江苏南京市、盐城市2026届高三下学期第一次模拟考试数学试题（Word版附解析）

这是一份江苏南京市、盐城市2026届高三下学期第一次模拟考试数学试题（Word版附解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试卷
一、单选题
1．设全集，集合，，则（ ）
A．4B．5C．7D．9
2．已知向量，若，则（ ）
A．B．C．1D．2
3．已知a，b是实数，则“”是“且”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．已知双曲线的渐近线方程为，且实轴长为2，则焦距为（ ）
A．B．2C．D．4
5．已知圆锥的轴截面是直角三角形，且该圆锥的顶点和底面的圆周都在球的球面上，则该圆锥与球的体积之比为（ ）
A．B．C．D．
6．若等差数列的前项和为，且，则（ ）
A．B．C．D．2
7．设和表示坐标平面内的几何变换，表示将几何对象绕原点逆时针旋转，表示将几何对象关于轴对称，表示连续次变换．已知角的终边经过点，若对角的终边先进行变换，再进行变换，得到角的终边，则（ ）
A．B．C．D．3
8．已知函数，若存在，对于任意都有，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知复数，，且，下列说法正确的是（ ）
A．是纯虚数B．是实数
C．是虚数D．若，则是实数
10．已知函数，则（ ）
A．的定义域为
B．是偶函数
C．在上单调递增
D．有且仅有2个零点
11．在中，角，，所对的边分别为，，．已知，三角形的面积为2，下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．当最小时，D．当时，
三、填空题
12．在直三棱柱中，已知，，则异面直线与所成角的余弦值为________．
13．在平面直角坐标系中，已知椭圆的上、下顶点分别为，，右焦点为，线段的延长线与交于点，若，则的离心率为______．
14．设正整数，其中，．记．从集合中随机抽取一个数，则的概率为________．
四、解答题
15．为研究昼夜温差（单位：）与某植物种子当日的百粒发芽数（单位：粒）之间的关系，实验室记录了6天的每日昼夜温差与种子当日的百粒发芽数，如下表所示：
(1)根据表中的数据，计算样本相关系数（精确到0.01）；
(2)求百粒发芽数关于温差的经验回归方程，并估计昼夜温差为时，这种植物种子当日的百粒发芽数．
参考公式：相关系数，
，，
参考数据：，，，．
16．如图，在四棱锥中，是等边三角形，底面是菱形，平面平面，，是的中点．
(1)证明：平面；
(2)若，求点到平面的距离．
17．已知函数，直线与曲线相切．
(1)求实数的值；
(2)若是函数的极大值点，求实数的取值范围．
18．已知抛物线的焦点为，上的点到的距离为5．
(1)求和的值；
(2)，为上两点，的重心在直线上．
①证明：直线的斜率为定值；
②设直线与轴交于点，线段的中点为，线段的中点为，过点向直线作垂线，垂足为．证明：点在定圆上运动．
19．已知圆，点，对于圆上的点，按照如下方式构造点；过点作直线垂直于轴，为点在轴上的射影，点满足（为常数，），直线交于点，其中为坐标原点，点异于点．
(1)若，求的坐标；
(2)证明：数列为等比数列；
(3)已知，设及的面积分别为，，若存在正整数，使得，求所有可能的值．
参考答案
1．A
【详解】因为，，，
所以，即.
2．D
【详解】因为，所以，
所以即，故，
故选：D.
3．B
【详解】由不等式的性质若且，则必有，反之不一定成立，如
故“”是“且”的必要不充分条件
故选：B
4．D
【详解】由题意可知，得，
因双曲线的渐近线方程为，
即 ​，代入得，
所以（为半焦距），即，
故焦距为.
5．B
【详解】设该圆锥的底面半径为，因为该圆锥的轴截面为直角三角形，
所以该圆锥的高为，则该圆锥的体积．
设球的半径为R，则，
解得，则球的体积为．
所以该圆锥与球的体积之比为.
6．C
【详解】利用等差数列前项和公式，
代入得：，
代入已知条件：，
化简得：，
展开并整理：，
解得，即：，
因此：，
故.
7．D
【详解】对角的终边先进行变换后，角的终边经过，则.
再进行变换得到角的终边，则.
所以.
8．A
【详解】，
∵存在，对于任意都有，
∴在左侧附近，函数小于0.
，
，
①当时，，
∴存在，对于任意都有，，函数单调递增，
∴当时，，满足题意.
②当时，，
，
∴当时，，函数单调递减，
∴不存在，对于任意都有，
③当时，，
∴存在，对于任意都有，函数单调递减，
∴当时，，不满足题意.
综上所述，实数的取值范围是.
