2025—2026年济南章丘区九年级中考数学一模考试试题以及含答案

这是一份2025—2026年济南章丘区九年级中考数学一模考试试题以及含答案，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
选择题部分 共 40 分
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1.−2026的相反数是（ ）
A. 2026 B. ±2026 C. −2026 D.12026
2.斗方杯，明代嘉靖朝兴起，明清持续流行，其器型多为倒方台形，口大底小，口、底均为正方形。如图是一个倒置在茶台上的斗方杯和由它抽象出的几何体，则它的俯视图是（ ）

（第2题图）
3.章丘墨泉丰水年全年出水量约15570000立方米～37840000立方米，素有 “一泉成河” 的美誉。其中数字15570000用科学记数法可表示为（ ）
A. 1557×104 B. 155.7×105 C. 1.557×107 D. 15.57×106
4.下列四幅作品分别代表二十四节气中的四个节气：“芒种”“夏至”“白露”“大雪”，其中属于既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( )
5.下列计算正确的是（ ）
A. x2+x2=x4 B. (−x)2·x3=x5 C. (x2y)3=x6y D. (x−y)2=x2−y2
6.实数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列不等式变形中正确的是（ ）
A. −ab4
7.化简(1+1x−1)÷xx2－1的结果是（ ）
A. x+1 B. x−1 C. 1−x D. x+1x
8.甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就。正面分别印有甲骨文 “文”“明”“自”“由” 的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同。把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面文字恰好能组成 “文明” 一词的概率是（ ）
A. 12 B. 14 C. 26 D. 112
9.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知AB=OA，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径画弧交AB于点M，交AC于点N，②分别以点M，N为圆心，以大于12MN为半径画弧，两弧相交于点E；③作射线AE交BC于点F，连接DF。若DF=37，则线段CF的长为（ ）
A. 14 B. 4 C. 26 D. 6
10.我们称函数y′=y(x≤m)−y(x>m)为函数y的m分函数（其中m为常数）。例如：对于关于x的一次函数y=x+4的3分函数为y′=x+4(x≤3)−x−4(x>3)。若y′是二次函数y=x2−2x−4关于x的m分函数（其中m为常数）。则下列结论中①当m≥1时，y′的最小值为−5；②当m=1时，若点P(a,b)（a≠1）在函数y′的图象上，则点Q(2−a,−b)也在函数y′的图象上；③当m=−1时，若x1≤x≤x2时，y′的最大值是5，最小值是−1，则x2−x1的最大值为6+10。描述中正确的是（ ）
A. ② B. ①② C. ①③ D. ②③
非选择题部分 共 110 分
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分）
11.因式分解4x2−4y2= 。
12.在一个不透明的口袋中装有 5 个红球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25附近，则估计口袋中白球有 个。
13.若关于x的一元二次方程x2+4x−m=0没有实数根，则实数m的取值范围是 。
14.某科技公司为测试甲、乙两款机器人的性能，在100m的直线跑道上进行过障碍测试。甲、乙两款机器人同时从起点匀速出发，它们与起点的距离甲，乙与甲、乙出发时间t(s)的函数图象如图所示。出发10秒后，乙出现失误摔倒，在经过8秒的快速调整后，重新以之前的速度继续匀速前行直到终点。则甲乙第二次相遇时的时间是 秒。

（第15题图） （第16题图）
15.如图，在平面直角坐标系中，矩形纸片OABC的顶点C，A分别在x轴，y轴的正半轴上，点B的坐标为(4,6)，D是线段OA上的动点，连接BD，过点D作DE⊥BD与x轴相交于E。将△DOE沿DE翻折，使点O落在点O′处，连接BO′，当△BDO′为以BD为腰的等腰三角形时，点D的坐标为 。
三、解答题（本题共 10 小题，共 90 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
16.（本小题满分 7 分）计算：12−(3.14−π)0+(−12)−1−∣1−2∣+2cs45∘

