云南省怒江傈僳族自治州2026年高三第二次模拟考试数学试卷（含答案解析）

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1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．3D．4
2．设函数在上可导，其导函数为，若函数在处取得极大值，则函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知函数的一条切线为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．的展开式中的项的系数为（ ）
A．120B．80C．60D．40
5．已知正项等比数列满足，若存在两项，，使得，则的最小值为（ ）.
A．16B．C．5D．4
6．设，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知数列满足，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知双曲线 (a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e的取值范围是（ ）
A．B．(1,2),C．D．
9．已知集合，，则( )
A．B．C．D．
10．设实数满足条件则的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
11．已知函数的图象如图所示，则可以为（ ）
A．B．C．D．
12．用电脑每次可以从区间内自动生成一个实数，且每次生成每个实数都是等可能性的.若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都小于的概率为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数是定义在上的奇函数，且周期为，当时，，则的值为___________________．
14．将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，则函数在区间上的值域为__________．
15．图（1）是第七届国际数学教育大会（ICME-7）的会徽图案，它是由一串直角三角形演化而成的（如图（2）），其中，则的值是______.
16．在平面直角坐标系中，若双曲线经过点（3,4），则该双曲线的准线方程为_____．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为，设与交于、两点，中点为，的垂直平分线交于、.以为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立直角坐标系.
（1）求的直角坐标方程与点的直角坐标；
（2）求证：.
18．（12分）已知椭圆：的长半轴长为，点（为椭圆的离心率）在椭圆上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图，为直线上任一点，过点椭圆上点处的切线为，，切点分别，，直线与直线，分别交于，两点，点，的纵坐标分别为，，求的值.
19．（12分）如图，在三棱柱中，、、分别是、、的中点.
（1）证明：平面；
（2）若底面是正三角形，，在底面的投影为，求到平面的距离.
20．（12分）如图，已知椭圆经过点，且离心率，过右焦点且不与坐标轴垂直的直线与椭圆相交于两点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设椭圆的右顶点为，线段的中点为，记直线的斜率分别为，求证：为定值.
21．（12分）如图，在三棱柱中，是边长为2的菱形，且，是矩形，，且平面平面，点在线段上移动（不与重合），是的中点.
（1）当四面体的外接球的表面积为时，证明：.平面
（2）当四面体的体积最大时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
22．（10分）在数列中，，
（1）求数列的通项公式；
（2）若存在，使得成立，求实数的最小值
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．A
【解析】
根据题意，由抛物线的方程可得其焦点坐标，由此可得双曲线的焦点坐标，由双曲线的几何性质可得，解可得，由离心率公式计算可得答案．
【详解】
根据题意，抛物线的焦点为，
则双曲线的焦点也为，即，
则有，解可得，
双曲线的离心率.
故选：A．
本题主要考查双曲线、抛物线的标准方程，关键是求出抛物线焦点的坐标，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
2．B
【解析】
由题意首先确定导函数的符号，然后结合题意确定函数在区间和处函数的特征即可确定函数图像.
【详解】
函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极大值，
当时，；当时，；当时，.
时，，时，，
当或时，；当时，.
故选：
根据函数取得极大值，判断导函数在极值点附近左侧为正，右侧为负，由正负情况讨论图像可能成立的选项，是判断图像问题常见方法，有一定难度.
3．A
【解析】
求导得到，根据切线方程得到，故，设，求导得到函数在上单调递减，在上单调递增，故，计算得到答案.
【详解】
，则，取，，故，.
故，故，.
设，，取，解得.
故函数在上单调递减，在上单调递增，故.
故选：.
本题考查函数的切线问题，利用导数求最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
4．A
【解析】
化简得到，再利用二项式定理展开得到答案.
【详解】
展开式中的项为.
故选：
本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力.
5．D
【解析】
由，可得，由，可得，再利用“1”的妙用即可求出所求式子的最小值.
