四川省资阳中学2026届高三上学期入学考试 数学试卷（含答案）

这是一份四川省资阳中学2026届高三上学期入学考试 数学试卷（含答案），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间120分钟，满分150分
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】令，解得，令，解得，
显然，故A正确.
故选：A
2. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】因为，由，根据传递性可知，
因此“”能推出“”，因此充分性成立；
不妨取，满足，但不成立，因此必要性不成立；
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
3. 已知，满足，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】由，可得，
由，可得且，解得，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为．
故选：B
4. 已知函数的最小值为2，则（ ）.
A. 10B. 8C. 7D. 6
【答案】A
【详解】时，是减函数，，
时，是增函数，，
由题意，，此时在时，，满足题意．
所以．
故选：A．
5. 定义在R上的奇函数满足，且在上单调递增.设，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】定义在上的奇函数满足，
则的图象的对称轴是，
所以，
则，
则，所以的周期是8，
所以，
因为在上单调递增，
所以.
故选：D.
6. 已知数列，中满足，，，若前项之和为，则满足不等式的最小整数是（ ）.
A. 8B. 9C. 11D. 10
【答案】D
【详解】解：由题意可知：，
即，
即，
又，
，
即数列是以首项为9，公比为的等比数列，
，
即，
，
，
则，
即，
又，
满足不等式的最小整数，
即.
故选：D.
7. 深度学习的神经网络优化模型之一是指数衰减的学习率模型：，其中，L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知，某个指数衰减学习率模型的初始学习率为，衰减速度为．经过轮迭代学习时，学习率衰减为，则学习率衰减到以下所需要的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据：）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】由于，所以，
依题意，则，
则，
由，得到，
所以，
所以所需的训练迭代轮数至少为74次，
故选：D.
8. 若直线与曲线相切，直线与曲线相切，则值为（ ）
A. B. 1C. eD.
【答案】B
【详解】设直线与曲线相切于点，
直线与曲线相切于点，
则，且，所以，
，且，所以，
令，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
且，，所以当时，，
因为，，即，
所以，
所以，故
故选：B
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 已知的展开式中各项系数之和为256，则展开式中的系数为108
B. 袋中有除颜色外完全相同的5个球，其中2个红球､3个白球，现从袋中不放回地连续取球两次，每次取1个球，已知第一次取得红球，则第二次取得白球的概率为
C. 若随机变量，则
D. 若随机变量，则
【答案】ACD
【详解】对于选项A：令，则，
的系数为，A正确；
对于选项B：设“第一次取得红球”为事件，“第二次取得白球”为事件，
，B错误；
对于选项C：由题意知，，
，C正确；
对于选项D：，D正确
故选：ACD
10. 已知数列满足，，则下列结论正确的是（ ）
A. 为等差数列B. 为递减数列
C. 的通项公式为D. 的前项和
【答案】BD
【详解】因为，所以，所以，且，所以是以4为首项，2为公比的等比数列，即，可得，故选A，C错误；
因为单调递增，所以，即为递减数列，故选项B正确；
的前项和，故选项D正确.
故选：BD.
11. 设函数，，则下列结论正确的是（ ）
A. 当时，在点处的切线方程为
B. 当时，有三个零点
C. 若有两个极值点，则
D. 若，则正实数的取值范围为
【答案】ABD
【详解】对于A，设切线方程为：.当时，，
则，，即切线方程为，故A正确；
对于B，当时，，；或.
则在上递增，在上递减，得，
，又注意到当趋近于负无穷大时，趋近于正无穷大，
趋近于正无穷大时，趋近于负无穷大，则分别在上有一个零点，故B正确；
对于C，，，令，
因有两个极值点，则有两个不等正根，，故 C错误；
对于D，，即，可化为，
令，因，则在上单调递增，
即，令，则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
则，则，即，故D正确．
故选：ABD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 分式不等式的解集为________．
【答案】
【详解】由，得，
即，
所以，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：
13. 已知函数，对任意的，恒成立，则的取值范围为______.
【答案】
【详解】由于故函数为奇函数，而为上的增函数，故由，有，所以，即，将主变量看成（），表示一条直线在上纵坐标恒小于零，则有，解得.所以填.
