2025年重庆市两江新区初三中考数学适应性试卷-指标到校（含答案解析）

这是一份2025年重庆市两江新区初三中考数学适应性试卷-指标到校（含答案解析），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）﹣3的倒数是（ ）
A．3B．﹣3C．D．
2．（4分）三星堆遗址的发现让世界为之瞩目，下列三星堆文物图案中，是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（4分）二次根式中，x的取值范围是（ ）
A．x≥1B．x＞1C．x≤1D．x＜1
4．（4分）2025年春节期间重庆累计接待国内游客约33160000人次，比2024年大幅增加．数据33160000用科学记数法表示为（ ）
A．0.3316×108B．33.16×106
C．3.316×107D．3.316×108
5．（4分）不等关系在生活中广泛存在．如图，a、b分别表示两位同学的身高，c表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（ ）
A．若a＞b，则a+c＞b+cB．若a＞b，b＞c，则a＞c
C．若a＞b，c＞0，则ac＞bcD．若a＞b，c＞0，则＞
6．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．3x5﹣2x4＝xB．y8÷y2＝y4
C．﹣2（a4）3＝﹣2a12D．（y+3）2＝y2+9
7．（4分）估计的值（ ）
A．在2和3之间B．在3和4之间
C．在4和5之间D．在5和6之间
8．（4分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，∠A＝120°，AB＝6，AD＝4，E为AB的中点，分别以A，B为圆心，以EA，EB为半径画弧，交AD于F，交BC于G，再分别以D，C为圆心，以DF，CG为半径画弧，交DC于H，I，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．5πD．
9．（4分）如图，已知四边形ABCD是正方形，，以AD为斜边在右侧作直角△ADE，使得∠AED＝90°且，连接CE，BD交于点F，则EF的长度为（ ）
A．B．C．D．
10．（4分）已知整式M＝anxn+an﹣1xn﹣1+…+a1x+a0，其中n为正整数，an，…，a1，a0为整数且an≠0，n+|an|+|an﹣1|+…+|a1|+|a0|＝5．下列说法中：
①满足条件的整式M中有8个单项式；
②不存在任何一个n，使得满足条件的整式M有且只有12个；
③满足条件的整式M共有62个．
其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上。
11．（4分）计算：＝ ．
12．（4分）为了领略古都魅力，感受中华文明的历史沉淀，鹏鹏和小海准备五一节在西安，洛阳，开封和杭州四个古都城市中各自随机选择一个进行游玩（假设两人选择每个城市的机会均等），则二人恰好选择同一城市的概率为 ．
13．（4分）如图，将矩形OABC绕点O旋转，得到矩形OA'B'C'，A'B'恰好经过点C，连接CC'，若∠AOA'＝24°，则∠CC'B'的度数为 °．
14．（4分）已知a是方程x2﹣5x+1＝0的一个根，则＝ ．
15．（4分）如图，四边形ABCD的外接圆⊙O的半径为10，对角线AC，BD相交于点E，延长AB，DC相交于点G，连接OC交BD于点F，过O作OH⊥AB于点H，若∠CBG：∠OCD＝3：2，AD＝BD＝6，则OH＝ ，EF＝ ．
16．（4分）若一个四位自然数M满足各个数位上的数字互不相同且均不为0，且千位数字与百位数字之和比十位数字与个位数字之和大k（k为正整数），则称M为“差k数”，以M的千位数字和百位数字分别作为两位数A的十位数字和个位数字，以M的十位数字和个位数字分别作为两位数B的十位数字和个位数字，记F（M）＝A﹣B．则最小的“差1数”为 ；若“差k数”N＝1000a+100b+10c+1034（0≤a≤8，1≤b≤9，﹣2≤c≤6，a，b，c为整数）满足F（N）+2能被9整除，且N能被13整除，则满足条件的N的最大值为 ．
三、解答题：（本大题共8个小题，第17题（1）6分，第17题（2）10分，其余每小题16分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将答题过程书写在答题卡中对应位置上。
