江苏省南京市、盐城市2026届高三第一次模拟考试数学试卷含解析（word版+pdf版）

这是一份江苏省南京市、盐城市2026届高三第一次模拟考试数学试卷含解析（word版+pdf版），共4页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 设全集 ，集合 ，则
A. 4 B. 5 C. 7 D. 9
【答案】A
【解析】 .又 .
2. 已知向量 ，若 ，则
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
【答案】D
【解析】，
3.已知 ,则 “ ” 是 “ 且 ” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】设 且 .
当 时, 真, 假, 是 且 的必要不充分条件 .
4.已知双曲线 的渐近线方程为 ,且实轴长为 2, 则焦距为
A. B. 2 C. D. 4
【答案】D
【解析】 双曲线的渐近线为 .
又实轴长为 2, .
焦距 .
5.已知圆锥的轴截面是直角三角形，且该圆雉的顶点和底面的圆周都在球 的球面上. 则该圆锥与球 的体积之比为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设圆锥顶点为 ,轴截面为 ,其中 为底面直径,底面半径为 ,球半径为 为等腰直角三角形, . 又 都在球 的球面上,平面 截球得圆,圆心为 为直角三角形, 为 中点, ,圆锥高 ,
6.若等差数列 的前 项和为 ,且 ,则
A. -2B. C. D. 2
【答案】C
【解析】设等差数列首项为 ,公差为 ,
.
由 ,得 ,
7.设 和 表示坐标平面内的几何变换, 表示将几何对象绕原点 逆时针旋转 表示将几何对象关于 轴对称, 表示连续 次 变换. 已知角 的终边经过点 ,若对角 的终边先进行 变换,再进行 变换,得到角 的终边,则
A. -3B. C. D. 3
【答案】D
【解析】 终边经过 ,进行 变换后经过 设为 的终边再进行 变换即逆时针旋转.
8.已知函数 ,若存在 ,对于任意 都有 ,则实数 的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】方法一:
或 在 单调递减
矛盾, 排除D.
在 单调递增
满足条件, 可取 2,排除 .
或
在 单调递增, 时, 满足条件
可取,选A.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知复数 ,且 ,下列说法正确的是
A. 是纯虚数 B. 是实数C. 是虚数D. 若 ,则 是实数
【答案】AD
【解析】对 ,且 ,故 是纯虚数, A 正确;
对 为实数 ,由 得 ,不一定成立, B 错误;
对 ,当 时, ,故不一定是虚数, 错误对 ,所以 正确.
10.已知函数 ,则
A. 的定义域为
B. 是偶函数
C. 在 上单调递增
D. 有且仅有 2 个零点
【答案】ABD
【解析】求 定义域,令 , ,即 的定义域为 , A 对.
为偶函数, B 对.
在 单调递减, 错.
由 知 在 时, 单调递减, 时,
在 有且仅有一个零点,又 为偶函数,
在 有且仅有 2 个零点, 时, 无其它零点,即 在定义域内有且仅有两个零点, D 对.
11.在 中,角 所对的边分别为 . 已知 ,三角形的面积为 2 , 下列说法正确的是
A. B.
C. 当 最小时, D. 当 时，
【答案】ABC
【解析】由正弦定理, . 题目条件为 ,故 . 对 对.
对 ,故 .
又 ,
于是 .
故 .
若 ,则 ,从而 ,矛盾. 故 .
于是 ,即 . 所以,若 原式为此,则 对.
并且 时, ,有 .
对 ,故 最小等价于 最小.
又 ,
于是 . 故 .
当 最小时, 取可行范围的边界值,故取等号, ,
即 C对.
对 ,若 ,则 . 设 ,则 .
由面积条件, .
代入 ,得 .
即 . 又 ,
故存在 使 . 于是存在 对应的三角形满足 .
若 正确,则 .
因 ,故 ,与 矛盾. D 错.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.在直三棱柱 中,已知 ,则异面直线 与 所成角的余弦值为________.
【答案】
【解析】在 中, .
直三棱柱中， .
