2026河南省五市高三下学期第一次质量检测试题数学含解析

这是一份2026河南省五市高三下学期第一次质量检测试题数学含解析，共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试题
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．样本数据151，177，209，210，218，223，252，281的75%分位数是（ ）
A．223B．237C．237.5D．252
3．已知函数的周期为，值域为，则（ ）
A．，B．，C．，D．，
4．已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
5．今天是2026年3月19日星期四，再过天是星期（ ）
A．一B．二C．三D．五
6．我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距（）的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即．对同一“表高”测量两次，第一次和第二次太阳天顶距分别为，，若第一次的“晷影长”是“表高”的2倍，且，则第二次的“晷影长”是“表高”的（ ）
A．倍B．倍C．倍D．倍
7．在等差数列中，，当取得最小值时，（ ）
A．5B．6C．2025D．2026
8．已知椭圆与椭圆交于四点，且，的焦点与这四点在同一个圆上，则（ ）
A．4B．5C．D．
二、多选题
9．一般地，任何一个复数（，）都可以写成的三角形式，其中，，是复数的模，是复数的辐角，并规定范围内的辐角的值为辐角主值，则方程的复数根的辐角主值是（ ）
A．B．C．D．
10．已知抛物线的焦点为，准线为，为坐标原点，过点的直线与抛物线交于，两点，分别过点，作的垂线，垂足分别为，，若为等边三角形，则（ ）
A．直线的斜率为B．
C．的周长为12D．，，三点共线
11．在锐角中，角，，的对边分别为，，．已知，，成等差数列，且，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．周长取值范围为
D．若是外接圆的圆心，则和面积之差的取值范围为
三、填空题
12．已知函数的图象恒过定点，且函数的图象在处的切线也经过点，则______．
13．采购员要购买某种电器元件一包（12个）．他的采购方法是：从一包中随机抽查4个，如这4个元件都是好的，他才买下这一包．假定含有6个次品的包数占20%，而其余包中各含2个次品，则采购员随机挑选一包拒绝购买的概率是______．
14．如图为四棱锥的平面展开图，其中为平行四边形，是边长为1的等边三角形，为的中点，，则四棱锥的外接球表面积为______．
四、解答题
15．某小区物业为提高服务质量，随机调查了100名男业主和100名女业主，每位业主对该物业的服务给出满意或不满意的评价，得到如下列联表：
(1)依据的独立性检验，能否认为该小区男、女业主对该物业服务的评价有差异？
(2)从小区的业主中任选一人，表示事件“选到的人对该物业的服务不满意”，表示事件“选到的人为男业主”，利用该调查数据，给出，的估计值．
附：．
16．已知数列的前项和为，且，，成等差数列，数列满足．
(1)求数列，的通项公式；
(2)是否存在正整数，使得？如果存在，请求出，的值；如果不存在，请说明理由．
17．已知三棱锥中，底面是边长为2的正三角形，且，，，分别为棱，的中点．
(1)求证：；
(2)求平面与平面的夹角的正弦值．
18．已知函数，其中，且．
(1)当时，讨论的零点个数；
(2)若恒成立，求的取值范围．
19．用圆规画一个圆，然后在圆外标记点，并把圆周上的点折叠到点，连接，标记出直线与折痕所在直线的交点（如图），若不断在圆周上取新的点，，…进行折叠并得到标记点，，…，设圆的半径为4，点到圆心的距离为6，以所在的直线为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，所有的点，，，…形成的轨迹记为曲线．
(1)求曲线的轨迹方程；
(2)设为曲线上第一象限内的一点，记的重心为，内心为．
①若，求点的坐标；
②连接交曲线于第四象限一点，设的内心为，求四边形的面积的取值范围．
参考答案
1．D
【详解】，
，
所以.
2．C
【详解】样本数据从小到大排列，样本容量，，6为整数，
因此75%分位数为第6项和第7项的平均值，故75%分位数为
3．C
【详解】，
所以函数的周期不是，A，B错误；
，
所以函数的周期是，，
所以，
所以的值域为，C正确；D错误.
