2023-2024学年上海外国语大学附属外国语学校八年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年上海外国语大学附属外国语学校八年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列命题中，真命题的有个.( )
①到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的角平分线；
②以AB为底边的等腰三角形顶点C的轨迹是线段AB的垂直平分线；
③反比例函数y=−3x，y随着x的增大而增大；
④过原点的一条直线一定是正比例函数的图象.
A. 0B. 1C. 2D. 3
2.一次函数y=2(x−2)+1的图象不经过第象限.( )
A. -B. 二C. 三D. 四
3.在同一平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b与反比例函数y=−kbx的大致图象可以是( )
A. B. C. D.
4.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=kx(x>0)的图象交矩形OABC的边AB于点D，交边BC于点E，且BE=2EC.若四边形ODBE的面积为6，则k的值为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 6
二、填空题：本题共16小题，共38分。
5.x2− 5x+54=0的根为______.
6.在实数范围内分解因式：2x2−5x−1=______.
7.设x1、x2是方程x2−2x−11=0的两个根，(x12+2)(x22+2)=______.
8.一次函数y=a(x+1)−2a的图象在y轴上的截距是1，且y随着x的增大而减小，则a=______.
9.正比例函数y=(3k−6)x的图象经过A(x1,y1)、B(x2,y2)，且x1y2，则k的范围是______.
10.正比例函数y=kx和反比例函数y=6x的图象都经过A(m,−2)，则正比例函数的解析式为______.
11.在锐角△ABC中，AB=AC，AB垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为50∘，则∠B=______.
12.已知A(3,1)，B(1,−3)，在x轴上找一点P，使得点P到A，B两点的距离相等，则点P的坐标为______.
13.若直线y=3x+b与坐标轴围成的三角形面积是6，则b=______.
14.若关于x的方程x−1x−3+3−xx+1=3x+ax2−2x−3的解为负数，则a的取值范围是______.
15.函数y=2−bx与y=2x图象没有交点，则b的取值范围是______.
16.如图，在△ABC中，∠BCA=90∘，AC=BC，△BCD是等边三角形，BC=3+ 3，则BE=______.
17.如图，在Rt△ABC中，点D是斜边AC的中点，点P在AB上，PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F，若AB=6，BC=3，则PE+PF=______.
18.如图，点P1是反比例函数在第一象限图象上的一点，点A1的坐标为(2,0)，若△P1OA1，△P2A1A2均为等边三角形，则点A2的坐标为______.
19.在平面直角坐标系中，线段AB的端点坐标为A(−2,4)，B(4,2)，若直线y=−kx−2与线段总有交点，则k的取值范围是______.
20.已知Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=6，BC=8，将它其中一个锐角沿着某条直线翻折，使该锐角顶点落在其对边的中点D，折痕交另一直角边于E，交斜边于F，则DE的长为______.
三、计算题：本大题共1小题，共4分。
21.2x2+3x−1=0.
四、解答题：本题共7小题，共46分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
22.(本小题4分)
2(x2+1x2)−7x+7x+2=0.
23.(本小题6分)
解方程：2xx+1−m+1x2+x=x+1x(m为常数).
24.(本小题6分)
已知一次函数y=kx+9和反比例函数y=6mx的图象交于A、B两点，A点的坐标是(m,6m).
(1)求点A的坐标和这个一次函数的解析式；
(2)请求出另一交点B坐标，并直接写出kx+9>6mx时x的取值范围.
25.(本小题6分)
已知：如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=45∘，高AD与高BE相交于点F，G为BF的中点．
求证：(1)DG=DE；
(2)∠DEG=∠DEC.
26.(本小题6分)
为提高农民收入，某区一水果公园引进一种新型蟠桃，蟠桃进价为每公斤40元．上市后通过一段时间的试营销发现：当蟠桃销售单价在每公斤40元至90元之间(含40元和90元)时，每月的销售量y(公斤)与销售单价x(元/公斤)之间的关系可近似地看作一次函数，其图象如图所示．
(1)求y与x的函数解析式，并写出定义域；
(2)如果想要每月获得2400元的利润，那么销售单价应定为每公斤多少元．
27.(本小题9分)
如图，在直角坐标平面内，正比例函数y= 3x的图象与一个反比例函数图象在第一象限内的交点为点A，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，AB=3.