17．（16分）（1）化简：（2x﹣y）2﹣4x（x﹣y+1）；
（2）先化简，再求值：，其中a是方程x2﹣2x﹣6＝0的解．
18．（10分）小红在解决“如图，将边长为4的正方形纸片ABCD折叠，使得点A落在边CD的中点E处，折痕为MN，点M、N分别在边AD、BC上，求折痕MN的长度”这一道数学题后，她发现AE＝MN，进一步研究发现点A落在边CD上任一点E处均有AE＝MN．其解决思路是简化条件利用矩形的性质和全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图和填空：
（1）如图，在正方形ABCD中，将四边形ABNM沿着MN翻折使得A落在CD上任一点E处，连接AE，则AE＝MN．用尺规过点M作MH⊥BC于点H（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）已知：正方形ABCD中，AE⊥MN于点G，MH⊥BC．求证：AE＝MN．
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠C＝90°， ，
∵MH⊥BC，
∴∠MHN＝∠MHC＝90°，
∴∠D＝∠C＝∠MHC＝90°，
∴ ，
∴MH＝CD，
∴ ，
∵AE⊥MN，
∴∠EGN＝90°，
∴∠GNC+∠AEC＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
又∵∠AED+∠AEC＝180°，
∴∠MNH＝∠AED，
∴△MNH≌ （AAS），
∴AE＝MN．
此外，她还发现，两条互相垂直的直线，其中一条直线与正方形的一组对边所在的直线相交所得的线段和另一条直线与正方形的另一组对边所在的直线相交所得的线段的数量关系为 ．
19．（10分）青少年的心理健康问题备受关注．今年政府工作报告也提出，“普及心理健康教育”“让年轻一代在运动中强意志、健身心”“健全社会心理服务体系和危机干预机制”．某校组织了一场心理健康知识竞赛，现从该校高一、高二参与知识竞赛的学生中各随机选出20名学生的成绩（百分制，单位：分）进行整理、描述和分析，成绩得分用x表示，共分成四组：
A.95≤x≤100；B.90≤x＜95；C.85≤x＜90；D.80≤x＜85．下面给出了部分信息：
高一年级20名学生的成绩是：81，81，84，85，86，87，89，91，94，94，94，94，95，98，99，100，100，100，100，100．
高二年级20名学生的成绩在B组中的数据是：92，94，94，93，93，90．
高一、高二年级抽取的学生成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ，m＝ ；
（2）根据以上数据．你认为此次竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（写一条理由即可）；
（3）已知该校高一年级有900名学生参赛，高二年级有800名学生参赛，请估计两个年级参赛学生中得分不低于95分的共有多少人？
20．（10分）小王来到“8D魔幻城市”一重庆出差，顺便打卡了各大网红景点，品尝了各种美食，深深地爱上了重庆火锅，于是他准备在返程时购买一些火锅底料．经比较，小王准备购买A，B两款火锅底料，在某商店了解价格时，小王发现每袋B款火锅底料的标价比每袋A款火锅底料的标价多4元，若只购买一款火锅底料，则用400元购买A款火锅底料的袋数与用500元购买B款火锅底料的袋数相同．
（1）求每袋A款火锅底料和每袋B款火锅底料的标价分别为多少元．
（2）小王原计划购买10袋A款火锅底料和10袋B款火锅底料．在购买时，该商店正好开始周年庆活动，两款火锅底料均有优惠．其中A款火锅底料在标价的基础上每袋降价元，B款火锅底料在标价的基础上每袋打六折，于是小王决定多买一些火锅底料送给亲朋好友品尝．最终小王比原计划多购买了2a袋A款火锅底料和a袋B款火锅底料，付款时，他发现自己购买的所有A款火锅底料比所有B款火锅底料多花费40元，求a的值．
21．（10分）如图，已知四边形ABCD是菱形，连接AC，BD相交于O点，AC＝6，BD＝8，点P，点Q同时从点B出发，都以每秒1个单位长度的速度运动，点P的运动路径为B→A→O，点Q的运动路径为B→D，当点P到达O点时，P，Q两点同时停止运动，设点P、Q的运动时间为x，△BPO的面积为y1，△ABO的面积与△BCQ的面积比为y2．