17.（本小题满分 7 分）解不等式组：2（x+2）＞1+3x①2x－13－9x+26≤1②，并写它的所有整数解。
18.（本小题满分 7 分）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AD，CD边上的点，连接BE，BF，EF，且∠ABE=∠CBF。求证：∠BEF=∠BFE。
19.（本小题满分 8 分）小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底M处出发，向前走6米到达A处，测得树顶端E的仰角为30∘，他又继续走下台阶到达C处，测得树的顶端的仰角是60∘再继续向前走到大树底D处，测得食堂楼顶N的仰角为45∘，已知A点离地面的高度AB=4米，∠BCA=30∘，且B、C、D三点在同一直线上。
（1）求树DE的高度；
（2）求食堂MN的高度。
20.（本小题满分 8 分）如图，AB为⊙O的直径，C、E为⊙O上的两点，过点E的直线交CB的延长线于点D，且CD⊥DE，∠ABC=2∠A。
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O半径为5，AB=5BD，求AE的长。
21.（本小题满分 9 分）为了解某校八年级学生每周参加科学教育的时间（单位：
h），随机调查了该校八年级a名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图 1 和图 2。
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）填空：a的值为______，图①中m的值为______。
（2）统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的众数和中位数分别为______和______；
（3）求统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的平均数；
（4）根据样本数据，若该校八年级共有学生500人，估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是9h的人数约为多少？
22.（本小题满分 10 分）2026 年央视春晚上，多款国产智能机器人惊艳亮相，展现了我国人工智能与机器人技术的飞速发展。某科技公司计划采购A、B两款小机器人，用于科普展览。经过调查，购买2台A型机器人和1台B型机器人需2400元，购买1台A型机器人和3台B型机器人需3950元。
（1）求A型机器人和B型机器人的单价分别为多少元？
（2）学校准备采购这两种机器人共50台，其中要求B型机器人的数量超过A
型机器人数量的一半，请你给出最节省费用的购买方案，最低费用是多少？
23.（本小题满分 10 分）已知一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=k2x的图象交于点A(−3,m)，B(1,−3)；与x轴交于点C。
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）若点P在y轴上，且满足S△AOB=23S△BPC，求点P的坐标；
（3）我们将有一个内角为45∘的三角形称为 “半直角三角形”，这个45∘角所对的边为 “半直角边”。反比例函数y=k2x在第四象限的图象上是否存在点Q，使得△OBQ是不以OB为 “半直角边” 的 “半直角三角形”？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。
24.（本小题满分 12 分）二次函数y=ax2+bx+6的图象的对称轴为直线x=1，与x轴交于A(−1,0)，B两点，与y轴交于点C，直线l经过B，C两点。
（1）如图 1，求二次函数的表达式；
（2）如图 2，点P为该二次函数在第一象限内图象上的一点，连接AP与直线l相交于点D，连接FB，若S△ABD=2S△PBD，求点P的坐标；
（3）定义：若点M(x,y)满足x+y=t，则称点M为 “t阶融合点”。例如：M(2,3)满足2+3=5，则称点M为一个 “5阶融合点”。如图 3，将二次函数y=ax2+bx+6的图象y轴左侧部分沿过点C且垂直于y轴的直线翻折，将二次函数y=ax2+bx+6的图象第四象限内部分沿x轴向上翻折，与二次函数y=ax2+bx+6在第一象限内的图象组成新的函数图象T（如图中实线部分），若函数图象T上有且只有2个 “t阶融合点”，请直接写出t的取值范围。
25.（本小题满分 12 分）图形的平移、旋转和对称是我们从图形变换的视角研究图形的重要方法。为了深入理解旋转的本质，王老师和同学们在数学实践课上以正方形为背景进行如下探究。
（1）【知识技能】如图 1，在正方形ABCD中，E、F分别是边CD、AD上的点，连接BE、BF、EF，且∠EBF=45∘。将△BCE绕点B按逆时针方向旋转90∘至△BAM，则点M在DA的延长线上。
①证明△BFM≌△BFE，并判断AF+EC=EF是否成立；
②若DF=5，DE=12，请计算正方形ABCD的周长。
（2）【教学理解】
如图 2，在正方形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE=CF。连接AF、CE，M、N分别是线段AF、CE上的点，连接BM、BN、MN，且∠MBN=45∘（点E、F、M、N均不与端点重合）。请猜想线段AM、MN、NC的数量关系，并说明理由。
（3）【拓展研究】
如图 3，BD是正方形ABCD的对角线，P、Q分别为线段BD、BC上的点，且∠PQB=45∘。将△BPQ绕点B按顺时针方向旋转（旋转角小于45∘）至△BMN。连接ND，取线段ND的中点E，连接CE、CM，求CMCE的值。
答案
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1.−2026的相反数是（ A ）
A. 2026 B. ±2026 C. −2026 D.12026
2.斗方杯，明代嘉靖朝兴起，明清持续流行，其器型多为倒方台形，口大底小，口、底均为正方形。如图是一个倒置在茶台上的斗方杯和由它抽象出的几何体，则它的俯视图是（ D ）