14. 已知函数，若关于的方程恰好有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是______．
【答案】
【详解】当时，．
在上单调递减，在上单调递增．
时，取得极小值．
当时，．
根据图像的平移变化可以作出的函数图像如图所示：

设的两根为，．
由恰好有四个不相等的实数根．
则方程的一根在区间上，另一根在区间上．
不妨设，．
根据二次函数零点分布可得：，即．
故的取值范围为．
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 为了研究高二学生数学和物理成绩的相关情况，学校在高二学生中采用随机抽样的方法抽取了150名学生，调查他们平时的数学与物理成绩情况，统计数据如下．
（1）依据列联表判断，能否有99.9%的把握认为数学成绩优秀与物理成绩优秀有关？
（2）从调查的物理成绩不优秀的学生中，按照数学成绩是否优秀采用分层随机抽样的方法抽取15人．若从这15人中随机抽取2人，记X为数学成绩优秀的人数，求X的分布列及数学期望．参考公式：，其中．
参考数据：
【答案】（1）能； （2）分布列见解析，数学期望为.
【小问1详解】
由题意可知，
由查表可得，由于，
所以能有的把握认为数学成绩优秀与物理成绩优秀有关．
【小问2详解】
由于物理成绩不优秀的学生中，数学成绩优秀与数学成绩不优秀的人数比为，
所以采用分层抽样的方法抽取的15人中，数学成绩优秀的有6人，数学成绩不优秀的有9人，
可知可取0,1,2，
，
所以的分布列为
从而．
16. 在中，内角的对边分别为，满足，.
（1）求角的大小；
（2）若，求的面积.
【答案】（1）
（2）
【小问1详解】
因为，
所以根据正弦定理得.
因为，所以等式可化简为，
即，又，
所以，解得.
又，所以.
【小问2详解】
由（1）知，所以.
根据正弦定理得.
根据余弦定理得.
解得或（舍去）.
所以的面积为.
17. 设函数.
（1）若，求函数的极值点；
（2）设函数在上有两个零点，求实数a的取值范围.（其中e是自然对数的底数）.
【答案】（1）函数的极大值点为，函数没有极小值点；
（2）.
【小问1详解】
，
则.
.
则在上单调递增，在上单调递减.
则在时取极大值；
所以函数的极大值点为，函数没有极小值点；
【小问2详解】
令，因，
则.令，则.
令，则，
从而在上递增，又注意到，
则，
则，
从而在上单调递减，在上单调递增，
又，可画出大致图象.
又在上有两个零点等价于图象与有2个交点.
则由图可得.
18. 已知数列满足，且对任意正整数有，数列满足
（1）证明：数列是等比数列；
（2）设，数列的前项和；
①求；
②若不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）①；②
【小问1详解】
证明：因为，
所以．
因为，所以．
又，所以，即证得是首项为1，公比为2的等比数列．
【小问2详解】
①由（1）可得，则，
，
，
两式相减得：，
即，
所以，则．
②因为不等式对任意的正整数恒成立，
即对任意的正整数恒成立，
当为偶数时，因为在为增函数，
所以；
当为奇数时，对任意的正整数恒成立，
所以，解得．
综上，实数的取值范围为．
19. 已知函数导数为，的导数为的二阶导数，记作．若函数在包含的某个开区间上具有二阶导数，那么，，我们把称为函数在处的二阶拟合函数．
（1）写出函数在处的二阶拟合函数，并证明对恒成立；
（2）若对恒成立，求a的取值范围；
（3）设函数的两个零点为，，在处的二阶拟合函数为，证明：有两个零点，，且．
【答案】（1），证明见解析；
（2）；
（3）证明见解析.
【小问1详解】
因为，，
所以在处的二阶拟合函数．
设，则，，
所以在上单调递增，则，
所以在上单调递增，即，
所以对恒成立．
【小问2详解】
记，则，则，
所以在上单调递增，，
所以在上单调递增，即，
所以对恒成立，
由（1）可知，则，
所以当时，对恒成立，
则对恒成立．
设，
当时，，
设，则，
所以在上单调递减，则，
所以，这与题意矛盾，所以．
【小问3详解】
因为，
所以，则，
则，
因为，且的图象开口向上，
所以有两个零点，且．
因为当时，，当时，，
所以上单调递减，在上单调递增，所以，
要证，只需证，
因为，且，
所以只需证，
构造函数，
则，
所以在上单调递增，所以，即，
因为，所以，所以．数学成绩优秀
数学成绩不优秀
合计
物理成绩优秀
55
20
75
物理成绩不优秀
30
45
75
合计
85
65
150
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
X
0
1
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