时，
（i）若，则在上，，
所以在上单调递增，无最小值．
（ii）若，则时，有在上单调递减，
时，有在上单调递增，
故在上的最小值为，
即，整理得，解得或（舍去）．
综上，得．
15．【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）因为，且平面平面，
所以平面，
又因为平面，平面平面，
所以；
（2）取的中点，连接，则，又，
所以四边形为平行四边形，
因为平面平面，所以，故四边形为矩形，
在中，，又，
所以在中，，所以．
因为平面平面，所以，
又因为平面，且，所以平面，
以为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则．
，
设平面的法向量为，则，
即，可取．
设平面的法向量为，则，
即，可取．
设二面角的大小为，
则
则二面角的正弦值为；
（3）设，则，
设平面的法向量为，
则，即，可取．
因为，
所以，
故，设，则，
令，得，解得（舍去），，
故时，时，，
所以，
故的最大值为．
16．【答案】(1)证明见解析
(2)存在；或或或或或
【详解】（1）由，得，
又数列的各项均为正数，则，所以，
又，所以数列是以3为首项，以3为公差的等差数列．
（2）由（1）得，于是，
假设存在正整数，使得成等比数列，则，
即，
即，整理得，
因为均为正整数且，
所以的正整数解为：
或或或或或
所以存在正整数，使得成等比数列．
17．【答案】
【详解】∵，∴,
.
当且仅当，即时等号成立.
又，∴，
∴.
故答案为：
18．【答案】80
【详解】将数据按从小到大的顺序排列为：，
因为，所以数据的第70百分位数为第5个数据为5，则，
所以，
所以.
故答案为：80
19．【答案】
【详解】若f（x）=ln（ex+1）+ax为偶函数，
则f（-x）=f（x），
即ln（e-x+1）-ax=ln（ex+1）+ax，） -ln（ex+1）=2ax，
即）-ln（ex+1）=2ax，
即ln（ex+1）-lnex-ln（ex+1）=2ax，
即-x=2ax，
即2a=-1，则a＝
故答案为
点睛：本题已知函数奇偶性求参数，根据函数奇偶性的定义建立方程关系求出a是解决本题的关键．