(1)求反比例函数的解析式；
(2)在直线AB上是否存在点C，使点C到直线OA的距离等于它到点B的距离？若存在，求点C的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)已知点P在直线AB上，如果△AOP是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
28.(本小题9分)
如图，△ABC中，∠B=60∘，∠ACB=90∘，BC=6，点D、E分别是边AB、BC上的一个动点，且BD=BE，过点D作DG⊥AB交射线BC于点G，交线段AC于点F，设BD=x.
(1)如图1，当点G与点C重合时，求△DCE的面积；
(2)如图2，设当点G在BC的延长线上时，FC=y，求y关于x的解析式，并写出定义域；
(3)若△DEF为直角三角形，求x的值.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：①在角的内部且到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的角平分线，故本选项命题是假命题；
②以AB为底边的等腰三角形顶点C的轨迹是线段AB的垂直平分线(底边的中点除外)，故本选项命题是假命题；
③反比例函数y=−3x，在每一个象限，y随着x的增大而增大，故本选项命题是假命题；
④坐标轴的x轴和y轴是过原点的一条直线，但不是正比例函数的图象，故本选项命题是假命题；
故选：A.
根据角平分线的判定定理、等腰三角形的概念以及三角形的三边关系、反比例函数的图象和性质、正比例函数的概念判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
2.【答案】B
【解析】解：∵y=2(x−2)+1=2x−3
∵2>0，−3<0，
∴一次函数y=2(x−2)+1的图象经过一、三、四象限，即不经过第二象限．
故选：B.
根据一次函数图象的性质可得出答案．
此题考查一次函数的性质，一次函数y=kx+b的图象有四种情况：
①当k>0，b>0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限，y的值随x的值增大而增大；
②当k>0，b<0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，y的值随x的值增大而增大；
③当k<0，b>0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，y的值随x的值增大而减小；
④当k<0，b<0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，y的值随x的值增大而减小．
3.【答案】C
【解析】解：A、一次函数y=kx+b的图象经过一、三、四象限，则k>0，b<0，−kb>0，
∵反比例函数y=−kbx图象经过二、四象限，则−kb<0，矛盾；
B、一次函数y=kx+b的图象经过二、三、四象限，则k<0，b<0，−kb<0，
∵反比例函数y=−kbx图象经过二、四象限，则−kb>0，矛盾；
C、一次函数y=kx+b的图象经过一、二、三象限，则k>0，b>0，−kb<0，
∵反比例函数y=−kbx图象经过二、四象限，则−kb<0，一致；
D、一次函数y=kx+b的图象经过一、二、四象限，则k<0，b>0，−kb>0，
∵反比例函数y=−kbx图象经过二、四象限，则−kb<0，矛盾；
故选：C.
先根据一次函数y=kx+b经过的象限判断−kb的符号，再根据反比例函数的图象经过的象限，判断出−kb的符号，看是否一致．
本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象，熟练掌握一次函数和反比例函数的性质是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：连接OB，如图所示：
∵四边形OABC是矩形，
∴∠OAD=∠OCE=∠DBE=90∘，△OAB的面积=△OBC的面积，
∵D、E在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，
∴△OAD的面积=△OCE的面积，
∴△OBD的面积=△OBE的面积=12四边形ODBE的面积=3，
∵BE=2EC，
∴△OCE的面积=12△OBE的面积=32，
∴k=3；
故选：C.
连接OB，由矩形的性质和已知条件得出△OBD的面积=△OBE的面积=12四边形ODBE的面积=3，再求出△OCE的面积，即可得出k的值．
本题考查了矩形的性质、三角形面积的计算、反比例函数的图象与解析式的求法；熟练掌握矩形的性质和反比例函数解析式的求法是解决问题的关键．
5.【答案】x1=x2= 52
【解析】解：x2− 5x+54=0，
(x− 52)2=0，
∴x− 52=0，
∴x1=x2= 52.
故答案为：x1=x2= 52.
利用因式分解法求解即可．
本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
6.【答案】2(x−5+ 334)(x−5− 334)
【解析】解：令2x2−5x−1=0，
Δ=25+8=33>0，
x=5± 334，
∴2x2−5x−1=2(x−5+ 334)(x−5− 334).
故答案为：2(x−5+ 334)(x−5− 334).
