四川省资阳市高中2026年高三高考适应性考试数学试卷

这是一份四川省资阳市高中2026年高三高考适应性考试数学试卷，共15页。试卷主要包含了 B2， ACD10， -7013等内容，欢迎下载使用。


高中 2023 级高考适应性考试
数学参考答案和评分意见
评分说明：
如
容比照评分参考制定相应的评分细则。
当如
难可但如后继部分的解答有较严重的错误 就不再给分。
解答右端所注分数
只给整数分。
选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。
1． B2． C3． A4． A5． B6． C7． D8． D
选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共计 18 分。
9． ACD10． BD11． ABD
填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12． -7013． 214． 7
3
解答题：本题共 5 小题，共 77 分。
(13 分)
(
asin B = bcs A + π
6
及正弦定理，
(
得sin Asin B = sin Bcs A + π
6
， 2 分
因为 B ∈ (0，π)，sin B ≠ 0，
所以sin A = cs(A + π= 3 cs A - 1 sin A， 4 分
622
即 3 sin A = 3 cs A，
22
得tan A = 3 ，  6 分
3
(
因为 A ∈ 0，π ，A = π ．  8 分
6
a = 2，b = 3 c，A = π
6
代入 a2 = b2 + c2 - 2bccs A，
得 4 = 3c2 + c2 - 2 3 c2 ⋅ 3 ， 9 分
2
解得 c2 = 4， c = 2， 11 分
所以 △ABC 的面积 S = 1 bcsin A = 3 c2 ⋅ sin π = 3 ．  13 分
226
(15 分)
证明：
因为 AD ⊥ 平面 PAB，AD ∥ BC，
所以 BC ⊥ 平面 PAB，则 AB ⊥ BC．  2 分又 AB = BC，则 △ABC 为等腰直角三角形，
所以∠BAC = 45°，则 ∠DAC = 45°．  3 分又得 AC = 2 AB，由已知 AD = 2AB，于是得 AD = 2 AC．
在△ACD 中，CD2 = AC2 + AD2 - 2AC·ADcs π
4
= AC2，即 CD = AC．
所以∠ADC = 45°，则 ∠ACD = 90°，即 CD ⊥ AC．  5 分又因为 CD ⊥ AP，且 AC ∩ AP = A，
所以 CD ⊥ 平面 PAC．  6 分
由已知，AD ⊥ 平面 PAB，可得 AP ⊥ AD，AD ⊥ AB，又由（1）知，AP ⊥ CD，则 AP ⊥ 平面 ABCD，从而 AP ⊥ AB，于是直线 AB，AD，AP 两两垂直．
z P
F
E
A
D
y
B
x
C
如图，以 A 为原点，AB，AD，AP 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
不妨设 AB = 2，于是 BC = 2，AP = 2，AD = 4．  8 分 则 A(0，0，0 ，B(2，0，0 ，C(2，2，0 ，D(0，4，0 ，P(0，0，2 ，于是 E(0，2，1 ，F ( 2 ，0，4 ．
__
所以
33
_ 2 4
3
AE = (0，2，1 ，AC = (2，2，0 ，AF = ( 3 ，0， ．  9 分
设平面 ACE 和平面 ACF 的法向量分别为 m = ( x，y，z ，n = (a，b，c ．
_

由A_C ⋅ m =0，
2x +2y =0，
(
y =-1，得 x = 1，z = 2，
，
(AE ⋅ m =0 得 2y + z =0， 令
则平面 ACE 的一个法向量 m = (1，-1，2 ．  11 分
_2a +2b =0，
由A_C ⋅ n =0，
 2 4
令 c =-1，得 a = 2，得 b =-2，
得
(AF ⋅ n =0， ( 3 a + 3 c =0，
则平面 ACF 的一个法向量为 n = (2，-2，-1 ．  13 分设平面 ACE 与平面 ACF 夹角为 θ，
则cs θ =  cs (m，n
= |m ⋅ n| = |2 +2 -2|
6 ∙ 9
|m|⋅|n|
= 6 ．
9
所以，平面 ACE 与平面 ACF 夹角的余弦值为 6 ．  15 分
9
(15 分)
由 f (x) = x(x - a)2 - x = x3 - 2ax2 + a2x - x，得 f r(x) = 3x2 - 4ax + a2 - 1．  2 分因为函数 f (x) 在 x = 0 处有极大值，
所以 f r(0) = a2 - 1 = 0，得 a =±1．  3 分
①若 a = 1，则 f (x) = x3 - 2x2，f r(x) = 3x2 - 4x = x(3x - 4)，