（第2题图）
3.章丘墨泉丰水年全年出水量约15570000立方米～37840000立方米，素有 “一泉成河” 的美誉。其中数字15570000用科学记数法可表示为（ C ）
A. 1557×104 B. 155.7×105 C. 1.557×107 D. 15.57×106
4.下列四幅作品分别代表二十四节气中的四个节气：“芒种”“夏至”“白露”“大雪”，其中属于既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( C )
5.下列计算正确的是（ B ）
A. x2+x2=x4 B. (−x)2·x3=x5 C. (x2y)3=x6y D. (x−y)2=x2−y2
6.实数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列不等式变形中正确的是（ B ）
A. −ab4
7.化简(1+1x−1)÷xx2－1的结果是（ A ）
A. x+1 B. x−1 C. 1−x D. x+1x
8.甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就。正面分别印有甲骨文 “文”“明”“自”“由” 的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同。把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面文字恰好能组成 “文明” 一词的概率是（ C ）
A. 12 B. 14 C. 26 D. 112
9.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知AB=OA，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径画弧交AB于点M，交AC于点N，②分别以点M，N为圆心，以大于12MN为半径画弧，两弧相交于点E；③作射线AE交BC于点F，连接DF。若DF=37，则线段CF的长为（ D ）
A. 14 B. 4 C. 26 D. 6
10.我们称函数y′=y(x≤m)−y(x>m)为函数y的m分函数（其中m为常数）。例如：对于关于x的一次函数y=x+4的3分函数为y′=x+4(x≤3)−x−4(x>3)。若y′是二次函数y=x2−2x−4关于x的m分函数（其中m为常数）。则下列结论中①当m≥1时，y′的最小值为−5；②当m=1时，若点P(a,b)（a≠1）在函数y′的图象上，则点Q(2−a,−b)也在函数y′的图象上；③当m=−1时，若x1≤x≤x2时，y′的最大值是5，最小值是−1，则x2−x1的最大值为6+10。描述中正确的是（ D ）
A. ② B. ①② C. ①③ D. ②③
非选择题部分 共 110 分
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分）
11.因式分解4x2−4y2=_____4(x+y)(x－y)_____。
12.在一个不透明的口袋中装有 5 个红球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25附近，则估计口袋中白球有 15 个。
13.若关于x的一元二次方程x2+4x−m=0没有实数根，则实数m的取值范围是 m＜－4 。
14.某科技公司为测试甲、乙两款机器人的性能，在100m的直线跑道上进行过障碍测试。甲、乙两款机器人同时从起点匀速出发，它们与起点的距离甲，乙与甲、乙出发时间t(s)的函数图象如图所示。出发10秒后，乙出现失误摔倒，在经过8秒的快速调整后，重新以之前的速度继续匀速前行直到终点。则甲乙第二次相遇时的时间是___40___秒。