设多项式等于0，解出方程两根，再分解因式即可．
本题考查了实数范围内分解因式．先求出方程的两个根，再根据ax2+bx+c=a(x−x1)(x−x2)即可因式分解．
7.【答案】177
【解析】解：∵x1、x2是方程x2−2x−11=0的两个根，
∴x12−2x1−11=0，x22−2x2−11=0，x1+x2=2，x1x2=−11，
∴x12=2x1+11，x22=2x2+11，
所以(x12+2)(x22+2)
=(2x1+13)(2x2+13)
=4x1x2+26(x1+x2)+169
=−44+52+169
=177.
故答案为：177.
根据根与系数的关系已经根的定义得到x1+x2=2，x1x2=−11，x12=2x1+11，x22=2x2+11，然后利用整体代入的方法计算(x12+2)(x22+2)=(2x1+13)(2x2+13)=4x1x2+26(x1+x2)+169计算即可．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca.
8.【答案】−1
【解析】解：∵一次函数y=a(x+1)−2a=ax+a−2a的图象在y轴上的截距是1，
∴a−2a=1，
∴a=2或−1，
∵y随x的增大而减小，
∴a<0，
∴a=−1，
故答案为：−1.
由函数的图象在y轴上的截距是1可知a−2a=1，由y随x的增大而减小可知a<0，求出a的取值范围即可．
本题考查了一次函数的图象，一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性与系数的关系是解题的关键．
9.【答案】k<2
【解析】解：由题知，
因为正比例函数y=(3k−6)x的图象经过A(x1,y1)、B(x2,y2)，且x1y2，
所以正比例函数中的y随x的增大而减小，
所以3k−6<0，
解得k<2.
故答案为：k<2.
根据题意可得出y随x的增大而减小，据此可解决问题．
本题考查一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的图象和性质是解题的关键．
10.【答案】y=23x
【解析】解：∵点A(m,−2)在反比例函数y=6x的图象上，
∴−2=6m，解得：m=−3.
即点A的坐标为(−3,−2).
又∵点A(−3,−2)在一次函数y=kx的图象上，
∴−2=−3k，解得：k=23.
∴正比例函数的解析式为y=23x.
故答案为：y=23x.
由反比例函数解析式得出点A的坐标，由点A的坐标利用待定系数法即可得出正比例函数的解析式．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是求出点A的坐标．
11.【答案】70∘
【解析】解：如图1，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴∠DEA=90∘，
∵∠EDA=50∘，
∴∠A=40∘，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
又∵∠A+∠B+∠ACB=180∘，
∴∠B=70∘.
故答案为：70∘.
根据题意画出图形，求出∠BAC的度数，求出∠B=∠ACB，根据三角形内角和定理求出即可．
本题考查了等腰三角形性质，三角形内角和定理，线段垂直平分线的应用，关键是求出∠BAC的度数和得出∠B=∠ACB.
12.【答案】(0,0)
【解析】解：依题意设P的坐标为(a,0)，
∵A(3,1)，B(1,−3)，
∴PA2=(a−3)2+(0−1)2，
PB2=(a−1)2+(0+3)2，
而PA=PB，
∴(a−3)2+(0−1)2=(a−1)2+(0+3)2，
∴a=0，
∴点P的坐标为(0,0).
依题意设P的坐标为(a,0)，然后利用两点间距离公式建立方程模型即可求解．
此题主要考查了两点间的距离公式，解题的关键是利用距离公式建立方程模型解决问题．
13.【答案】±6
【解析】解：∵直线y=3x+b与坐标轴围成的三角形面积是6，
∴b≠0.
①当b>0时，y=3x+b的图象如图1.
当x=0时，y=3×0+b=b，则B(0,b)，此时OB=b.
当y=0时，3x+b=0，故x=−b3，则A(−b3,0)，此时OA=b3.
∴S△AOB=12OA⋅OB=12⋅b3⋅b=b26=6.
∴b=6或b=−6(不合题意，故舍去).
②当b<0时，y=3x+b的图象如图2.
当x=0时，y=3×0+b=b，则B(0,b)，此时OB=−b.
当y=0时，3x+b=0，故x=−b3，则A(−b3,0)，此时OA=−b3.
∴S△AOB=12OA⋅OB=12⋅(−b3)⋅(−b)=6.
∴b=6(不合题意，故舍去)或b=−6.
综上：b=±6.
故答案为：±6.