（1）直接写出y1、y2分别关于x的函数表达式及自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数y1，y2的图象，并写出函数y1的一条性质；
（3）结合函数图象，请直接写出y1≤y2时，自变量x的取值范围（结果保留1位小数，误差不超过0.2）．
22．（10分）小明家附近的公园里有一座人工湖，可以租自行车在如图所示的环湖公路上骑行，也可以租船游玩．其中A处为自行车租车点，位于A正北方向的D处为租船处，在A的北偏西60°方向850米处有一个休息点B，在D的西北方向米处有一个美食区C，美食区C恰好在休息点B的北偏东30°方向上．（参考数据：，，≈2.45）
（1）求休息点B和美食区C之间的距离；（结果保留根号）
（2）一天，小明的妈妈带着小明和小明的弟弟来到湖边游玩，他们准备先到自行车租车点A租一辆双人自行车，由小明带着弟弟沿着A→B→C→D的路线骑行，妈妈则从A处出发直接向北步行到达租船处D，在D处会和后再租船游玩．已知小明和弟弟骑车的速度是250米/分，妈妈步行的速度是90米/分，通过计算说明，小明和妈妈谁先到达租船处D．（结果精确到0.1）
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于点A（2，0），点B（﹣8，0），交y轴于点C，连接BC，过点A作AD∥CB，交抛物线于点D．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点P是直线BC上方抛物线上一点，过点P作PE∥y轴交直线BC于点E，交直线AD于点F，过点P作 PG⊥PF交BC于G．当PF取最大值时，将线段EF沿直线DA平移，求平移过程中OE+FG的最小值；
（3）如图2，将原抛物线沿射线BC方向平移使得新抛物线y'经过线段BC的中点，Q为x轴上的一点，连接CQ，将射线QC绕着点Q旋转90°后与x轴上方新抛物线y′交于点K，且满足CQ＝QK，请写出所有符合条件的点K的坐标，并写出求解其中一个点K坐标的过程．
24．（10分）在等边三角形ABC中，AB＝6，D为边BC一点，连接AD，E为AD上一点，连接EC．
（1）如图1，DE＝DC，连接BE，若BE恰好平分∠ABC，求∠AEB的度数；
（2）如图2，E为AD中点，将DC绕C旋转至CF，在CB延长线上有一点G，连接GF交AB于点H，若∠AHF＝∠ACF＝∠ECD，试探究AB、GF、CF之间的数量关系；
（3）如图3，若D为直线BC上一点，F为AC中点，连接FD，将△AFD沿着FD翻折至原平面内的△PFD，点Q在线段PF上且满足FQ＝2PQ，连接BP、CQ，当BP+CQ最小时，请直接写出S△BPC的值．
2025年重庆市两江新区中考数学适应性试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.
1．（4分）﹣3的倒数是（ ）
A．3B．﹣3C．D．
【答案】D．
【解答】解：﹣3的倒数是﹣．
故选：D．
2．（4分）三星堆遗址的发现让世界为之瞩目，下列三星堆文物图案中，是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解答】解：A、图形不是中心对称图形，不符合题意；
B、图形不是中心对称图形，不符合题意；
C、图形是中心对称图形，符合题意；
D、图形不是中心对称图形，不符合题意，
故选：C．
3．（4分）二次根式中，x的取值范围是（ ）
A．x≥1B．x＞1C．x≤1D．x＜1
【答案】A
【解答】解：由题意可知：x﹣1≥0，
∴x≥1，
故选：A．
4．（4分）2025年春节期间重庆累计接待国内游客约33160000人次，比2024年大幅增加．数据33160000用科学记数法表示为（ ）
A．0.3316×108B．33.16×106
C．3.316×107D．3.316×108
【答案】C．
【解答】解：33160000＝3.316×107．
故选：C．
5．（4分）不等关系在生活中广泛存在．如图，a、b分别表示两位同学的身高，c表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（ ）
A．若a＞b，则a+c＞b+cB．若a＞b，b＞c，则a＞c
C．若a＞b，c＞0，则ac＞bcD．若a＞b，c＞0，则＞
【答案】A
【解答】解：由题意得，a＞b，
∴a+c＞b+c，
∴图中两人的对话体现的数学原理是若a＞b，则a+c＞b+c．
