2026南京栖霞区名校联盟高三下学期第一次模拟考试数学含解析

这是一份2026南京栖霞区名校联盟高三下学期第一次模拟考试数学含解析，共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．若复数，则复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．“a＝－4”是“直线l：3x＋ay＋a＋3＝0与圆C：相切”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．函数的部分图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知抛物线的焦点为，是上的动点，点，则的最小值为（ ）
A．841B．2026C．2027D．4111
6．在中，，，则的最短边与最长边之比为（ ）
A．B．C．D．
7．等腰直角中，，，点M在外接圆上运动，若，则的最大值为（ ）
A．B．2C．D．3
8．已知正实数a，b满足和，则（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．的面积为
C．D．
10．定义在上的函数对任意实数均满足，且当时，，．则下列结论正确的是（ ）
A．
B．函数为偶函数
C．在上单调递减，在上单调递增
D．不等式的解集为
11．已知双曲线C：的左、右焦点分别是，，直线l：与两条渐近线交于A，B两点，若，则C的离心率可能是（ ）
A．2B．C．D．
三、填空题
12．某工厂抽检一批零件，共120个，其中90个零件的合格率为90%，30个零件的合格率为80%，则这120个零件的合格率是______．
13．若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则______．
14．已知数列满足，且，则_____.
四、解答题
15．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，.
(1)证明：；
(2)若，求内角A的大小.
16．设函数．
(1)求的单调区间；
(2)若存在极值点，且存在，使得，证明：．附
17．如图所示，在三棱柱中，，且满足平面平面.
(1)证明：；
(2)设点是棱上一点，当直线与平面所成的角最大时，求的值.
18．已知函数，．
(1)求在内的单调性；
(2)若存在，使得，求实数a的取值范围；
(3)设方程在区间内的根从小到大依次为，，…，，，试比较与的大小，并说明理由．
19．为促进消费，某电商平台和生产商在本周联合推出“有奖闯关”活动．活动规则如下：消费者成功闯过第一关获得基础券（获得10元基础券的概率为0.6，获得20元基础券的概率为0.4）．闯过第一关后，可进行第二关闯关，成功闯过第二关后可获得进阶券20元，且这两种优惠券可叠加使用抵扣支付商品．已知消费者闯过第一关的概率为p₀，闯过第二关的概率为p．某生产商将商品定价100元，成本41元；优惠券成本由生产商承担基础券面额的30%，进阶券面额的50%．
(1)若，，记消费者购买一件该商品的实际支付金额为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；
(2)设所有消费者均闯过第一关获得了基础券，推出活动后商品购买概率为，记生产商销售一件该商品的期望利润为（单位：元）．（期望利润=购买概率×（支付金额的期望-商品成本）-优惠券成本的期望）
（ⅰ）求关于p的函数表达式；
（ⅱ）证明：在内存在唯一极大值点，并求当p为何值时，商家期望利润最大？最大期望利润是多少？（结果保留1位小数）
参考答案
1．C
【详解】因为，又，
所以.
故选：C
2．A
【详解】由复数，可得复数在复平面内所对应的点的坐标为，位于第一象限．
故选：A.
3．B
【详解】由直线l：3x＋ay＋a＋3＝0与圆C：相切，
得，解得a＝0或a＝－4，
则“a＝－4”是“直线l：3x＋ay＋a＋3＝0与圆C：相切”的充分不必要条件．
故选：B.
4．A
【详解】因为，所以，
所以的图象关于原点中心对称，所以CD错误．
当时，，所以B错误.
故选：A．
5．C
【详解】注意到，故在内，过点作的准线的垂线，垂足为，
过点作的准线的垂线，垂足为，
由抛物线的定义知，当且仅当点在线段上时等号成立.
故选：C.
6．C
【详解】因为，，
所以，
又，所以，则，
又，，所以，所以，则，
又，解得，
所以，
即的最短边与最长边之比为.
故选：C
7．B
【详解】以直角顶点A为原点，AB为x轴，AC为y轴，建立平面直角坐标系，
则：，，，
外接圆圆心为斜边BC的中点O，坐标为，半径为，
故外接圆方程为：．
又因为，其中，，
则．
将代入圆的方程得，
即，
，
∴，
解得，当且仅当时取得的最大值2．
故选：B.