可知，当 x < 0 时，f r(x) > 0；当 0 < x < 4
3
时，f r(x) < 0；当 x > 4
3
时，f r(x) > 0，
则 x = 0 时，f (x) 取得极大值，
故 a = 1 符合题意．  5 分
②若 a =-1，则 f (x) = x3 + 2x2，f r(x) = 3x2 + 4x = x(3x + 4)，
可知，当 x 0；当 - 4
3
< x < 0 时，f r(x) < 0；当 x > 0 时，f r(x) > 0，
则 x = 0 时，f (x) 取得极小值，故 a =-1 不符合题意，舍去．
综上所述，f (x) 在 x = 0 处有极大值时，a 的值为 1．  7 分
由（1）可知，要证
令 g(x) = x3 -2x2 ，
ex
f (x)
ex
< 1，即证
x(x -1)2- x
ex
< 1，只需证
x3-2x2
ex
< 1．  8 分
则 gr(x) =
(3x2-4x)ex-(x3-2x2)ex
e2x
= -x3+5x2-4x
ex
= -x(x -1)(x -4)
ex
．  10 分
当 x < 0 时，gr(x) > 0，g(x) 单调递增；
当 0 < x < 1 时，gr(x) < 0，g(x) 单调递减；当 1 < x < 4 时，gr(x) > 0，g(x) 单调递增；当 x > 4 时，gr(x) < 0，g(x) 单调递减，
故当 x = 0 时，g(x) 取极大值，当 x = 1 时，g(x) 取极小值，当 x = 4 时，g(x) 取极大值．
 13 分故只需证明 g(0) < 1，且 g(4) < 1 即可．
当 x = 0 时，g(x) 极大值 g(0) = 0 < 1；
当 x = 4 时，g(x) 极大值 g(4) = 32
e4
< 32 < 1， 2.54
所以 g(x) < 1，即 x3 -2x2
ex
< 1 成立，
故不等式
(17 分)
f (x)
ex
< 1 得证．  15 分
方法 1：
每次传球时，甲等可能地将球传给乙、丙，则甲传给乙、丙的概率均为 1 ．
2
第 1 次传递后，球不在甲手中，故 P1 = 0．
第 2 次传递后球在甲手中，有以下两种情形：
第 1 次甲将球传给乙，第 2 次传递时乙将球传回给甲，概率为 1
2
第 1 次甲将球传给丙，第 2 次传递时丙将球传回给甲，概率为 1
2
× 2
3
× 2
3
= 1 ；
3
= 1 ．
3
2
所以，第 2 次传递后球在甲手中的概率为 P = 1
3
+ 1
3
= 2 ．  3 分
3
第 3 次传递后球在甲手中，则第 2 次传递后球在乙、丙手中，即不在甲手中，第 3 次传递中
3
乙、丙将球传给甲，可得 P3 = (1 - 2
2 = 2 ．  6 分
39
方法 2：
第 1 次传球后，球不在甲手中，第 2 次传递后球回到甲手中，
则第 2 次传递后球在甲手中的概率为 P2 = (1 -0
× 2
3
= 2 ．
3
第 3 次传递后球在甲手中，则第 2 次传递后球在乙、丙手中，即不在甲手中，第 3 次传递中
3
乙、丙将球传给甲，可得 P3 = (1 - 2
× 2
3
= 2 ．  6 分
9
_
设 An = “第 n 次传递后球在甲手中”，则 An+1 = AnAn+1 + AnAn+1．
由题意，P( A
n+1
 An
= 0，P( A
_
n+1 An
= 2 ，
3__
由全概率公式，得 P( An+1 = P( An P( An+1 An + P( An P( An+1 An ，
所以，Pn+1 = Pn × 0 + (1 -Pn × 2 =- 2 Pn + 2 ， 8 分
333
则 Pn+1 - 2 =- 2 (Pn- 2 ，且 P1 = 0，
535
5
所以，数列 (Pn- 2
是以 P - 2
1
5
=- 2
5
为首项，以 - 2
3
为公比的等比数列，
则 P - 2 =- 2 × (- 2 n-1
n553，
所以，第 n 次传递后球在甲手中的概率为 P = 2 1 -(- 2 n-1 .  12 分
n5 l3
设随机变量 X = 1，第i 次传递后球在甲手中， i = 1，2，⋯，n）．
i(0，第i 次传递后球不在甲手中（
2 
2 i-1n
则 Xi 服从两点分布，P( Xi=1
= Pi = 5 l1 -(- 3
，且 Y = ΣXi.  14 分
i=1
(
nn  2 2
2 i-1
553
由题意，得 E(Y
= E ΣXi
i=1
= Σl-(-
i=1
n
= 2n - 2- 2 i-1
5
5
3
Σ(
i=1
= 2n - 2
55
1 -(- 2 n
3
×
3
1 -(- 2
n
= 2n - 6 1 -(- 2.  17 分
525 l3
(17 分)
若选条件①：
当 x = 2 时，y2 = 4p，因为 p > 1，所以 y2 > 4，
所以点 M (2，2 在抛物线开口内．  2 分
 FN
等于点 N 到准线 x =- p
2
的距离 d，