4．A
【详解】设向量，则，
，，
联立解得，或，，所以或.
当时，，
当时，，
，
所以向量在向量方向上的投影向量为.
5．A
【详解】因为
所以
则的余数为，
又因为今天是星期四，所以天后是星期，即星期一.
6．B
【详解】由题可得，又，
所以.
即第二次的“晷影长”是“表高”的.
7．A
【详解】设等差数列的公差为，
则，，.
所以，所以.
.
当取得最小值时，，此时.
8．D
【详解】因为两个椭圆的四个焦点在同一个圆上，
所以根据椭圆和的对称性可知，该圆的圆心为原点，
因此有，
所以椭圆的半焦距为，椭圆的半焦距为，
因此该圆的方程为，即，
又两椭圆的交点与和的四个焦点在同一个圆上，
所以由椭圆和圆的对称性可知，这四个点也在圆上，
由，
代入椭圆： 中，
得化简可得： ，解得：，
又，故.
9．BC
【详解】设方程的复数根为（，），则，
即，则，解得或，
所以或，
又，，
且，所以方程的复数根的辐角主值是，.
10．BCD
【详解】对于A项，抛物线的焦点为，准线为，
设，，则
由抛物线的定义得到，
因为为等边三角形，则，
即，即
化简得到，
解得或（舍去），所以，
所以直线的斜率为，故A错误；
对于B，根据对称性，取直线的斜率为，则直线方程为，
联立方程，得到，
解得（点）或（点）
由抛物线定义，，故B正确；
对于C项，由抛物线定义，所以等边的周长为，故C正确；
对于D项，根据对称性，取，则，
因为，，
所以且过原点O，故，，三点共线，
同理可得当时，，三点也共线，故D正确.
11．ABD
【详解】由题意得，，
则由正弦定理得，
因为，所以，则，则，故A正确；
因为，所以，
则，
因为，所以，故B正确；
由，即，得，
所以
，
因为为锐角三角形，所以，得，
则，
因为，所以，
则，故，
故周长取值范围为，故C错误；
设的外接圆半径为，，则，则，
故和面积之差为
，
因为，所以，则，
故当时，；当时，当时，
故和面积之差的取值范围为，故D正确.
12．/
【详解】对函数，令，则，得.
所以.
函数的定义域为，.
，所以.
所以函数的图象在处的切线方程为.
因为该切线过点，所以，解得.
13．
【详解】设事件为“包含6个次品”，为“包含2个次品”，为“采购员拒绝购买”，
则，
则，，
故
故采购员随机挑选一包拒绝购买的概率是.
14．
【详解】是边长为1的等边三角形，故侧棱，，底边；
是中点，，是平行四边形，故底边，，，.
可知底面为等腰梯形，
因为为等边三角形，且为平行四边形，
可得：，在底面中连接，
则，
即，，
在底面以分别为轴，过作平面的垂线为轴，如图：
可得： ，，，，
因为，则底面外接圆，也即是的外接圆，
即的中点即为底面外接圆圆心，坐标为，
设，由、、​​，
可得，
解得
即
由四棱锥外接球的性质，
外接球的球心在过​垂直于底面的直线上，故设球心，
由得： ，解得​，
因此外接球半径平方： ，
外接球表面积： .