故选：A．
6．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．3x5﹣2x4＝xB．y8÷y2＝y4
C．﹣2（a4）3＝﹣2a12D．（y+3）2＝y2+9
【答案】C
【解答】解：∵3x5与2x4不是同类项，不能合并，
∴A错误，不符合题意；
∵根据同底数幂的除法法则，同底数幂相除，底数不变，指数相减，得y8÷y2＝y8﹣2＝y6≠y4，
∴B错误，不符合题意；
∵根据幂的乘方法则，幂的乘方，底数不变，指数相乘，得﹣2（a4）3＝﹣2a4×3＝﹣2a12，等式成立，
∴C正确，符合题意；
∵根据完全平方公式，得（y+3）2＝y2+6y+9≠y2+9，
∴D错误，不符合题意；
故选：C．
7．（4分）估计的值（ ）
A．在2和3之间B．在3和4之间
C．在4和5之间D．在5和6之间
【答案】B
【解答】解：∵1.42＝1.96，1.52＝2.25，且1.96＜2＜2.25，
∴，
∴，
三边同减1，可得 ，
∴的值在3和4之间．
故选：B．
8．（4分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，∠A＝120°，AB＝6，AD＝4，E为AB的中点，分别以A，B为圆心，以EA，EB为半径画弧，交AD于F，交BC于G，再分别以D，C为圆心，以DF，CG为半径画弧，交DC于H，I，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．5πD．
【答案】D
【解答】解：过点A作AK⊥CD，交CD于点K，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝4，CD＝AB＝6，∠C＝∠A＝120°，∠B＝∠D，AB∥CD，
∴∠D＝180°﹣∠A＝180°﹣120°＝60°，
∴∠B＝∠D＝60°．
在Rt△ADK中，，
∴．
∵点E是AB的中点，
∴，
∴AF＝AE＝BG＝BE＝3，
∴DF＝AD﹣AF＝4﹣3＝1，CG＝BC﹣BG＝1，
∴S阴影＝S四边形ABCD﹣S扇形AEF﹣S扇形BEG﹣S扇形DFH﹣S扇形CGI＝＝，
故选：D．
9．（4分）如图，已知四边形ABCD是正方形，，以AD为斜边在右侧作直角△ADE，使得∠AED＝90°且，连接CE，BD交于点F，则EF的长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解答】解：以CD边所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，点D为原点建立平面直角坐标系，如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∴，，D（0，0），
∵，
∴设AE＝x，则DE＝3x，
在直角三角形ADE中，∠AED＝90°，
由勾股定理得：AE2+DE2＝AD2，即，
解得：x＝1，
∴AE＝1，DE＝3，
过点E作EG⊥AD于点G，
∵，
∴，
在直角三角形DEG中，由勾股定理得：，
∴，
设直线CE的解析式为y＝kx+b，将点C，点E的坐标分别代入得：
，
解得：，
∴直线CE的解析式为，
同理可求，直线BD的解析式为y＝x，
联立得：，
解得：，
∴，
∴，
故选：B．
10．（4分）已知整式M＝anxn+an﹣1xn﹣1+…+a1x+a0，其中n为正整数，an，…，a1，a0为整数且an≠0，n+|an|+|an﹣1|+…+|a1|+|a0|＝5．下列说法中：
①满足条件的整式M中有8个单项式；
②不存在任何一个n，使得满足条件的整式M有且只有12个；
③满足条件的整式M共有62个．
其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解答】解：∵n为正整数，an≠0，
∴|an|≥1，
∵n+|an|+|an﹣1|+⋯+|a0|＝5，
∴1≤n≤4．
分类计算如下．
当n＝4时：
∵4+|a4|+|a3|+|a2|+|a1|+|a0|＝5，
∴|a4|＝1，其余系数为a3＝a2＝a1＝a0＝0，
a4＝±1，共2个整式，±x4均为单项式，单项式共2个；
当n＝3时，|a3|+|a2|+|a1|+|a0|＝2．
∴（a3，a2，a1，a0）＝（±2，0，0，0），（±1，±1，0，0），（±1，0，±1，0），（±1，0，0，±1），