所以|MN | +|FN | = |MN | +d ≥ 2 + p ，当且仅当 MN 垂直于准线时取等号，
2
所以 2 + p
2
= 3，解得 p = 2．
所以，抛物线 E 的方程 y2 = 4x.  4 分若选条件②：
设直线 l 的方程为 x = ty + p (t ≠ 0)，点 P(x ，y )，Q(x ，y )．
2
x =ty + p ，
PPQQ
联立方程组2消去 x，整理得 y2 - 2pty - p2 = 0，
(y2=2px，
8
所以 yP + yQ = 2pt，yPyQ =-p2．  2 分由|PF| = 2|QF|，可得 yP =-2yQ，则有 t2 = 1 ．
由|PQ| = p + xP + xQ = p + t(yP + yQ) + p = 9 ，即 2p + 2pt2 = 9 ，解得 p = 2．
22
所以，抛物线 E 的方程为 y2 = 4x．  4 分
（2）（ⅰ）F 不能为△OCD 的重心，理由如下： 5 分如果 F 是△OCD 的重心，则直线 OF 与 CD 的交点 H 为 CD 的中点，
结合点 F(1，0)，可得 H 的坐标为 H（ 3 ，0），可得直线 CD 的斜率为 4，
2
直线 CD 的方程为 y = 4x - 6， 6 分
方法 1：联立方程组  y =4x -6，
x，得 y2 - y - 6 = 0，设点 C(x ，y )，D(x ，y )．
( y2=4x， 消去
1122
则 y1+ y2
2
= 1 ，与 H 的纵坐标 0 不符，
2
所以 F 不能成为△OCD 的重心．  8 分
方法 2：联立方程组  y =4x -6，
y，得 4x2 - 13x + 9 = 0，设点 C(x ，y )，D(x ，y )．
( y2=4x， 消去
1122
所以 x1+ x2
= 13 ，与 H 的横坐标 3
不符，所以 F 不能成为△OCD 的重心.)  8 分
282
（ⅱ）存在点 G 满足题目条件．理由如下： 9 分先取过 M 的一条特殊直线（使得 M 为 CD 的中点），
C
 y 2=4xC，
由(
得（y
+ y ）（y
- y ）= 4（x
- x ）．
D
y 2=4xD，
CDCDCD
故直线 CD 的斜率 k
= yC - yD
= 4 = 1 (其中 y + y
= 2y
= 4)．
CDxC - xD
yC + yD
CDM
所以先取特殊直线 y = x，这条直线使得 M 为 CD 的中点．
为使∠MGC = ∠MGD，作直线 MG，使得 MG ⊥ CD，MG 与直线 y = x + 2 相交于 G，
(即得
直线 MG 方程为 y =-x + 4，由  y =-x +4，
y = x +2，
G(1，3)．  11 分
下证点 G(1，3
符合题意，如图，
y
lr
y = x +2
G
D
M
O F
C
x
设直线 lr 的方程为：x = m(y - 2) + 2 = my - 2m + 2，点 C(x1，y1)，D(x2，y2)．
联立方程组x =my -2m +2，
x，得 y2 - 4my + 8m - 8 = 0，
( y2=4x，消去
所以 y1 + y2 = 4m，y1y2 = 8m - 8．  12 分
①当直线 GC 和直线 GD 的斜率都存在时，
设直线 GC：y - 3 = k1( x -1 ，直线 GD：y - 3 = k2( x -1 ，其中 k1 ≠ k2，k1k2 ≠ 0，要证∠MGC = ∠MGD，即证点 M 到直线 GC，GD 的距离相等，
记点 M 到直线 GC，GD 的距离分别为 d = k1 +1 ，d = k2 +1 ．
1
1 +k2
2
1 +k2
12
所以 d = d ⇔ k1 +1 = k2 +1 ⇔ k k 2 + k = k 2k + k ⇔ k k = 1，即证 k k = 1．
1
1 +k2
2
1 +k2
12
1 21
1 221 21 2
 14 分
因为 k k = y1-3 ∙ y2-3 = y1-3 ·y2-3
1 2x1-1
x2-1
m(y1-2) +2 -1 m(y2-2) +2 -1
= y1-3 ·y2-3
m(y1-2) +1 m(y2-2) +1
= y1y2-3( y1+ y2 +9
m2y1y2+(1 -2m)m( y1+ y2 +(1 -2m)2
= 8m -8 -12m +9
m2(8m -8) +4(1 -2m)m2+(1 -2m)2
=
1 -4m
1 -4m
= 1 成立．  16 分
②当直线 GC 和直线 GD 的仅有一条的斜率不存在时，不妨设直线 GC 的斜率不存在时，
此时 C(1，-2)，lr 的方程为 y = 4x - 6，可知 m = 1 ，D( 9 ，3)，又 G(1，3)，从而 GD ⏊ GC，
44
2 -1
直线 GM 的斜率 kGM = 2 -3 =-1．此时∠MGC = ∠MGD = 45°，结论仍然成立．
综上所述，在直线 y = x + 2 上是存在定点 G(1，3)，使得 ∠MGC = ∠MGD．  17 分