2025--2026学年上海外国语大学附属外国语学校八年级下学期学情自测数学试卷（3月份）附答案

这是一份2025--2026学年上海外国语大学附属外国语学校八年级下学期学情自测数学试卷（3月份）附答案，共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列方程中，无实数根的方程的个数是（ ）
（1）x+2+3=0；（2）x−4+3−x=0；（3）x+1=−x；
（4）2x−3+3−2x=0；（5）x2−2x+4=0；（6）2x+1+3x−1=6x2−1．
A.2个B.3个C.4个D.5个

2.已知下列关于x的方程：
①x2+5x+1=0；②x2+5x+1=0；③a−1+2x=7；④x−1−7=0；⑤x+1x=2；⑥1x+3−x2−x=3．
其中，是无理方程的有（ ）
A.2个B.3个C.4个D.5个

3.已知3x+2−5x−4=3−x，则3x+2+5x−4的值为（ ）
A.211B.2C.211或2D.11或2

4.某河的水流速度为每小时2千米，A，B两地相距36千米，一动力橡皮船从A地出发，逆流而上去B地，出航1小时，机器发生故障，橡皮船随水向下漂流，30分钟后机器修复，继续向B地开去，但船速比修复前每小时慢了1千米，到达B地比预定时间迟了54分钟，则橡皮船在静水中起初的速度为（ ）千米/时．
A.11B.12C.13D.14
二、填空题

5.方程x+32⋅x−1⋅x+1=0的根为________．

6.方程x2−2003+x2−2023=10的解为________．

7.解方程1+9x+4xx+9=4时，设1+9x=y 换元后，整理得关于y的整式方程是________．

8.如果关于x的无理方程2x+m=x有实数根x=1，那么m的值为________．

9.某工人要完成1000个零件，起初机器出现故障，每分钟比原计划少加工4个零件，加工320个零件后，换了一台新机器，每分钟比原计划多加工8个零件．已知用新机器加工零件的时间比前面用旧机器加工零件的时间少6分钟，设原计划每分钟加工x个零件，则可列方程为：________．

10.无论k为何值，关于x，y的方程组y=x2+bx+ckx−y=k24+k都只有一组解，则b+c=________．

11.方程6+x−4x+2+11+x−6x+2=1的解是________．

12.方程组x2+y2=2(1+a)(x+y)2=16只有两组实数解，则a=________．

13.方程组y2=4x(x−a)2+y2=16有三组不同实数解，则实数a的值（或取值范围）是________．

14.方程3x+2921+3x−2921=1的解为________．

15.若正整数a、m、n满足a2−42=m−n，求a+m+n=________．

16.甲杯子里盛有浓度15的盐水40kg，乙杯子里盛有浓度35的盐水60kg．第一次：从甲杯中倒出一部分盐水到乙杯，搅拌均匀；第二次：再从乙杯中倒回同样重量的盐水到甲杯．甲杯盐水浓度恰好为25，则第一次从甲杯倒出了________千克盐水．
三、解答题

17.解方程：2x+1+x−3=2x

18.解方程：2+7x−3+2−142x+1=3

19.解方程：x2+5x−6−3x+3x2−8x+5+3=0

20.解方程：4x2+x+2x3x2+x=9

21.解方程组：x2+2xy+y2=9(x−y)2−4(x−y)+3=0

22.解方程组：y+3x=42x+y=3.

23.解方程组：x2−2xy+3y2=94x2−5xy+6y2=30

24.解方程组：x2+xy+y2=84x+xy+y=14

25.已知方程组y2=6xy=3x+m有两组实数解x=x1y=y1、x=x2y=y2，且x1≠x2，x1⋅x2≠0，设n=−3x1−3x2．
（1）求m的取值范围；
（2）用含m的代数式表示n；
（3）是否存在这样的m的值，使n的值为−3？如果存在，求出这样的m的值；若不存在，说明理由．

26.如图，x轴表示一条东西方向的道路，y轴表示一条南北方向的道路．小丽和小明分别从十字路口O点处同时出发，小丽沿着x轴以3千米/时的速度由西向东前进，小明沿着y轴以6千米/时的速度由南向北前进．有一家超市位于图中的P点处，超市与x轴、y轴的距离分别是4千米和3千米．问：
（1）离开路口后经过多少时间，两人与这家超市的距离恰好相等？
（2）离开路口后经过多少时间，两人与这家超市所处的位置恰好在一条直线上？

