江西省赣州市2026届高三下学期摸底考试（一模）数学试题（Word版附解析）

这是一份江西省赣州市2026届高三下学期摸底考试（一模）数学试题（Word版附解析），共14页。试卷主要包含了 已知集合，，则， 复数满足， 若函数且为偶函数，则， 已知函数的图象如图所示，则， 在长方体中，，点在四边形内等内容，欢迎下载使用。
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟
第I卷（选择题共58分）
一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案填写在答题卷上.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
解析：由，可得，，
又，可得，，
所以.
故选：C.
2. 复数满足（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】C
解析：由题意可得：，所以，所以复数的共轭复数的虚部为1.
3. 若函数且为偶函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
解析：函数且为偶函数，且该函数的定义域为，所以，
因为，，所以，可得，
又因为且，解得，此时，
因为，
故当时，函数为偶函数，故.
4. 已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，若的面积为1，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
解析：由椭圆，得，，即，
因此左右焦点，，
因为面积为，故，得，即，
将代入椭圆方程：，解得.
，，
则 .
5. 已知函数的图象如图所示，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
解析：由图可得，，
所以，故①，
又因为，可得，
又因为函数在附近单调递增，所以②，
①②得，
令，则，则，可得，
由图可知，函数的最小正周期满足，可得，
即，所以，即，
又因为，则，所以，则，
所以，可得，
因为，所以，则，故，
故.
6. 已知数列的前项和为，满足，在数列中，，且，设为数列的前项和，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
解析：因为，①
所以，（若，则，从而得，与矛盾），当时，，②
①②得，移项得，所以.
由得，解得，所以，
所以，
而也满足上式，所以数列的通项公式为.
因为，③
所以当时，，④
由指数函数的性质知③，④式等号左右两侧都是正数，
所以③④得，即.
当时，由得，又所以，
所以均满足，所以数列的通项公式为，即数列是首项为1，公比为2的等比数列，
所以.
7. 已知双曲线左､右焦点分别为，若过点的直线与圆相切于点与双曲线的右支交于点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】D
解析：如图，因过点的直线与圆相切于点，则，
又，则，因，则，
点是双曲线的右支上的一点，则，
在中，，
在中，由余弦定理，，
则有，化简得，即，
故双曲线的离心率为.
8. 在长方体中，，点在四边形内（含边界）移动，且满足，则点到直线距离的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
解析：长方体中，，
四边形是正方形，
，
平面，平面，，
，平面，
以为原点，为轴，过作的平行线作为轴，为轴，
建立空间直角坐标系，如图所示，
，，
在四边形内（含边界）移动，设，
，
，，，
，
，，
，，
，，
，为点的轨迹方程，
，
在平面内直线的方程为，即，
到直线的距离为
，
当时，取最小值为，
则点到直线距离的最小值为.
故选：D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9. 已知圆，过直线上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，则（ ）
A. 圆上的点到直线的最大距离为
B. 四边形面积的最小值为4
C. 的最小值为8
D. 当点坐标为时，直线的方程为
【答案】ABD
解析：由题意得，，半径，
因为圆心到直线的距离，
所以圆上的点到直线的最大距离为，故A正确；
因为，
所以四边形面积为，
当时，四边形面积的最小值，故B正确；
因为，
所以
因为在上单调递增，且，
所以当，即时取得最小值，最小值为，故C错误；
因为，所以以为直径的圆的方程为，
即，
则直线的方程为，故D正确.
10. 设是一个试验中的两个事件，且，则下列结论正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
解析：选项A，，，
，
，
，，故选项A正确；
选项B，，故选项B错误；
选项C，，故选项C正确；
选项D，，，，，
，故选项D错误.
故选：AC.
11. 我们把方程的实数解称为欧米加常数，记为，和一样，都是无理数，还被称为在指数函数中的“黄金比例”.下列有关的结论正确的是（ ）
A.
B
C. ，其中
D. 函数的最小值为
【答案】ABC
解析：对于选项A：构建，则为的零点，
因为，
若，则，可知在内单调递减，且，
所以在内无零点；
若，则，可知在内单调递增，
且，
所以在内存在唯一零点，故A正确；
对于选项B：因为，，即，
两边取对数可得：，
得,
则，故B正确；
对于选项C：假设成立，则，
得，得，得，
则，
得，得，
则，得，得，故假设成立，故C正确；
对于选项D：构建，则，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则，可得，当且仅当时，等号成立，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
因为在内单调递减，
可知在内单调递减，且，
可知在内存在唯一零点，即，
所以的最小值为，不为，故D错误；
第II卷（非选择题共92分）
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，答案填写在答题卷上.
12. 若，则__________.
【答案】
解析：由，
因此等于中的系数与中的系数和.
根据二项式定理，的通项公式为：
令，得，则的系数为；
令，得，则的系数为，
所以.
13. 已知函数且有三个零点，则实数的取值范围是______.