符合条件的整式有：±2x3，±x3±x2，±x3±x，±x3±1；共2个单项式；
总整式个数为14个．
当n＝2时：
∵2+|a2|+|a1|+|a0|＝5，
∴（a2，a1，a0）＝（±3，0，0），（±2，±1，0），（±2，0，±1），（±1，±2，0），（±1，0，±2），（±1，±1，±1），
符合条件的整式有：±3x2，±2x2±x，±2x2±1，±x2±2x，±x2±2，±x2±x±1，共2个单项式；
总整式个数：2+16+8＝26（个）．
当n＝1时：
∵1+|a1|+|a0|＝5，
∴|a1|+|a0|＝4．
（a1，a0）＝（±4，0），（±3，±1），（±1，±3），（±2，±2），
∴符合条件的整式有：±4x，±3x±1，±x±3，±2x±2，共2个单项式；
总整式个数为2+12＝14（个）．
判断说法：
①符合条件的单项式共8个，故①说法正确；
②各n对应的整式个数为2，14，26，14，不存在n使得整式有且只有12个，故②说法正确；
③总整式个数：2+14+26+14＝56≠62，故③说法错误．
综上，正确的说法有2个．
故选：C．
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上。
11．（4分）计算：＝ 2 ．
【答案】2．
【解答】解：原式＝3﹣1＝2．
故答案为：2．
12．（4分）为了领略古都魅力，感受中华文明的历史沉淀，鹏鹏和小海准备五一节在西安，洛阳，开封和杭州四个古都城市中各自随机选择一个进行游玩（假设两人选择每个城市的机会均等），则二人恰好选择同一城市的概率为 ．
【答案】．
【解答】解：把西安，洛阳，开封和杭州四个古都城市分别记为A、B、C、D，
画树状图如下：
由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中鹏鹏和小海二人恰好选择同一城市的结果有4种，
∴二人恰好选择同一城市的概率为，
故答案为：．
13．（4分）如图，将矩形OABC绕点O旋转，得到矩形OA'B'C'，A'B'恰好经过点C，连接CC'，若∠AOA'＝24°，则∠CC'B'的度数为 12 °．
【答案】12．
【解答】解：∵将矩形OABC绕点O旋转，得到矩形OA′B′C′，∠AOA′＝24°，
∴OC＝OC′，∠COC′＝∠AOA′＝24°，∠OC′B′＝90°，
∴，
∴∠CC′B′＝∠OC′B′﹣∠OC′C＝12°，
故答案为：12．
14．（4分）已知a是方程x2﹣5x+1＝0的一个根，则＝ ．
【答案】．
【解答】解：由条件可知a2﹣5a+1＝0．
∴a2+1＝5a，a2﹣5a＝﹣1，
∵，
∴．
故答案为：．
15．（4分）如图，四边形ABCD的外接圆⊙O的半径为10，对角线AC，BD相交于点E，延长AB，DC相交于点G，连接OC交BD于点F，过O作OH⊥AB于点H，若∠CBG：∠OCD＝3：2，AD＝BD＝6，则OH＝ 8 ，EF＝ ．
【答案】8，．
【解答】解：，四边形ABCD的外接圆⊙O的半径为10，对角线AC，BD相交于点E，延长AB，DC相交于点G，连接OC交BD于点F，过O作OH⊥AB于点H，
连接DO，如下图，
∵，OH⊥AB，
∴点O在DH上，
∴∠ADH＝∠BDH，
∵DO＝CO，
∴∠ODC＝∠OCD，
由题意可得：
∴∠CBG＝∠ADC，
∵∠CBG：∠OCD＝3：2，
∴设∠OCD＝2α，则∠ODC＝2α，∠ADC＝∠CBG＝3α，
∴∠ADH＝α，
∴∠BDH＝α，
∴∠GDB＝∠CDO﹣∠BDH＝2α﹣α＝α，
∴∠BAC＝∠BDC＝∠ADH＝∠BDH＝α；
过点O作OP⊥AD于点P，
∴，
又∵OD＝10，
∴，
∴，
∴，即，
∴AH＝6，
∴AB＝2AH＝12，
由勾股定理得：，
∵OD＝10，
∴OH＝DH﹣OD＝18﹣10＝8；
设OH与AC交于点R，则，
∴，
∴；
∵∠HAR＝∠EDR＝α，∠ARH＝∠DRE，
∴∠DER＝∠AHR＝90°，即∠DER＝∠DEC＝90°，
又∵∠CDE＝∠RDE＝α，DE＝DE，
∴△DRE≌△DCE（ASA），
∴RE＝CE，
在Rt△ABE中，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
过点O作OQ⊥AC于点Q，则∠OQR＝∠AHR＝90°，
又∵∠ORQ＝∠ARH，
∴∠ROQ＝∠HAR，
∵OH＝8，HR＝2，
∴OR＝8﹣2＝6，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵FE⊥RC，OQ⊥RC，