27.已知关于x、y的方程组x2−y=0x2+ay2−2ay+a−2=0恰有两组不同的实数解，求实数a的取值范围．

28.“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”：②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”．
（1）判断分式方程11−x+1=21+x与无理方程x2−2=2x+1是否是“相似方程”，并说明理由；
（2）已知关于x，y的方程：4x2−9y2=28和2x−3y=4，它们是“相似方程”吗？如果是，请写出它们的公共解；如果不是，请说明理由；
（3）已知关于x，y的二元一次方程：y=(k+1)x−4和y=x−3k（其中k为常数）是“相伴方程”，求k的值.
参考答案与试题解析
2025-2026学年上海外国语大学附属外国语学校八年级下学期学情自测数学试卷（3月份）
一、单选题
1.
【答案】
C
【解析】
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【解答】
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2.
【答案】
B
【解析】
根据无理方程的定义，找出无理方程，即可解答．
【解答】
解：①根号内不含未知数，所以，不是无理方程；故本项不符合题意；
②根号内含未知数，所以，是无理方程；故本项符合题意；
③根号内不含未知数，所以，不是无理方程；故本项不符合题意；
④根号内含未知数，所以，是无理方程；故本项符合题意；
⑤根号内含未知数，所以，是无理方程；故本项符合题意；
⑥根号内不含未知数，所以，不是无理方程；故本项不符合题意；
所以，②④⑤是无理方程；
故选B．
3.
【答案】
A
【解析】
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【解答】
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4.
【答案】
B
【解析】
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【解答】
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二、填空题
5.
【答案】
x=1
【分析】本题考查解无理方程，根据几个式子的积为0，则必有一个因式为0，进行求解即可.
【详解】解：∵x+32⋅x−1⋅x+1=0，
∴x+32=0或x−1=0或x+1=0，
∴x=−32或x=1或x=−1，
检验：当x=−32或x=−1时，x−10，
代入 y2=4x 会得到两个不同的 y 值 y=±2x，
如果 x=0，则 y=0，对应一组解；
∵ 方程组 y2=4x(x−a)2+y2=16 有三组不同实数解，
∴ 方程①的解满足，一个根为 x=0，另一个解为正数；
将 x=0 代入方程①，得 02+(4−2a)⋅0+(a2−16)=0，
即 a2−16=0，解得 a=±4，
验证：当 a=4 时，x2+(4−8)x+(16−16)=0，
整理得 x2−4x=0，解得 x=0 或 x=4，
当 x=4 时，y2=16，解得 y=±4，
∴ 三组实数解为 x=0y=0 或 x=4y=4 或 x=4y=−4；
当 a=−4 时，x2+12x=0，解得 x=0 或 x=−12（舍去），
综上，当 a=4 时，方程组 y2=4x(x−a)2+y2=16 有三组不同实数解。
【解析】
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【解答】
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14.
【答案】
【解析】
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【解答】
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15.
【答案】
```markdwn
【答案】12
【分析】将原方程化为a2−42=(m+n)−2mn，根据等式两边有理部分和无理部分相等得到a2=m+n42=2mn，求出mn=8，再枚举求解即可.
【详解】解：a2−42=m−n≥0，
若a2−42=0，此时a不为正整数，
故a2−42=m−n>0，则m>n
由a2−42=m−n可得a2−42=(m+n)−2mn
由题意得，a2=m+n42=2mn，
∴mn=8，
∵m、n是正整数，
∴m=8,n=1或m=4,n=2，
当m=8,n=1时，解得a=3，符合题意，则a+m+n=3+8+1=12；
当m=4,n=2时，此时a2=6，则a不是正整数，不符合题意，
综上：a+m+n=12.
```
【解析】
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【解答】
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16.
【答案】
30
【分析】设第一次从甲杯倒出了x千克盐水，由题意得 (40−x)×0.15+x(21+0.15x)60+x=10 ，据此求解即可。
【详解】解：设第一次从甲杯倒出了x千克盐水，
