湖南省长沙市长望浏宁四区县市2026届高三下学期4月调研考试数学试题 Word版含解析

这是一份湖南省长沙市长望浏宁四区县市2026届高三下学期4月调研考试数学试题 Word版含解析，共52页。试卷主要包含了单项选择题，多选项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
时间：120 分钟 总分：150 分
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】 ，所以 ．
2. 在 中，“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【详解】充分性：若 ，代入可得 ，
因此 可以推出 ，充分性成立
必要性： 因为 是 的内角，因此 的范围是 ，
在此范围内只有 ，因此 可以推出 ，必要性成立
所以在 中，“ ”是“ ”的充要条件．
3. 已知函数 （ 且 ），若 ，则 的递增区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】由 得 ，所以 ，又 且 ，所以 ，
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而 的定义域为 ， 处无定义，
当 时， ，因为 ，所以对数函数 在 上单调递增；
当 时， ，
根据复合函数性质得，内层 在 单调递减，
外层 单调递增，因此 在 上单调递减.
则 的递增区间是 ．
4. 过点 且倾斜角为 的直线 l 交圆 于 、 两点，则弦 的长为（ ）
A. 4 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】D
【解析】
【详解】过点 且倾斜角为 的直线 ，即 ．
∵圆 ，即 ，
∴圆心坐标为 ，圆心到直线 l 的距离 ，
∴直线被圆截得的弦长 .
5. 若对任意的正实数 x、y 满足 ，不等式 恒成立，则实数 m 的取值范围是（
）
A. B. 或
C. 或 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】因为不等式 恒成立，
所以 .
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因为 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立.
所以 ，所以 ，所以 ，
所以实数 m 的取值范围是 ．
6. 在一次数学考试中，有一道满分为 15 分的立体几何题．某学习小组 6 名同学这题的得分为
，且有 ，已知这 6 名同学的 80%分位数和平均分都是
12 分，则该 6 名同学答题得分的极差为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】C
【解析】
【详解】因为 ，所以 ，又 ，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 的值可能是 13，14，15，
当 时， ，
因为 ，且 为整数，所以 不可能；
当 时， ，因为 ，
且 为整数，所以 不可能;
当 时， ，因为 ，且 为整数，
所以当且仅当 时， .
此时 .
所以所求极差为 .
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7. 已 知 ， 数 列 为 等 差 数 列 ， 且 ， 则
（ ）
A. 0 B. C. 11 D.
【答案】D
【解析】
【详解】由题可得 ．
因为 为等差数列，所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
则 ．
8. 如图，一块边长为 6 的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个等腰
三角形加工成一个正四棱锥形容器，则当正四棱锥容器的体积最大时，正四棱锥的高为（ ）
A. B. C. 3 D.
【答案】B
【解析】
【详解】形成的正四棱锥 如图所示，取 BC 中点 ，连接 SM，OM，
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由题易知 SM 为等腰三角形 SBC 的高，所以 ，设 ， 中 ，
则 ，正四棱锥 的体积 ，
令 ，其中 即 ，
正四棱锥 的体积最大即 取得最大值， ，
令 得到 ，当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
则 在 时正四棱锥 的体积最大．
二、多选项选择题：本题共 3 小题，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 关于函数 ，下列结论正确的是（ ）
A. 的定义域为 B. 为偶函数
C. 是 的一个零点 D. 是 的一个周期
【答案】AD
【解析】
【详解】分母不为 0， ，解得 ，A 正确．
定义域关于原点对称， ，满足奇函数定义，不是偶函数，B 错
误．
， 不是 的一个零点，C 错误．
因为 ，所以 是 的一个周期，D 正确．
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10. 设抛物线 的焦点为 ， 到准线 的距离为 ，过 的直线交 于 、 （ 在第一象
限）两点，过点 作准线 的垂线，垂足为 ，直线 交 轴于点 ，则（ ）
A. 抛物线 的方程为 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则直线 AB 的方程为
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用焦点到准线的距离计算即可得 A；由抛物线定义可计算出点 坐标，再利用面积公式计算即
可得 B；利用焦半径公式计算可得点 坐标，则可得点 、 坐标，即可得 C；设出直线 的方程，联
立曲线方程，利用韦达定理计算可得 、 ，再利用焦点弦公式计算即可得 D.