又 ,
13.在平面直角坐标系 中,已知椭圆 的上、下顶点分别为 ,右焦点为 ,线段 的延长线与 交于点 ,若 ,则 的离心率为_______.
【答案】
【解析】设右焦点 ,则 ,
直线 方程为 . 设 ,
由 得 .
又 .
又 , .
14.设正整数 ,其中 . 记 . 从集合 中随机抽取一个数 ，则 的概率为________.
【答案】
【解析】 的二进制表示最多有 11 位,也就是从 到 为 的二进制表示中 1 的个数, 的二进制表示中 1 的个数不超过 3 .
当 时,取得最大值为 满足条件的 均不超过 的个数为 的个数为 的个数为 .
满足条件的 的个数为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.为研究昼夜温差(单位:°C)与某植物种子当日的百粒发芽数(单位:粒)之间的关系，实验室记录了6 天的每日昼夜温差与种子当日的百粒发芽数，如下表所示:
(1)根据表中的数据，计算样本相关系数(精确到0.01)；
(2)求百粒发芽数 关于温差 的经验回归方程，并估计昼夜温差为 时，这种植物种子当日的百粒发芽数.
参考公式: 相关系数 ,
参考数据: .
【解析】(1)相关系数
(2)
,
当 时, .
当昼夜温差为 时,这种植物种子当日百粒发芽数为 33 .
16.如图，在四棱锥 P-ABCD 中， 是等边三角形，底面 是菱形,平面 平面 是 的中点.
(1)证明: 平面 ；
(2)若 ，求点 到平面 的距离.
【解析】(1)证明: 为等边三角形， 为 中点，
又 平面 平面
,平面 平面 ,平面 平面
平面 平面 .
(2) 平面 且
分别以 为 建立如图所示空间直角坐标系
,
.
设平面 的法向量 ,
,
不妨设 ,则 .
到平面 距离 .
17.已知函数 ,直线 与曲线 相切.
(1)求实数 的值；
(2)若 是函数 的极大值点，求实数 的取值范围.
【解析】
(1)设切点横坐标为 ，则 ,
与曲线 相切, .
.
切线方程为 ,
又切线为 .
(2)由(1)得 ,
,
.
若 是极大值点, .
当 时, .
,
不是极大值点, .
反之,若 ,则 是极大值点.
的取值范围为 .
18.已知抛物线 的焦点为 上的点 到 的距离为 5 .
(1)求 和 的值；
(2) 为 上两点， 的重心在直线 上.
①证明:直线 的斜率为定值;
②设直线 与 轴交于点 ，线段 的中点为 ，线段 的中点为 ，过点 向直线 作垂线，垂足为 . 证明:点 在定圆上运动.
【解析】(1) 由题意知 ，此时抛物线 在 上, ,综上:
(2)① ,
,
重心纵坐标 的斜率为 .
② ,
时 .
,即: .
.
时, ,过 .
中点 ,
垂足 在以 为直径的圆上,圆心 ,半径 ,
即点 在 上.
19.已知圆 ,点 ,对于圆 上的点 ,按照如下方式构造点 : 过点 作直线 垂直于 轴,垂足为 ,点 满足 ,直线 交 于点 , 其中 为坐标原点,点 异于点 .
(1)若 ，求 的坐标；
(2)证明:数列 为等比数列；
(3)已知 ，设 及 的面积分别为 ， ，若存在正整数 ,使得 ,求 所有可能的值.
【解析】(1) ,
,直线 方程为: .
联立 .
.
(2) ,
,直线 方程为: .
联立 ,
.
又 ,
,
.
数列 为等比数列,首项为 ,公比为 .
并且 .
(3)由题目条件为 ，故 ,
由(2)得 .
又 且 ,
,
.
代入题设条件,得 ,
,
令 ,则
先证 在 时递增:
当 时,
.
,
在 时递增,故 .
于是 ,
令 ,则 .
当 时, ,
又令 ,
,
.
时, ,不合题意.
故只需讨论 ,
当 时, .
当 时, .
或 .日期编号i
1
2
3
4
5
6
温差
9
13
11
15
10
14
百粒发芽数
23
28
26
31
25
29