9．AD
【详解】A. 为纯虚数，故A正确；
B.，只有时，才是实数，故B错误；
C.，只有时为虚数，为实数，故C错误；
D. 为实数，故D正确.
10．ABD
【详解】对于A，令，解得，
则的定义域为，故A正确，
对于B，由已知得的定义域关于原点对称，
而，
则是偶函数，故B正确，
对于C，当时，得到，
则，此时，
得到在上单调递减，故C错误，
对于D，由题意得的定义域为
不妨令，讨论时的情况即可，
当时，设，
可得，此时，
得到在上单调递减，而，，
可得，则，
由零点存在性定理得存在作为零点，
当时，，此时无零点，
当时，结合偶函数性质得有1个零点，
综上可得，有且仅有2个零点，故D正确.
11．ABC
【详解】选项A：由得，，
则，所以，故A正确.
选项B：由正弦定理，得，所以，
即，整理得.
又，当且仅当时，等号成立，
所以（，时取等号），故B正确.
选项C：由正弦定理可知，，，
，
所以.
又，则，设，则，.
则
.
当，即时，取最大值，此时取最小值，即取最小值.
代入中得，，即，也即.
因此，当最小时，，故C正确.
选项D：当时，，又，所以，
则.
若，则，即，
所以，此时.
但根据已知条件，无法确定恒成立，故D错误.
12．/
【详解】作，因为，所以是的中点，
过作，由直三棱柱性质得面，
如图，作出符合题意的图形，以为原点建立空间直角坐标系，
因为，所以，由勾股定理得，
则，，，，
可得，，
设异面直线与所成角为，
则.
13．
【详解】椭圆的上顶点，下顶点，右焦点，其中.
直线方程：.
设，因为，所以，
即，解得，所以.
代入椭圆方程得，即，所以，即.
又，所以.
14．
【详解】因为，所以表示的二进制数最多有11位，即，
而为的二进制表示中1的个数，又，且，
当时，取得最大值为 ，故满足条件的均不超过 2000，
所以，对应的的个数为，，对应的的个数为，，对应的的个数为，
综上，满足条件的的个数为，
所以的概率为.
15．(1)
(2)，
【详解】（1）相关系数．
（2）由题意得，，
所以，，
所以所求的经验回归方程是，
当时，，
故当昼夜温差为时，这种植物种子当日百粒发芽数为．
16．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）连接，因为是等边三角形，是中点，所以．
又因为，，平面，，所以平面．
因为平面，所以．
因为平面平面，平面平面，
，平面，
所以平面．
（2）法一：在菱形中，，
又因为，，所以，．
因为，平面，，所以平面．
在平面内，作于．
因为平面，平面，所以．
又因为，，平面，，
所以平面，
所以的长度为点到平面的距离．
在中，因为，，，
所以，同理．
因为平面，平面，所以．
在中，因为，所以边上的高．
即点到平面的距离为．
法二：因为平面，平面，所以．
由（1）得、、两两垂直，
故以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
，，．
设平面的法向量为，
所以所以
所以是平面的一个法向量．
所以点到平面的距离．
17．(1)
(2)
【详解】（1）设直线与曲线相切于，
因为，所以切线斜率为，
所以，则，所以切点为，
又因为切点在直线上，所以，
所以．
（2），
则．
当时，，，，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以是的极小值点，不满足题意；
当时，，，，，，，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以是的极小值点，不满足题意；
当时，，，
所以在上单调递增，
所以不是的极值点，不满足题意；
当时，，，，，，，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以是的极大值点，满足题意，
综上，的取值范围是．
18．(1)，
(2)①证明见解析②证明见解析
【详解】（1）抛物线的准线方程为．
根据抛物线定义，，所以．
因此，抛物线的方程为．
将代入抛物线方程：，又，故．
（2）①方法一：
设，，
则的重心为，
由题意知，，则．
所以直线的斜率，为定值．
方法二：
因为直线的斜率不为零，
所以设直线的方程为，显然．
设，．
联立，整理得．
所以.
已知，
所以的重心的纵坐标，
所以，解得．
因此，直线的斜率，为定值．
②因为直线的斜率不为零，
所以设直线的方程为．设，．
联立，整理得．
所以.
设为的中点，则：
，，
即．
直线与轴交点，，则中点．
由于，所以．
所以．
直线的斜率：，
直线的方程：，整理得.
法一：
令，代入方程，解得，
因此，直线经过定点．
因为，于，
所以在以为直径的定圆上．
法二：
由于，，
所以的方程为，即，
联立，得
即．
令，则，，
令，则，，
令，则，，
求得经过，，的圆方程为，
代入的坐标符合，所以在定圆上．
19．(1)
(2)证明见解析
(3)或．
【详解】（1）因为，，，
所以，，
由得或
因此．
（2）因为，，，
所以，，
由得或
因此，，
因为，即，
所以，
因此，
又，所以，
因此，即数列为等比数列．
（3）由（2）得，即，
于是，
注意到，因此，
由，，
得，
因此，
因为，
所以，即，
设，，，
则，
因为，，
所以，
所以，即单调递增．
又，，
所以或2，
若，则，，
当时，，
因此或3，
当时，，解得，
当时，，解得．
若，则，，
当时，，
因此，
所以，解得（舍），日期编号
1
2
3
4
5
6
温差
9
13
11
15
10
14
百粒发芽数
23
28
26
31
25
29