【详解】对 A：因为 到准线 的距离为 2，所以 ，故抛物线方程为 ，故 A 正确；
对 B：因为 ，则 ， ，即 ，
则 ，故 B 正确；
对 C：若 ，则 ， ，即 ，
所以 ， ，则直线 FN 的方程为 ，
所以 ，故 ，故 C 错误，
对 D：易知直线 AB 的斜率不为 0，设直线 的方程为 ， ，
联立 ，得 ，易知 ，则 ，
又 ， ， ，
因为 ，即 ，设 ，
则 ，
所以 ， ，所以 ，所以 ，
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又点 A 在第一象限且 ，所以 ，所以直线 的方程为 ，故 D 正确．
11. 已知 a、b、c 分别为 的内角 A、B、C 的对边，且 S 为 的面积，R 为 外接圆的半
径，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 边 BC 上的中线
C. D. 的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于 A，利用三角形面积公式 和正弦定理 ，将等式两边转化为用边角表
示的形式进行推导；对于 B，可考虑用中线长公式，将给出的表达式与标准中线长公式对比判断；对于 C，
可利用余弦定理将边转化为角，再借助三角函数的性质进行推导；对于 D，先利用正弦定理将边转化为角，
再通过三角函数的恒等变换化简式子，最后结合三角函数的取值范围或基本不等式求解.
【详解】A 选项：由正弦定理 ，可知 ，所以
，故 A 正确；
B 选项：如图，D 为 BC 中点，则 ，因为 ， ，
所以有 ，整理得 ，故 B 错误；
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C 选项：如图，过点 A 作 于点 E．不妨设 最大，
，当且仅当 ， 时取等．C 正确
D 选项：因为 ，所以 ，
又由 C 选项知 ，所以
，当且仅当 时取
等，故 D 正确.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知 展开式中 的系数为 ，则 _________．
【答案】
【解析】
【详解】 的展开式的通项为 ，则 的系数为 ，解得 ．
13. 如图，等边 边长为 2，点 、 分别为 、 的中点，连接 并延长至点 ，使得
，则 _________．
【答案】
【解析】
【详解】因为点 ， 分别是边 ， 的中点，所以 ，因为 ，
所以 ，所以 ，
因为 ， ， ，
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所以 ．
14. 已知函数 ，若正实数 a, 满足 ，则 的取值范围是
_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题要先使用单调性分析得到 在 上单调减少, 在 上单调增加, 因为
, ,所以, ,再发现 ，进而得到 ，再使用双勾
函数求解.
【详解】 ,
当 时, ,当 时, ;
所以, 在 上单调递减, 在 上单调递增,
因为 , ,
所以 ;
即
因为 , ,
所以, ;
则 ，又因为函数 在 上单调递增，
所以, ,
所以, 的取值范围是 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知 为数列 的前 n 项和，且 ．
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（1）求该数列的通项 ；
（2）若 ，求数列 的前 n 项和 ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用前 n 项和 与通项 关系即可求解；
（2）先利用对数运算性质化简 ，然后利用裂项相消法求和即可.
【小问 1 详解】
当 时， ， ；
当 时, ,所以 ，
整理可得 ，
又 ,解得 ，满足 ，
所以数列 是首项为 2，公比为 2 的等比数列，故 ．
【小问 2 详解】
因为 ，所以 ，
所以
．
16. 为激发学生对体育的热爱，某校开展体育知识竞赛活动．甲、乙、丙三人参加比赛，有问题 1、问题 2
两道题，其中问题 1 为抢答题，且只能被一人抢到，甲、乙、丙三人抢到的概率均为 ，问题 2 为必答题，
甲、乙、丙三人都要回答；已知甲能正确回答问题 1、问题 2 的概率分别为 和 ，乙、丙能正确回答每
道题的概率均为 ，且甲、乙、丙三人各题是否答对互不影响．
（1）求问题 1 回答正确的概率；
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（2）记能正确回答问题 2 的人数为 X，求 X 的分布列和数学期望．
【答案】（1）
（2）
X 0 1 2 3
P
， .
【解析】
【分析】（1）根据条件概率公式，结合全概率公式进行求解即可；
（2）根据独立事件的概率公式，结合数学期望的公式进行求解即可.
【小问 1 详解】
解：设“甲抢到问题 1”为事件 A，“乙抢到问题 1”为事件 B，“丙抢到问题 1”为事件 C，“问题 1 被回答正确”为
事件 D，由题意知：
，
由全概率公式得：
.
【小问 2 详解】
由题意知：X 的可能取值为 0,1,2,3，
则有 ，
．
所以 X 的分布列为：
X 0 1 2 3
P
则 .
17. 如图，在四棱柱 中，底面 ABCD 是菱形，E 为 中点．
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（1）求证： 平面 ；
（2）若 ， ， ，求直线 与平面 ABCD 所成角的正
弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）作辅助线，可证 为平行四边形，可得 ，结合线面平行的判定定理分析证明；
（2）作辅助线，可证 面 ABCD，法一：建立空间直角坐标系，求出线 的方向向量和平面
的法向量，再利用向量的夹角公式计算即可；法二：根据线面角的定义，找到直线 与平面 ABCD
所成角即为 ，根据三角函数求值即可.