∴FE∥OQ，
∴△CFE∽△COQ，
∴，
∴，
∴．
16．（4分）若一个四位自然数M满足各个数位上的数字互不相同且均不为0，且千位数字与百位数字之和比十位数字与个位数字之和大k（k为正整数），则称M为“差k数”，以M的千位数字和百位数字分别作为两位数A的十位数字和个位数字，以M的十位数字和个位数字分别作为两位数B的十位数字和个位数字，记F（M）＝A﹣B．则最小的“差1数”为 1523 ；若“差k数”N＝1000a+100b+10c+1034（0≤a≤8，1≤b≤9，﹣2≤c≤6，a，b，c为整数）满足F（N）+2能被9整除，且N能被13整除，则满足条件的N的最大值为 7514 ．
【答案】1523，7514．
【解答】解：设，
当k＝1时，则有e+f﹣（g+h）＝1，
∴e+f＝g+h+1，
∵1≤e≤9，1≤f≤9，1≤g≤9，1≤h≤9，且e，f，g，h互不相等，
∴e取1，
此时分情况讨论如下：
当f＝2时，则e+f＝1+2＝3＝g+h+1，
∴g+h＝2，
而g，h≥1且互不相等，则g，h的值不存在，
当f＝3时，则e+f＝1+3＝4＝g+h+1，
∴g+h＝3，
由于e＝1已取，则g，h的值不存在，
当f＝4时，则e+f＝1+4＝5＝g+h+1，
∴g+h＝4，
由于e＝1已取且g，h互不相等，则g，h的值不存在，
当f＝5时，则e+f＝1+5＝6＝g+h+1，
∴g+h＝5，
∴g，h可取2，3或3，2，
∵g，h的值依次最小，
∴g＝2，h＝3，
∴最小的“差1数”为1523；
由条件可知N＝1000a+100b+10c+1000+30+4＝1000（a+1）+100b+10（c+3）+4，
∴N的各位数是：千位为a+1，百位为b，十位为c+3，个位为4，
由“差k数”的定义知，（a+1）+b＝（c+3）+4+k，
∴a+b﹣c﹣k＝6（k是正整数），
由题意知，，
∴F（N）＝[10（a+1）+b]﹣[10（c+3）+4]＝10a+10+b﹣10c﹣30﹣4＝10a+b﹣10c﹣24，
∴F（N）+2＝10a+b﹣10c﹣24+2＝10a+b﹣10c﹣22，
∵F（N）+2能被9整除，且N能被13整除，
∴10a+b﹣10c﹣22＝a+b﹣c+9（a﹣c﹣2）﹣4，1000a+100b+10c+1034＝13（76a+7b+79）+12a+9b+10c+7，
即a+b﹣c﹣4能被9整除，12a+9b+10c+7能被13整除，
∵a+b﹣c﹣k＝6，
∴a+b﹣c＝6+k，
∴a+b﹣c﹣4＝k+2能被9整除，
∴k+2可能取0，9，18，⋯，
当k+2＝0时，k＝﹣2不符合题意，
当k+2＝9时，k＝7，此时a+b﹣c＝13，若a取最大值9，则有b﹣c＝4，满足1≤b≤9，﹣2≤c≤6内取数，
当k+2＝18时，k＝16，此时a+b﹣c＝22，若a取最大值9，则有b﹣c＝13，不满足1≤b≤9，﹣2≤c≤6内取数，
∴k有唯一解为7，即N为“差7数”，
∵N的千位数a+1最大为9，
∴a的最大值为8，
要使N有最大值，此时分情况讨论：
①当a＝8时，则b﹣c＝5，通过枚举发现不存在相应的b，c值满足12a+9b+10c+7能被13整除；
②当a＝7时，则b﹣c＝6，通过枚举发现不存在相应的b，c值满足12a+9b+10c+7能被13整除；
③当a＝6时，则b﹣c＝7，通过枚举发现当b＝5，c＝﹣2时，12a+9b+10c+7＝72+45﹣20+7＝104，
∴104能被13整除得8，
∴a＝6，b＝5，c＝﹣2，
则N的各位数是：千位为a+1＝7，百位为b＝5，十位为c+3＝1，个位为4，
∴N的最大值为7514，
综上所述，最小的“差1数”为1523，N的最大值为7514．
故答案为：1523，7514．
三、解答题：（本大题共8个小题，第17题（1）6分，第17题（2）10分，其余每小题16分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将答题过程书写在答题卡中对应位置上。
17．（16分）（1）化简：（2x﹣y）2﹣4x（x﹣y+1）；
（2）先化简，再求值：，其中a是方程x2﹣2x﹣6＝0的解．
【答案】（1）y2﹣4x；
（2），2．
【解答】解：（1）原式＝4x2﹣4xy+y2﹣4x2+4xy﹣4x
＝y2﹣4x；
（2）原式＝•
＝•
＝•
＝
＝，
∵a是方程x2﹣2x﹣6＝0的解，
∴a2﹣2a﹣6＝0，
∴a2﹣2a＝6，