【详解】
设等比数列公比为，由已知，，即，
解得或（舍），又，所以，
即，故，所以
，当且仅当时，等号成立.
故选：D.
本题考查利用基本不等式求式子和的最小值问题，涉及到等比数列的知识，是一道中档题.
6．C
【解析】
试题分析：，．故C正确．
考点：复合函数求值．
7．C
【解析】
利用的前项和求出数列的通项公式，可计算出，然后利用裂项法可求出的值.
【详解】
.
当时，；
当时，由，
可得，
两式相减，可得，故，
因为也适合上式，所以.
依题意，，
故.
故选：C.
本题考查利用求，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于中等题.
8．A
【解析】
若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率．根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围．
【详解】
已知双曲线的右焦点为，
若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，
则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，
，离心率，
，
故选：．
本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件．
9．D
【解析】
先求出集合B，再与集合A求交集即可.
【详解】
由已知，，故，所以.
故选：D.
本题考查集合的交集运算，考查学生的基本运算能力，是一道容易题.
10．C
【解析】
画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案.
【详解】
如图所示：画出可行域和目标函数，
，即，表示直线在轴的截距加上1，
根据图像知，当时，且时，有最大值为.
故选：.
本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.
11．A
【解析】
根据图象可知，函数为奇函数，以及函数在上单调递增，且有一个零点，即可对选项逐个验证即可得出．
【详解】
首先对4个选项进行奇偶性判断，可知，为偶函数，不符合题意，排除B；
其次，在剩下的3个选项,对其在上的零点个数进行判断, 在上无零点, 不符合题意，排除D；然后,对剩下的2个选项,进行单调性判断, 在上单调递减, 不符合题意，排除C.
故选：A．
本题主要考查图象的识别和函数性质的判断，意在考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力，属于容易题．
12．C
【解析】
由几何概型的概率计算，知每次生成一个实数小于1的概率为，结合独立事件发生的概率计算即可.
【详解】
∵每次生成一个实数小于1的概率为.∴这3个实数都小于1的概率为.
故选：C.
本题考查独立事件同时发生的概率，考查学生基本的计算能力，是一道容易题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
由题意可得：，周期为，可得，可求出，最后再求的值即可.
【详解】
解：函数是定义在上的奇函数，
.
由周期为，可知，，.
.
故答案为：.
本题主要考查函数的基本性质，属于基础题.
14．
【解析】
根据图像的平移变换得到函数的解析式，再利用整体思想求函数的值域.
【详解】
函数的图像向右平移个单位得，
，
，
.
故答案为：.
本题考查三角函数图像的平移变换、值域的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意整体思想的运用.
15．
【解析】
先求出向量和夹角的余弦值，再由公式即得.
【详解】
如图，过点作的平行线交于点，那么向量和夹角为，，，，，且是直角三角形，，同理得，，.
故答案为：
本题主要考查平面向量数量积，解题关键是找到向量和的夹角.
16．
【解析】
代入求解得,再求准线方程即可.
【详解】
解：双曲线经过点,
,
解得,即．
又,故该双曲线的准线方程为： ．
故答案为：．
本题主要考查了双曲线的准线方程求解,属于基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1），；（2）见解析.
【解析】
（1）将曲线的极坐标方程变形为，再由可将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，将直线的方程与曲线的方程联立，求出点、的坐标，即可得出线段的中点的坐标；
（2）求得，写出直线的参数方程，将直线的参数方程与曲线的普通方程联立，利用韦达定理求得的值，进而可得出结论.
【详解】
（1）曲线的极坐标方程可化为，即，
将代入曲线的方程得，
所以，曲线的直角坐标方程为.
将直线的极坐标方程化为普通方程得，
联立，得或，则点、，
因此，线段的中点为；
（2）由（1）得，，
易知的垂直平分线的参数方程为（为参数），
代入的普通方程得，，
因此，.