【小问 1 详解】
连接 ，设 ，连接 CF，
因为 且 ，则 为平行四边形，可得 ，
且 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
【小问 2 详解】
因为 ，可知直线 与平面 ABCD 所成角即为直线 CF 与平面 ABCD 所成角，
连接 ，因为 ，则 ，
设 ，连接 ，
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因为 ，且 为 BD 中点，则 ，
且 ， 平面 ，则 平面 ，
由 平面 ABCD，可得平面 平面 ABCD，
又因为 ，则 ，即 ，
且平面 平面 ， 平面 ，所以 面 ABCD，
法一：可知 MC，MD， 两两垂直，
以点 M 为坐标原点，MC，MD， 分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，
则 ，可得 ，
且平面 ABCD 的法向量为 ，
则 ，
所以直线 与平面 ABCD 所成角的正弦值为 ；
法二：过 MD 中点 ，连接 FN，NC，
因为 平面 ABCD， ，所以 面 ABCD，
直线 CF 与平面 ABCD 所成角即为 ，
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可得 ，则 ，
所以直线 与平面 ABCD 所成角的正弦值为 .
18. 已知动点 与定点 的距离和它到定直线 的距离之比是常数 ．
（1）求动点 的轨迹 的方程；
（2）若曲线 与 轴的交点分别为 、 （ 在 的左侧），过点 的直线交曲线 于点 （ 位于第二
象限）， 的角平分线交 于点 ．
（i）求证：点 在定直线上；
（ii）连接直线 且与曲线 的另一个交点为 ，求 的取值范围．
【答案】（1）
（2）（i）证明见解析（ii）
【解析】
【分析】（1）根据距离公式以及题干条件化简得出点 的轨迹方程；
（2）（i）求出点 、 的坐标，直线 的方程为 ，将该直线方程与双曲线 的方程联立，
求出点 的坐标，点 ，利用角平分线定理得出 ，结合两点间的距离公式解出 的
值，即可证得结论成立；
（ii）先证明 、 、 三点共线，可得出 ，根据点 在第二象限求出 的取值范围，再利用
二次函数的基本性质可求出 的取值范围.
【小问 1 详解】
设 是点 到直线 的距离，
根据题意，动点 的轨迹就是点的集合 ，
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由此得 ，平方化简得 ，即 ．
【小问 2 详解】
（i）令 ，代入 ，得 ，解得 ，故 、 ，
设直线 的方程为 ，与曲线 的方程 联立得：
，则 ，
所以 ，解得 ，
故 ，故 ，
设点 ，则 ，
由题意得 ， ，
因为 平分 ，由角平分线定理得 ，即 ，
化简得 ，即 ，解得 ，
所以点 在定直线 上．
（ii）连接 并延长交双曲线于点 ，下证点 与点 重合，
因为 ， ，所以 ，
所以直线 的方程为 ，
将直线 与曲线 的方程 联立得： ，
所以 ， ，
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故 ，则 ，
由（i）得 ，则 ，故 、 、 三点共线．
又因为 、 、 三点共线，即 与点 重合，所以 ，
因为点 在第二象限，则 ，解得 ，
所以 ．
19. 已知函数 ，圆 ．设圆 C 与曲线 交于 A、B 两
点．
（1）求 在 处的切线方程；
（2）证明：直线 AB 的斜率恒大于 1；
（3）若线段 AB 的中点为 m，试判断点 m 的横坐标与 1 的大小关系，并证明你的结论．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）点 m 的横坐标大于 1，证明见解析
【解析】
【分析】(1)根据导数的几何意义求斜率，再根据点斜式求切线方程即可；
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(2) 将要证的直线 AB 的斜率恒大于 1，转化成证明含 的不等式，构造函数利用单调性证明即可；
(3)将要证明的 m 的横坐标大于 1，转化成 ，构造函数 ，利用单调
性即证明 .
【小问 1 详解】
由 ，可得 ，
则 在点 处的切线方程为 ，即 ．
【小问 2 详解】
设 ，
不妨设 ，要证直线 AB 的斜率恒大于 1，即证 ，
即证 ，即证 ①，
考查函数 ， ，因 ，
当 时， ，函数 单调递增；
当 时， ，函数 单调递减；
从而 ，
从而有 ， ,所以 ，
要证①式，需证 ，
又 ，
即证：
化简得 ，
令 ，
令 ，
则 ，
由 可得 ;由 可得 ,
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故 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，所以 在 上单调递减，
所以 ，原命题得证．
【小问 3 详解】
点 m 的横坐标大于 1，证明如下：
设 ，且 ．由 A，B 在圆上得：
，
构造函数 ，则 ．
，
当 时， ，且 ，故 ；
当 时， ，且 ，故 ；
所以 在 单调递减，在 单调递增，所以 ，
令 ，
则 ，
所以 在 单调递增，所以 ，
当 时， ，
所以 ，
所以 ，
即 ，又 ，所以 ，
又 在 单调递增，所以 ，即 ，
所以点 m 的横坐标大于 1．
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