15．(1)有差异
(2)，．
【详解】（1）假设：小区男、女业主对该物业服务的评价无差异．
因为，
依据的独立性检验，所以假设不成立，
即认为小区男、女业主对该物业服务的评价有差异．
（2）由题意，，，
,
,
则，．
16．(1)，．
(2)存在，使得原等式成立．
【详解】（1）由题，，成等差数列，所以，①
当时，，②
①②得：，即，所以，
当时，，解得，所以，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，
所以，即，又满足上式，
因此，从而．
综上：，．
（2）由（1）得，，，
从而．
由于，为正整数，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，．
综上只有当，时满足条件，
因此存在，使得原等式成立．
17．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）取线段的中点为，连接，，
因为，所以，
又因为为正三角形，所以，
又，所以平面，故有．
方法一：设，，，则，
因为，所以，所以，
所以，所以①
同理由，可得②
由①-②得，所以，
又，所以，即．
方法二：作平面于，易得，
又，，
所以平面，所以，
同理，即为的垂心，故得，
从而得平面，故．
（2）方法一：
作平面于，连接，作垂直，建立如图所示空间直角坐标系．
则，，，，
，，故有，，
记平面的法向量，则，
即，取，解得，
取平面的法向量，不妨设平面与的夹角为，
则，
从而正弦值为，即平面与夹角的正弦值为．
方法二：
取中点，连接交于，可知为中点，
连接，，易知，，
过作的平行线，则，，
因为为平面与平面的交线，
故为平面与平面所成二面角的平面角，
由平面几何知识易得，故，
又为等腰三角形，故在中，
，
又在中，，
在中，，故，
于是在中由余弦定理得：，
从而，即平面与夹角的正弦值为．
18．(1)当时，有1个零点；当或时，有2个零点
(2)
【详解】（1）函数（，）等价于，
两端同取自然对数得，即，
令，则原题转化为的解的个数，
由于，
当时，，在区间上单调递增，
当时，，在区间上单调递减，
则在处取得最大值，最大值为，
又当时，；当时，，函数图象如图所示，
由图知，当时，，解得，此时有1个零点；
当时，，与有2个交点，此时2个零点；
当时，，与有2个交点，此时2个零点；
综上，当时，有1个零点；当或时，有2个零点．
（2）由题知恒成立，即恒成立．
当时，若，则，显然不成立，故时不符合题意；
当时，由，可得，
因为曲线与关于直线对称，
所以，
令，则，
令，得，又因为单调递增，
所以当时，，在区间上单调递减，
当时，，在区间上单调递增，
所以时，取得极小值，也是最小值，
所以的最小值为，其中，
由，得，即，得到，所以．
综上所述，实数的取值范围是．
19．(1)
(2)①；②．
【详解】（1）把圆周上的点折叠到点，折痕所在直线是的垂直平分线，
∴，，
若不断在圆周上取新的点，，…，进行折叠并得到标记点，，…，
总有，成立，
符合双曲线定义，故点，，，…形成的轨迹是以，为焦点，
以为实轴长的双曲线，故，
由，得，∴，，
即曲线的标准方程为：．
（2）方法一：
①设点（，），则的重心的坐标为，
由题知，即内心的纵坐标为，也即内切圆半径为，
于是由，
得，而，，
即，解得，
从而有，解得，
所以点的坐标为．
②设内切圆与轴的切点为，其横坐标为．
根据双曲线定义和内切圆性质：
，，
联立解得：，，
所以圆心的横坐标为：，
同理的内切圆与轴的切点横坐标也为2，
连接和，则和均为角平分线，
设直线倾斜角为，通过几何关系得：，
由题，均在右支上，可知，或，从而可得，即，
所以，
即的取值范围．
方法二：
①连接并延长交轴于，由题知，即，
由角平分线性质知：，于是有，且，
解得，，故，易得；
设内切圆与轴的切点为，其横坐标为．
根据双曲线定义和内切圆性质：，，
联立解得：，，
所以圆心的横坐标为：，
于是，即，故，
代入曲线得，
所以点的坐标为．
②，由①知的横坐标为2，同理的内切圆与轴的切点横坐标也为2，
连接和，则和均为角平分线，设直线倾斜角为，通过几何关系得：
，
由题，均在右支上，可知，或，从而可得即，
所以，是否满意
性别
满意
不满意
合计
男业主
80
20
100
女业主
60
40
100
合计
140
60
200
0.05
0.01
0.005
3.841
6.635
7.879
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
C
A
A
B
A
D
BC
BCD
题号
11









答案
ABD