（第15题图） （第16题图）
15.如图，在平面直角坐标系中，矩形纸片OABC的顶点C，A分别在x轴，y轴的正半轴上，点B的坐标为(4,6)，D是线段OA上的动点，连接BD，过点D作DE⊥BD与x轴相交于E。将△DOE沿DE翻折，使点O落在点O′处，连接BO′，当△BDO′为以BD为腰的等腰三角形时，点D的坐标为____（0，4）或（0，133）______。
三、解答题（本题共 10 小题，共 90 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
16.（本小题满分 7 分）计算：12−(3.14−π)0+(−12)−1−∣1−2∣+2cs45∘
=23－1－2+1−2+2
=23－2
17.（本小题满分 7 分）解不等式组：2（x+2）＞1+3x①2x－13－9x+26≤1②，并写它的所有整数解。
解不等式①得x＜3
解不等式②得x≥－2
原不等式组解集为－2≤x＜3
整数解为－2，－1，0，1，2
18.（本小题满分 7 分）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AD，CD边上的点，连接BE，BF，EF，且∠ABE=∠CBF。求证：∠BEF=∠BFE。
∵ 四边形 ABCD是菱形
∴ AB=BC，∠A=∠C
在 △ABE和 △CBF中∠ABE=∠CBFAB=BC∠A=∠C
∴ △ABE≌△CBF (ASA)
∴ BE=BF
∴∠BEF=∠BFE
19.（本小题满分 8 分）小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底M处出发，向前走6米到达A处，测得树顶端E的仰角为30∘，他又继续走下台阶到达C处，测得树的顶端的仰角是60∘再继续向前走到大树底D处，测得食堂楼顶N的仰角为45∘，已知A点离地面的高度AB=4米，∠BCA=30∘，且B、C、D三点在同一直线上。
（1）求树DE的高度；
（2）求食堂MN的高度。
(1)在 Rt△ABC中，AB=4，∠BCA=30∘
∴ AC=2AB=8，BC=43
过 A作 AF⊥DE于 F，则 DF=AB=4，AF=BD
设 EF=x，则 DE=x+4
在 Rt△AEF中，∠EAF=30∘
∴ AF=EFtan30∘=3x
在 Rt△CDE中，∠ECD=60∘
∴ CD=DEtan60∘=x+43
∵ BD=BC+CD，且 BD=AF
∴3x=43+x+43
两边同乘3：
3x=12+x+4
解得：x=8
∴ DE=8+4=12 米
(2) ∵ BD=AF=3x=83
∵ AM=6，MB=AM=63
∴ MD=MB+BD=6+8
在 Rt△MND中，∠NDM=45∘
∴ MN=MD=（6+83）米
20.（本小题满分 8 分）如图，AB为⊙O的直径，C、E为⊙O上的两点，过点E的直线交CB的延长线于点D，且CD⊥DE，∠ABC=2∠A。
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O半径为5，AB=5BD，求AE的长。
(1)连接 OE
∵ OA=OE
∴ ∠A=∠OEA
∴ ∠BOE=2∠A
∵ ∠ABC=2∠A
∴ ∠BOE=∠ABC
∴ OE∥BC
∵ CD⊥DE，即 BC⊥DE
∴ OE⊥DE
∵ OE是 ⊙O的半径
∴ DE是 ⊙O的切线
(2) ∵ ⊙O半径为5
∴ AB=25
∵ AB=5BD
∴ BD=5AB=255
∴ AD=AB+BD=1255
由切割线定理：DE2=BD·AD
∴ DE2= 255× 1255=245
在 Rt△BDE中：BE=BD2+DE2 =2355
∵ AB是直径
∴ ∠AEB=90∘
∴ AE=AB2－BE2=6105

21.（本小题满分 9 分）为了解某校八年级学生每周参加科学教育的时间（单位：
h），随机调查了该校八年级a名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图 1 和图 2。
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）填空：a的值为______，图①中m的值为______。
（2）统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的众数和中位数分别为______和______；
（3）求统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的平均数；
（4）根据样本数据，若该校八年级共有学生500人，估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是9h的人数约为多少？
(1) ∵ 6h 的人数为 3，占比 6%
∴ a=36%=50
∵ 8h 的人数为 17
∴ m=1750×100=34
(2)∵ 8h 的人数最多（17 人）
∴ 众数为 8h
∵ 共 50 个数据，中位数为第 25、26 个数据的平均数，且第 25、26 个数据均为 8h
∴ 中位数为 8h
(3) 平均数x=6×3+7×7+8×17+9×15+10×850=8.36 h
(4)∵ 9h 的人数占比为1550=30%
∴ 500 人中 9h 的人数约为：500×30%=150 人
22.（本小题满分 10 分）2026 年央视春晚上，多款国产智能机器人惊艳亮相，展现了我国人工智能与机器人技术的飞速发展。某科技公司计划采购A、B两款小机器人，用于科普展览。经过调查，购买2台A型机器人和1台B型机器人需2400元，购买1台A型机器人和3台B型机器人需3950元。
（1）求A型机器人和B型机器人的单价分别为多少元？
（2）学校准备采购这两种机器人共50台，其中要求B型机器人的数量超过A
型机器人数量的一半，请你给出最节省费用的购买方案，最低费用是多少？
(1)设 A 型机器人单价为x元，B 型机器人单价为y元
根据题意得2x+y=2400x+3y=3950
解得x=650y=1100
∴ A 型单价 650 元，B 型单价 1100 元
(2) 求最低费用方案设采购 A 型机器人a台，则 B 型机器人(50−a)台
∵ 50−a>12a
解得 a