【答案】
解析：函数且有三个零点，则方程有三个根，
即方程有三个根，即方程有三个根，易知，
所以方程有三个根，所以与函数有三个交点，
当时，，则，
则当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以的最大值为，
令得，
又无限趋向于0且时，趋向于负无穷大，
无限趋向于正无穷大时，趋向于0；
当时，，则，
则当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的最大值为，令得，
又无限趋向于0且时，趋向于正无穷大，
无限趋向于负无穷大时，趋向于0；
作出与函数的示意图：
由图可知，或，所以或，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
14. 一自动运动的小车连续运行次，每次以相同概率随机选择向前或向后运动，记未连续出现2次向后运动的概率为，则的值为__________.
【答案】
解析：根据题意，小车向前或向后运动的概率为，
未连续出现2次向后运动的概率为，
则第次可能向前或向后运动，
当第次是向前运动时，只要前次未连续出现2次向后运动，其概率为；
当第次是向后运动时，则第次只能向前运动，且前次未连续出现2次向后运动，其概率为；
，，，
即，
由②得代入①，
，即，
．
四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15. 在中，角的对边分别为，且.
（1）若，求的值.
（2）若内切圆的面积为，求的面积.
【答案】（1）
（2）
（1）
因为，所以由正弦定理得，
所以，
所以，
所以
在中，因为，所以有，即得，即，
因为，所以，即得，，
所以.
（2）
内切圆的面积为，所以内切圆半径，
又，则有，
由余弦定理得
，
所以，解得或（舍），
所以，
则.
16. 已知抛物线，过点作直线与抛物线相交于两点，为坐标原点.
（1）证明：；
（2）若存在异于点的定点，使得恒成立，请求出点的坐标，并求出面积的最小值.
【答案】（1）证明见解析
（2） 8
（1）
证明：设直线的方程为，
由，得，即，
因为，所以，
，
所以，所以.
（2）
因为，所以，
由角平分线的性质可知，为的角平分线，由抛物线对称性可得，在轴上，
设，，
因为在轴上，所以，，
整理得，由，代入可得，
即，由于上式对任意恒成立，所以，即.
，
到直线的距离为：，面积，
当时，面积有最小值8.
17. 如图，在三棱锥中，平面，且为的中点.
（1）求二面角的余弦值；
（2）若，在线段上各取一点，设，若平面平面，求的值.
【答案】（1）
（2）
（1）
因为平面，平面，所以，
因为，所以，所以两两垂直，
所以以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，因为为的中点，所以，
设，则，
设平面的一个法向量为，
则，令，可得；
易知平面的一个法向量为，
二面角的大小为，易知为锐角，
，所以二面角的余弦值为.
（2）
由，则，
，解得，即.
因为，所以,且，
,
,
设平面的一个法向量为，则，
令，可得，即.
,
设平面的一个法向量为，则，
令，可得，即，
因为平面平面，所以，解得
18. 已知函数.
（1）讨论函数的单调性.
（2）设函数，若存在唯一实数使函数的最小值为0，求实数的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；
（2）或．
（1）
由得.
①当时，，单调递减；
②当时，令，解得，
当时，，即，所以单调递减，
当时，，即，所以单调递增；
③当时，，所以，单调递减.
综上，当时，单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，单调递减.
（2）
解法一：由
得，由（1）可知
，
即关于的方程只有1个根，
当时，方程（）恒成立，即当且时，方程（）无解
所以，
由，所以，即，即且，
对（）式同时取对数，
即，令，则，
即关于的方程在无解.
又令，则，
令，则，
由，则当时，，当时，，
所以在单调递增，在单调递减，
所以，所以，所以在上单调递减，
当时，，当时，，
要使式成立，只需或，即或
综述，实数取值范围或．
解法二：令，
由（1）可知，时，在上单调递减，在上单调递增，
所以，
依题，存在唯一实数使函数的最小值为0，
所以存在唯一实数使，即存在唯一实数使，
令，则，
（i）当时，恒成立，故函数在单调递增，
又因为，所以存在唯一实数使得，符合题意；
（ii）当时，令，得，
令，得，
故函数在单调递增，在单调递减，
所以，解得，
综上，实数的取值范围是或．
19. 现有一种不断分裂的细胞，在每个分裂周期中，一个细胞以的概率分裂成一个新的细胞，以的概率分裂成两个新的细胞，分裂后原来的细胞消失，新的细胞在下一个分裂周期里会继续分裂.设初始状态下有1个细胞，个分裂周期后，细胞的数目为.
（1）求的分布列和数学期望.
（2）求概率.
（3）证明：.
【答案】（1）分布列为
；
（2）
（3）证明见解析
（1）
由题意可知，的可能取值为，
其中，，
，，
所以分布列为
；
（2）
个周期结束后共有个细胞，则必在某一个周期结束后分裂成个细胞.
不妨设细胞在第个周期时分裂为个细胞，之后一直有个细胞，
此事件概率，
所以
.
（3）
由全概率公式知，
化简得
代入
即
即
即
由，所以