由直线y=3x+b与坐标轴围成的三角形面积是6，得b≠0，则b>0或b<0，故需分这两种情况讨论．
本题主要考查一次函数图象上点的坐标的特征以及三角形面积，熟练掌握一次函数图象上点的坐标的特征以及三角形面积公式是解决本题的关键．
14.【答案】a<−13或−13【解析】解：x−1x−3+3−xx+1=3x+a(x−3)(x+1)，
去分母，得(x−1)(x+1)+(3−x)(x−3)=3x+a，
去括号、合并同类项，得3x=a+10，
等号两边同除以3，得x=a+103(x≠3,且x≠−1)，
∵x=3或x=−1是原分式方程的增根，
∴a≠−1，且a≠−13，
∵a+103<0，
∴a<−10，
∴a<−13或−13故答案为：a<−13或−13求出分式方程的解，根据增根的情况和解为负数，确定a的取值范围即可．
本题考查分式方程的解等，掌握解分式方程的步骤是本题的关键．
15.【答案】b>2
【解析】解：∵函数y=2x图象过一、三象限，而函数y=2−bx与y=2x图象没有交点，
∴函数y=2−bx在二、四象限，
∴2−b<0，即b>2，
故答案为：b>2.
根据反比例函数与一次函数图象的特征，得到2−b小于0，即可确定出b的范围．
此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握两函数的性质是解本题的关键．
16.【答案】3 2
【解析】解：∵△ABC中，∠BCA=90∘，AC=BC，
∴∠ABC=45∘，
∵△BCD是等边三角形，
∴∠ECB=60∘，
如图，过E作EF⊥BC于F，
∴∠CEF=30∘，∠FEB=45∘，
设CF=x，
∴EF= 3x，BF= 3x，
而BC=CF+BF=x+ 3x=3+ 3，
∴x= 3，
∴EF=BF= 3× 3=3，
∴BE=3 2.
故答案为：3 2.
首先根据已知条件可以分别得到∠ECB、∠EBC的度数，然后过E作EF⊥BC于F，设CF=x，接着利用∠ECB、∠EBC的度数建立方程即可求解．
此题分别考查了等边三角形、等腰直角三角形的性质，解题的关键是利用已知条件建立方程模型解决问题．
17.【答案】6 55
【解析】解：如图作BM⊥AC于M，连接PD.
∵∠ABC=90∘，AD=DC，AB=6，BC=3，
∴BD=AD=DC，AC= AB2+BC2=3 5，
∵12⋅AB⋅BC=12⋅AC⋅BM，
∴BM=6 55，
∴S△ABD=S△ADP+S△BDP，
∴12⋅AD⋅BM=12⋅AD⋅PF+12⋅BD⋅PE，
∴PE+PF=BM=6 55.
故答案为：6 55.
如图作BM⊥AC于M，连接PD，利用12⋅AB⋅BC=12⋅AC⋅BM求出BM，利用S△ABC=2(S△ADP+S△BDP)即可解决问题．
本题考查直角三角形斜边中线定理、勾股定理、三角形面积等知识，解题的关键是利用面积法求高，属于中考常考题型．
18.【答案】(2 2,0)
【解析】解：过P1作P1C⊥OA1，垂足为C，
∵点A1的坐标为(2,0)，
∴OA1=2，
∴△P1OA1为边长是2的等边三角形，
∴OC=1，P1C=2× 32= 3，
∴P1(1, 3).
代入y=kx，得k= 3，
∴反比例函数的解析式为y= 3x.
作P2D⊥A1A2，垂足为D.
设A1D=a，
则OD=2+a，P2D= 3a，
∴P2(2+a,a).
∵P2(2+a, 3a)在反比例函数的图象上，
∴代入y= 3x，得(2+a)⋅ 3a= 3，
化简得a2+2a−1=0，
解得：a=−1± 2.
∵a>0，
∴a=−1+ 2.
∴A1A2=−2+2 2，
∴OA2=OA1+A1A2=2 2，
∴点A2的坐标为(2 2,0).
故答案为：(2 2,0).