8．A
【详解】由，两边取对数，，即，
又由，两边取对数，，即，
令，，则，
由，可得在上单调递增，则，故；
又由可得，则，故.
故选：A.
9．AB
【详解】对于A，根据余弦定理，
得，因此，故A正确；
对于B，根据三角形面积公式，
可得，故B正确；
对于C，根据正弦定理，，
可得，故C不正确；
对于D，因为，
所以，故D不正确．
故选：AB.
10．AB
【详解】令，得，即，故A正确；
令，
则，
即是偶函数，故B正确；
当时，因为，所以，
因为，所以，
则在上单调递增，故C错误；
由题意知，且，
因此不等式可化为，
因为在上单调递增，
所以，解不等式得，故D错误．
故选：AB
11．AD
【详解】由题意可知：直线l过点，且与直线垂直，
点到渐近线的距离，
因为，可知垂足为A，且，．
联立方程，解得；
联立方程，解得；
当时，点B在射线上，则，
可得，整理得，
所以双曲线C的离心率为；
当时，点B在射线上，则，
可得，整理得，
所以双曲线C的离心率为；
综上所述：C的离心率可能是或2.
故选：AD.
12．
【详解】由题意可得，这120个零件的合格率是．
故答案为：.
13．
【详解】由函数，可得，所以，
所以曲线在点处的切线方程为，
又由函数，可得，
设曲线的切点为，
则，解得.
故答案为：.
14．
【详解】设，则.
由，解得.
.
又，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列.
，.
故答案为：
15．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）在中，，
因为，即，
且，则，
则，即，
又因为，则，即.
（2）若，则，且，
由余弦定理可得，
且，所以.
16．(1)时，的增区间为，无减区间；时，增区间为，减区间为.
(2)证明见解析
【详解】（1）解：，
当时，（不恒为零），的增区间为，无减区间；
若，则当时，，
当时，，
故的增区间为，减区间为，
综上：时，的增区间为，无减区间；
时，的增区间为，减区间为.
（2）证明：因为是的极值点，故，故，
所以，
因为存在，使得，
所以，即，
因为，
所以，
因为，
所以，
因为
所以，即，
所以，即，
因为，
所以，即.
17．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）
证明：如图，设点是的中点，连接.
由于，故.
又平面平面平面，平面平面，
故平面.
而平面，故，即，
在中，，
所以.
又，故，所以，即，
结合平面，
可得平面，又平面，因此.
又，故.
（2）
由（1）知两两垂直，所以以为坐标原点建立如图空间直角坐标系.
于是，
点是棱上一点，设，
所以，
，
设向量是平面的一个法向量，则
，令，则，
所以，
设直线与平面所成的角为，
，
所以当时，达到最大，直线与平面所成的角最大，
故.
18．(1)在上单调递增，在上单调递减．
(2)
(3)，理由见解析
【详解】（1）．
当时，，，单调递增；
当时，，，单调递减；
所以，在上单调递增，在上单调递减．
（2）由题可知存在，使得成立，
∵时，，故存在，使得．
令，其中，
，
且不恒为零，故函数在上单调递减，
则，故．
（3）．
证明：由可得，
令，则．
因为，则，
所以，所以函数在上单调递减，
因为，，
所以，存在唯一的，使得，
所以，，，
同理可得，
且，
因为，所以，
因为，所以，
所以，
因为函数在上单调递减，
故，即,
取，则,
19．(1)分布列见解析，80.8
(2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析，时，商家期望利润最大，最大期望利润约为6.7元．
【详解】（1）由题可知，X的可能取值为100，90，80，70，60，
，，
，，
．
分布列为：
数学期望为：．
（2）（ⅰ）∵期望利润＝购买概率×（支付金额的期望－商品成本）－优惠券成本的期望，
则支付金额的期望为：
；
优惠券成本的期望为
．
∴
．
（ⅱ）
令．解得，
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减；
∴在内存在唯一极大值点，
又，
∴当时，商家期望利润最大，最大期望利润约为6.7元．X
100
90
80
70
60
P
0.2
0.24
0.16
0.24
0.16