本题考查曲线的极坐标方程与普通方程之间的转化，同时也考查了直线参数几何意义的应用，涉及韦达定理的应用，考查计算能力，属于中等题.
18．（1）；（2）.
【解析】
（1）因为点在椭圆上，所以，然后，利用，，得出，进而求解即可
（2）设点的坐标为，直线的方程为，直线的方程为，分别联立方程：和，利用韦达定理，再利用，，即可求出的值
【详解】
（1）由椭圆的长半轴长为，得.
因为点在椭圆上，所以.
又因为，，所以，
所以（舍）或.
故椭圆的标准方程为.
（2）设点的坐标为，直线的方程为，直线的方程为.
据得.
据题意，得，得，
同理，得，
所以.
又可求，得，，
所以
.
本题考查椭圆标准方程的求解以及联立方程求定值的问题，联立方程求定值的关键在于利用韦达定理进行消参，属于中档题
19．（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）连接，连接、交于点，并连接，则点为的中点，利用中位线的性质得出，，利用空间平行线的传递性可得出，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；
（2）推导出平面，并计算出，由此可得出到平面的距离为，即可得解.
【详解】
（1）连接，连接、交于点，并连接，则点为的中点，
、分别为、的中点，则，同理可得，.
平面，平面，因此，平面；
（2）由于在底面的投影为，平面，
平面，，
为正三角形，且为的中点，，
，平面，且，
因此，到平面的距离为.
本题考查线面平行的证明，同时也考查了点到平面距离的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
20．（1）；（2）详见解析.
【解析】
（1）由椭圆离心率、系数关系和已知点坐标构建方程组，求得，代入标准方程中即可；
（2）依题意，直线的斜率存在，且不为0，设其为，则直线的方程为，设，，通过联立直线方程与椭圆方程化简整理和中点的坐标表示用含k的表达式表示，，进而表示；由韦达定理表示根与系数的关系进而表示用含k的表达式表示，最后做比即得证.
【详解】
（1）设椭圆的焦距为，则，即，所以.
依题意，，即，解得，
所以，.
所以椭圆的标准方程为.
（2）证明：依题意，直线的斜率存在，且不为0，设其为，
则直线的方程为，设，.
与椭圆联立整理得，
故
所以，，
所以.
又
，
所以为定值，得证.
本题考查由离心率求椭圆的标准方程，还考查了椭圆中的定值问题，属于较难题.
21．（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）由题意，先求得为的中点，再证明平面平面，进而可得结论；
（2）由题意，当点位于点时，四面体的体积最大，再建立空间直角坐标系，利用空间向量运算即可.
【详解】
（1）证明：当四面体的外接球的表面积为时.
则其外接球的半径为.
因为时边长为2的菱形，是矩形.
，且平面平面.
则，.
则为四面体外接球的直径.
所以，即.
由题意，，，所以.
因为，所以为的中点.
记的中点为，连接，.
则，，，所以平面平面.
因为平面，所以平面.
（2）由题意，平面，则三棱锥的高不变.
当四面体的体积最大时，的面积最大.
所以当点位于点时，四面体的体积最大.
以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，，，.
所以，，，.
设平面的法向量为.
则
令，得.
设平面的一个法向量为.
则
令，得.
设平面与平面所成锐二面角是，则.
所以当四面体的体积最大时，平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
本题考查平面与平面的平行、线面平行，考查平面与平面所成锐二面角的余弦值，正确运用平面与平面的平行、线面平行的判定，利用好空间向量是关键，属于基础题．
22．（1）；（2）
【解析】
（1）由得，两式相减可得是从第二项开始的等比数列，由此即可求出答案；
（2），分类讨论，当时，，作商法可得数列为递增数列，由此可得答案，
【详解】
解：（1）因为，，
两式相减得：，即，
是从第二项开始的等比数列，
∵
∴，则，
；
（2），
当时，；
当时，
设递增，
，
所以实数的最小值．
本题主要考查地推数列的应用，属于中档题．