由于△P1OA1为等边三角形，作P1C⊥OA1，垂足为C，由等边三角形的性质及勾股定理可求出点P1的坐标，根据点P1是反比例函数图象上的一点，利用待定系数法求出此反比例函数的解析式；作P2D⊥A1A2，垂足为D.设A1D=a，由于△P2A1A2为等边三角形，由等边三角形的性质及勾股定理，可用含a的代数式分别表示点P2的横、纵坐标，再代入反比例函数的解析式中，求出a的值，进而得出A2点的坐标．
此题综合考查了反比例函数的性质，利用待定系数法求函数的解析式，正三角形的性质等多个知识点．此题难度稍大，综合性比较强，注意对各个知识点的灵活应用．
19.【答案】k≤−1或k≥3
【解析】解：如图，直线y=−kx−2与y轴交于点C(0,−2)，
①当−k>0时，此时直线y=−kx−2过一、三、四象限，
把B(4,2)代入y=−kx−2得，−4k−2=2，
化简得：−k=1，
若直线y=−kx−2与线段AB在第一象限内的部分有交点，则−k≥1，即k≤−1；
②当−k<0时，此时直线y=−kx−2过二、三、四象限，
把A(−2,4)代入y=−kx−2得，2k−2=4，
化简得：−k=−3，
若直线y=−kx−2与线段AB在第二象限内的部分有交点，则−k≤−3，即k≥3；
综上所述，当直线y=kx−2(k≠0)与线段AB有交点，则k的取值范围为k≤−1或k≥3.
故答案为：k≤−1或k≥3.
直线y=−kx−2的图象过定点C(0,−2)，分两种情况进行解答，即−k>0，−k<0；让直线y=−kx−2过点A、点B时相应的k的值，再根据与线段AB有交点，确定k的取值范围．
本题主要考查一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，理解直线y=−kx−2与线段AB有交点的意义是解决问题的关键．
20.【答案】7316或133
【解析】解：①将B沿EF折叠，B与AC的中点D重合，如图：
设CE=m，则BE=DE=8−m，
在Rt△CDE中，CE2+CD2=DE2，
∴m2+32=(8−m)2，
解得m=5516，
∴CE=5516，
∴DE=BE=8−5516=7316；
②将A沿EF折叠，A与BC的中点D重合，如图：
设CE=n，则AE=DE=6−n，
在Rt△CDE中，CE2+CD2=DE2，
∴n2+42=(6−n)2，
解得n=53，
∴CE=53，
∴DE=AD=6−53=133，
综上所述，DE的长是7316或133.
故答案为：7316或133.
分两种情况：①将B沿EF折叠，B与AC的中点D重合，②将A沿EF折叠，A与BC的中点D重合，用勾股定理列方程，分别算出CE的长度，即可得到答案．
本题考查直角三角形中的折叠问题，解题的关键是掌握折叠的性质，熟练应用勾股定理．
21.【答案】解：∵a=2，b=3，c=−1
∴b2−4ac=17>0
∴x=−3± 174
∴x1=−3+ 174，x2=−3− 174.
【解析】此题考查了公式法解一元二次方程，解题时要注意将方程化为一般形式，确定a，b，c的值，然后检验方程是否有解，若有解，代入公式即可求解．
解此题的关键是熟练应用求根公式，要注意将方程化为一般形式，确定a、b、c的值．
22.【答案】解：原方程可化为2(x−1x)2−7(x−1x)+6=0，
设x−1x=y，
则2y2−7y+6=0，
解得y1=2，y2=32，
当y=2时，x−1x=2，
整理得x2−2x−1=0，
解得x1=1+ 2，x2=1− 2，
当y=32时，x−1x=32，
整理得2x2−3x−2=0，
解得x3=2，x4=−12，
经检验，x1=1+ 2，x2=1− 2，x3=2，x4=−12都是原方程的解，
∴原方程的解是x1=1+ 2，x2=1− 2，x3=2，x4=−12.
【解析】先把原方程化为2(x−1x)2−7(x−1x)+6=0，设x−1x=y，得到2y2−7y+6=0，求出y的值，即可求出x的值．
本题考查了解分式方程，熟练掌握换元法是解题的关键．
23.【答案】解：原方程去分母得：2x2−(m+1)=(x+1)2，
去括号得：2x2−m−1=x2+2x+1，
移项得：2x2−x2−2x=1+1+m，
合并同类项得：x2−2x=m+2，
∴x2−2x+1=m+3，
∴(x−1)2=m+3，
∴当m<−3时，原方程无解；
当m≥−3时，x=1± m+3，
当x=0时，则m+3=1，解得m=−2，
当m=−2时，解得x=2或x=0(舍去)，
当x=−1时，则m+3=4，解得m=1，
当m=1时，解得x=3或x=−1(舍去)，
综上所述，当m<−3时，原方程无解，当m≥−3时，原方程的解为x=1± m+3且x≠0且x≠−1.