∴原式＝．
18．（10分）小红在解决“如图，将边长为4的正方形纸片ABCD折叠，使得点A落在边CD的中点E处，折痕为MN，点M、N分别在边AD、BC上，求折痕MN的长度”这一道数学题后，她发现AE＝MN，进一步研究发现点A落在边CD上任一点E处均有AE＝MN．其解决思路是简化条件利用矩形的性质和全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图和填空：
（1）如图，在正方形ABCD中，将四边形ABNM沿着MN翻折使得A落在CD上任一点E处，连接AE，则AE＝MN．用尺规过点M作MH⊥BC于点H（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）已知：正方形ABCD中，AE⊥MN于点G，MH⊥BC．求证：AE＝MN．
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠C＝90°，AD＝CD ，
∵MH⊥BC，
∴∠MHN＝∠MHC＝90°，
∴∠D＝∠C＝∠MHC＝90°，
∴ 四边形CDMH是矩形 ，
∴MH＝CD，
∴MH＝AD ，
∵AE⊥MN，
∴∠EGN＝90°，
∴∠GNC+∠AEC＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
又∵∠AED+∠AEC＝180°，
∴∠MNH＝∠AED，
∴△MNH≌ △AED （AAS），
∴AE＝MN．
此外，她还发现，两条互相垂直的直线，其中一条直线与正方形的一组对边所在的直线相交所得的线段和另一条直线与正方形的另一组对边所在的直线相交所得的线段的数量关系为 相等 ．
【答案】（1）如图，MH即为求；
；
（2）AD＝CD；
四边形CDMH是矩形；
MH＝AD；
△AED；
相等．
【解答】解：（1）如图，MH即为求；
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠C＝90°，AD＝CD．
∵MH⊥BC，
∴∠MHN＝∠MHC＝90°．
∴∠D＝∠C＝∠MHC＝90°，
∴四边形CDMH是矩形．
∴MH＝CD，
∴MH＝AD．
∵AE⊥MN，
∴∠EGN＝90°，
∴∠GNC+∠AEC＝360°﹣90°﹣90°＝180°．
又∵∠AED+∠AEC＝180°，
∴∠MNH＝∠AED，
在△MNH和△AED中：
，
∴△MNH≌△AED（AAS）．
∴AE＝MN．
此外，她还发现，两条互相垂直的直线，其中一条直线与正方形的一组对边所在的直线相交所得的线段和另一条直线与正方形的另一组对边所在的直线相交所得的线段，如图所示：
同理可证明E1F1＝M1N1，
因此，两条线段的数量关系为相等．
19．（10分）青少年的心理健康问题备受关注．今年政府工作报告也提出，“普及心理健康教育”“让年轻一代在运动中强意志、健身心”“健全社会心理服务体系和危机干预机制”．某校组织了一场心理健康知识竞赛，现从该校高一、高二参与知识竞赛的学生中各随机选出20名学生的成绩（百分制，单位：分）进行整理、描述和分析，成绩得分用x表示，共分成四组：
A.95≤x≤100；B.90≤x＜95；C.85≤x＜90；D.80≤x＜85．下面给出了部分信息：
高一年级20名学生的成绩是：81，81，84，85，86，87，89，91，94，94，94，94，95，98，99，100，100，100，100，100．
高二年级20名学生的成绩在B组中的数据是：92，94，94，93，93，90．
高一、高二年级抽取的学生成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ 93.5 ，b＝ 100 ，m＝ 40 ；
（2）根据以上数据．你认为此次竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（写一条理由即可）；
（3）已知该校高一年级有900名学生参赛，高二年级有800名学生参赛，请估计两个年级参赛学生中得分不低于95分的共有多少人？
【答案】（1）93.5，100，40；
（2）高一年级成绩更好，理由如下：
两个年级平均数相同，但高一年级的中位数和众数都高于高二年级的，所以高一年级成绩更好．
（3）680人．
【解答】解：（1）高二年级成绩在C组的人数有20×10%＝2人，成绩在D组的人数有20×20%＝4人，
又∵成绩在B组的人数有6人，