第一次倒出后甲杯剩余 (40−x) 千克盐水，溶质为 (40−x)×15% 千克，
乙杯加入x千克后，总质量为 (60+x) 千克，溶质为 60×35%+15%x=21+0.15x 千克，
此时乙杯浓度为： 21+0.15x60+x；
从乙杯倒回x千克盐水到甲杯，这部分盐水中的溶质为： x×21+0.15x60+x，
此时甲杯的总溶质为： (40−x)×15%+x×21+0.15x60+x，
甲杯总质量回到40千克，且浓度为 25%，所以总溶质也等于 40×25%=10 千克，
由题意得 (40−x)×0.15+x(21+0.15x)60+x=10，
解得 x=30，
经检验， x=30 是原方程的解，且符合题意。
∴ 第一次从甲杯倒出了30千克盐水.
【解析】
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【解答】
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三、解答题
17.
【答案】
```markdwn
【答案】 x=4
【分析】先将方程两边同时平方得到 2x+1+2(2x+1)(x−3)+x−3=4x，则 2(2x+1)(x−3)=x+2，再同时平方得到一元二次方程 4(2x2−5x−3)=(x+2)2，解方程并检验即可.
【详解】解： 2x+1+x−3=2x
两边平方得， 2x+1+2(2x+1)(x−3)+x−3=4x
整理得， 2(2x+1)(x−3)=x+2
两边平方得， 4(2x2−5x−3)=(x+2)2
整理得， 7x2−24x−16=0
解得 x1=−47,x2=4，
经检验， x=−47 是增根，
∴ 原方程的解为 x=4.
```
【解析】
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【解答】
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18.
【答案】
解：可化为：2x+1x−3+2x−32x+1=3，
设2x+1x−3=y，则：y+2y=3，
解得：y1=1，y2=2，
即：2x+1x−3=1或2x+1x−3=2，
解得：x1=−4，x2=132．
∴ 经检验的原方程的解为：x1=−4，x2=132．
【解析】
观察方程根号内式子的特点，应先把根式内进行整理，然后用换元法求解，注意无理方程需要验根．
【解答】
解：可化为：2x+1x−3+2x−32x+1=3，
设2x+1x−3=y，则：y+2y=3，
解得：y1=1，y2=2，
即：2x+1x−3=1或2x+1x−3=2，
解得：x1=−4，x2=132．
∴ 经检验的原方程的解为：x1=−4，x2=132．
19.
【答案】
x=1或 x=10
【分析】先将原方程变形为 (x+6)(x−1)−3(x−1)+(x−1)(3x−5)=0，再因式分解变形为 x−1x+6−3x−1+3x−5=0，则解方程 x−1=0和 x+6−3x−1+3x−5=0即可.
【详解】解： x2+5x−6−3x+3x2−8x+5+3=0 (x+6)(x−1)−3(x−1)+(x−1)(3x−5)=0 x−1x+6−3x−1+3x−5=0 ∴x−1=0，解得 x=1；
或 x+6−3x−1+3x−5=0 x+6+3x−5=3x−1 x+6+2(x+6)(3x−5)+3x−5=9x−9 2(x+6)(3x−5)=5x−10 4(3x2+13x−30)=25x2−100x+100 13x2−152x+220=0，
解得 x1=10， x2=2213
经检验， x=2213是增根， x=1、 x=10是原方程的解，
∴原方程的解为 x=1或 x=10。
【解析】
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【解答】
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20.
【答案】
x1=−92,x2=1
【分析】根据 2x3x2+x可看成是 2⋅x⋅3x2+x，对方程左边进行变形后利用完全平方公式即可求解.
【详解】解：原方程变形为， (3x2+x)+2x3x2+x+x2=9，
∴3x2+x2+2x3x2+x+x2=9，
∴3x2+x+x2=9，
∴3x2+x+x=3或 3x2+x+x=−3，
当 3x2+x+x=3时，即 3x2+x=3−x，
两边同时平方得， 3x2+x=9−6x+x2，
移项、合并同类项得， 2x2+7x−9=0，
因式分解得， (2x+9)(x−1)=0，
∴2x+9=0或 x−1=0，
∴x1=−92,x2=1，
检验： ∵3x2+x=3−x，
∴3−x≥0，
当 x=−92时， 3−x=3−−92=3+92=152>0，符合题意，
当 x=1时， 3−x=3−1=2>0，符合题意，
∴x1=−92,x2=1是原方程的解；
当 3x2+x+x=−3时，即 3x2+x=−3−x，
两边同时平方得， 3x2+x=9+6x+x2，
移项、合并同类项得， 2x2−5x−9=0，
∵a=2,b=−5,c=−9，
∴b2−4ac=(−5)2−4×2×(−9)=97，
∴x=5±974，
检验： ∵3x2+x=−3−x，
∴−3−x≥0，
当 x=5+974时， −3−x=−3−5+974=−17−974