【解析】利用解分式方程的步骤解方程即可．
本题考查解含参分式方程．
24.【答案】解：(1)∵点A(m,6m)在反比例函数y=6mx的图象上，
∴6m=6mm，
∴m=1，
∴A点的坐标为(1,6)，代入一次函数y=kx+9得，
k+9=6，
∴k=−3，
∴一次函数的解析式为：y=−3x+9.
(2)由题意得，y=6xy=−3x+9，
解得x1=1y1=6，x2=2y2=3，
∴另一交点B的坐标为：(2,3).
∵kx+9>6mx，
∴由图象可知：x的取值范围为x<0或2【解析】(1)将点A的坐标代入反比例函数y=6mx解析式可求m的值；再将点A的坐标代入一次函数的解析式可求得k的值．
(2)根据图象，结合点A和点B的坐标，即可得到答案．
本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，熟练运用图象上的点的坐标满足图象的解析式是本题的关键．
25.【答案】解：证明：(1)AD⊥BD，∠ABC=45∘，
∴AD=BD，
∵∠BFD=∠AFE，∠AFE+∠CAD=90∘，∠CAD+∠ACD=90∘，
∴∠BFD=∠ACD，
在Rt△BDF和Rt△ADC中，
∠BFD=∠ACD∠BDF=∠ADC=90∘BD=AD，
∴Rt△BDF≌Rt△ACD(AAS)，
∴BF=AC，
∵G为BF的中点．
∴DG=12BF，
∵AB=CB，BE⊥AC，
∴E为AC的中点．
∴DE=12AC，
∴DG=DE；
(2)由(1)知：∠DBG=∠DAE，BG=12BF，AE=12AC，BF=AC，
∴BG=AE，
在△BDG和△ADE中，
BD=AD∠DBG=∠DAEBG=AE，
∴△BDG≌△ADE(SAS)，
∴∠BDG=∠ADE，
∴∠DGE=∠DBG+∠BDG，
∵∠DEC=∠DAE+∠ADE，
∴∠DGE=∠DEC，
∵DG=DE，
∴∠DGE=∠DEG，
∴∠DEG=∠DEC.
【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△BDG≌△ADE.
(1)根据等腰直角三角形的性质证明△BDF≌△ACD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DG=12BF，进而可以解决问题；
(2)由(1)得∠DBG=∠DAE，BG=12BF，AE=12AC，BF=AC，然后证明△BDG≌△ADE，进而根据三角形内角和定理即可解决问题．
26.【答案】解：(1)由题意列方程组50k+b=16065k+b=100，
解得：k=−4b=360.
则y与x的函数解析式是y=−4x+360(40≤x≤90).
(2)由题意，得(x−40)y=2400.
代入，得(x−40)(−4x+360)=2400.
解得x1=60，x2=70.
答：销售单价应定为每公斤60元或70元．
【解析】(1)利用待定系数法确定函数解析式；根据函数图象确定定义域；
(2)根据利润=实际售价-进价求得答案．
本题考查了二元一次方程组的应用和一次函数的应用．解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组．
27.【答案】解：(1)∵AB=3，
∴点A的纵坐标为3，
∵正比例函数y= 3x的图象经过点A，
当y=3时，x= 3，
∴A 3,3，
设反比例函数的解析式为y=kx(k≠0)，
将点A 3,3代入得k=3 3，
∴反比例函数的解析式为：y=3 3x；
(2)∵AB⊥x轴于点B，设点C的坐标为( 3,y)，
在Rt△ABO中，OB= 3，AB=3，由勾股定理得：OA= 32+( 3)2=2 3，
∵OB=12OA，
∴∠OAB=30∘，
过点C作CG⊥OA于点G，
由题意得CB=CG，
当点C在线段AB上时，
则OC平分∠AOB，
∴∠BOC=30∘，
∴BC= 33OB=1，
∴C( 3 ,1)，
当点C在AB延长线上时，
同理可得C′( 3 ,−3)，
综上所述：C( 3 ,1)或( 3 ,−3)；
(3)P( 3,3−2 3)或( 3,3+2 3)或( 3 ,−3)或( 3 ,1).
【解析】【分析】
本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，含30∘角的直角三角形的性质，角平分线的性质和判定，等腰三角形的性质等知识，运用分类讨论思想是解题的关键．
(1)将y=3代入y= 3x，得x= 3，可得A( 3,3)，再将点A代入反比例函数的解析式为y=kx，即可得出答案；
(2)根据点A的坐标，可知∠OAB=30∘，过点C作CG⊥OA于G，由题意得CB=CG，分点C在AB上或AB的延长线上，分别根据含30∘角的直角三角形的性质可得答案；
(3)由OA=2 3，分AO=AP，OA=OP，PA=PO三种情形，分别得出答案．
【解答】
解：(1)见答案；
(2)见答案；
(3)当AO=AP=2 3时，则P( 3,3−2 3)或( 3,3+2 3)，
当OA=OP时，由OB⊥AP得，AB=BP，
∴P( 3 ,−3)，
当PA=PO时，
∴∠OAP=∠POA=30∘，
则OP平分∠AOB，
∴P( 3 ,1)，
综上所述：P( 3,3−2 3)或( 3,3+2 3)或( 3 ,−3)或( 3 ,1).
28.【答案】解：(1)∵DG⊥AB，
∴∠BDC=90∘，
∵∠B=60∘，BC=6，
∴∠BCD=90∘−∠B=30∘，
∴BD=12BC=3，
∴CD= BC2−BD2= 62−32=3 3，
∵BE=BD=3，
∴CE=BC−BE=3，
∴BE=CE，
∴△DCE的面积=12△BCD的面积=12×12BD×CD=14×3×3 3=9 34；
(2)∵DG⊥AB，
∴∠BDG=90∘，
∵∠B=60∘，
∴∠G=90∘−∠B=30∘，
∴BG=2BD=2x，
∵∠ACB=90∘，
∴∠GCF=180∘−∠ACB=90∘，
∴FG=2CF=2y，
∴CG= FG2−CF2= (2y)2−y2= 3y，
∴BG=BC+CG=6+ 3y，
∴6+ 3y=2x，
∴y=2 33x−2 3，
∵点G在BC的延长线上，
∴点G不与点C重合，
∴x>3，
∵点E是边BC上的一个动点，BE=BD=x，
∴x≤6，
∴3即y关于x的解析式为y=2 33x−2 3(3(3)分两种情况：
①当∠DFE=90∘时，如图3所示：
则EF⊥DG，
∵DG⊥AB，
∴EF//AB，
∴∠FEC=∠B=60∘，
∵∠ACB=90∘，
∴∠EFC=90∘−∠FEC=30∘，
∴EF=2CE，
∵BE=BD=x，
∴CE=BC−BE=6−x，
∴EF=2CE=2(6−x)=12−6x，
∴CF= EF2−CE2= (12−6x)2−(6−x)2= 3(6−x)，
由(2)得：CF=y=2 33x−2 3，
∴2 33x−2 3= 3(6−x)，
解得：x=245；
②当∠DEF=90∘时，如图4所示：
∵BD=BE=x，∠B=60∘，
∴△BDE是等边三角形，
∴∠BED=60∘，
∴∠FEC=180∘−∠DEF−∠BED=180∘−90∘−60∘=30∘，
∵∠ACB=90∘，
∴EF=2CF，
∴CE= EF2−CF2= (2CF)2−CF2= 3CF，
∴6−x= 3(2 33x−2 3)，
解得：x=4；
综上所述，若△DEF为直角三角形，x的值为245或4.
【解析】(1)由含30∘角的直角三角形的性质得BD=12BC=3，再由勾股定理得CD=3 3，然后再证BE=CE，最后由三角形面积关系即可得出答案；
(2)由含30∘角的直角三角形的性质得BG=2BD=2x，FG=2CF=2y，再由勾股定理得CG= 3y，然后由BG=BC+CG得6+ 3y=2x，则y=2 33x−2 3，求出x的范围即可；
(3)分两种情况：①当∠DFE=90∘时，②当∠DEF=90∘时，由含30∘角的直角三角形的性质好勾股定理分别得出方程，解方程即可．
本题是三角形综合题目，考查了勾股定理、直角三角形的性质、含30∘角的直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形面积以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握含30∘角的直角三角形的性质和勾股定理，进行分类讨论是解题的关键，属于中考常考题型．