∴成绩在A组的人数有20﹣6﹣2﹣4＝8人，
∴成绩由高到低排列，中位数为第10和第11位学生成绩的平均数，
∵B组成绩由高到低排列为94，94，93，93，92，90，
∴第10和第11位学生的成绩分别为94，93，
∴中位数，
∵高一年级20名学生的成绩中100出现的次数最多，
∴众数b＝100，
∵成绩在A组的人数有8人，
∴，
∴m＝40．
故答案为：93.5，100，40；
（2）高一年级成绩更好，理由如下：两个年级平均数相同，但高一年级的中位数和众数都高于高二年级的，所以高一年级成绩更好．
（3）利用样本估计总体的方法可得：
（人），
答：估计两个年级参赛学生中得分不低于95分的共有680人．
20．（10分）小王来到“8D魔幻城市”一重庆出差，顺便打卡了各大网红景点，品尝了各种美食，深深地爱上了重庆火锅，于是他准备在返程时购买一些火锅底料．经比较，小王准备购买A，B两款火锅底料，在某商店了解价格时，小王发现每袋B款火锅底料的标价比每袋A款火锅底料的标价多4元，若只购买一款火锅底料，则用400元购买A款火锅底料的袋数与用500元购买B款火锅底料的袋数相同．
（1）求每袋A款火锅底料和每袋B款火锅底料的标价分别为多少元．
（2）小王原计划购买10袋A款火锅底料和10袋B款火锅底料．在购买时，该商店正好开始周年庆活动，两款火锅底料均有优惠．其中A款火锅底料在标价的基础上每袋降价元，B款火锅底料在标价的基础上每袋打六折，于是小王决定多买一些火锅底料送给亲朋好友品尝．最终小王比原计划多购买了2a袋A款火锅底料和a袋B款火锅底料，付款时，他发现自己购买的所有A款火锅底料比所有B款火锅底料多花费40元，求a的值．
【答案】（1）每袋A款火锅底料标价为16元，每袋B款火锅底料标价为20元；
（2）a的值为15．
【解答】解：（1）设每袋A款火锅底料x元，则每袋B款火锅底料的标价为（x+4）元，
根据题意得，，
整理得，100x＝1600，
解得x＝16，
经检验，x＝16是原方程的解，
∴x+4＝20；
答：每袋A款火锅底料标价为16元，每袋B款火锅底料标价为20元．
（2）由题意列一元二次方程可得，
，
整理得﹣a2+15a＝0，
解得a1＝0（舍去），a2＝15；
答：a的值为15．
21．（10分）如图，已知四边形ABCD是菱形，连接AC，BD相交于O点，AC＝6，BD＝8，点P，点Q同时从点B出发，都以每秒1个单位长度的速度运动，点P的运动路径为B→A→O，点Q的运动路径为B→D，当点P到达O点时，P，Q两点同时停止运动，设点P、Q的运动时间为x，△BPO的面积为y1，△ABO的面积与△BCQ的面积比为y2．
（1）直接写出y1、y2分别关于x的函数表达式及自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数y1，y2的图象，并写出函数y1的一条性质；
（3）结合函数图象，请直接写出y1≤y2时，自变量x的取值范围（结果保留1位小数，误差不超过0.2）．
【答案】（1），；
（2）如图所示：
，
当0＜x≤5时，y1随x的增大而增大；
（3）0＜x≤1.8或7.7≤x≤8．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，AC，BD相交于O点，AC＝6，BD＝8，
∴，
∴Rt△ABO中，，
∴AB边上的高为，
①点P在AB上时，BP＝x，
∴，0＜x≤5；
②点P在AO上时，如图：
OP＝3+5﹣x＝8﹣x，
∴，
综上所述，，
∵BQ＝x，
∴；
（2）过点（0.5，8），（1，4），（4，1），（8，0.5）画图象得的图象；
过点（0，0），（5，6）画图象得的图象；
过点（5，6），（8，0）画图象得y1＝﹣2x+16的图象；
如图所示：
性质：当0＜x≤5时，y1随x的增大而增大；
（3）当时，
解得，（舍去），
当时，
解得，（舍去），
∴y1≤y2时，0＜x≤1.8或7.7≤x≤8．
22．（10分）小明家附近的公园里有一座人工湖，可以租自行车在如图所示的环湖公路上骑行，也可以租船游玩．其中A处为自行车租车点，位于A正北方向的D处为租船处，在A的北偏西60°方向850米处有一个休息点B，在D的西北方向米处有一个美食区C，美食区C恰好在休息点B的北偏东30°方向上．（参考数据：，，≈2.45）
（1）求休息点B和美食区C之间的距离；（结果保留根号）
（2）一天，小明的妈妈带着小明和小明的弟弟来到湖边游玩，他们准备先到自行车租车点A租一辆双人自行车，由小明带着弟弟沿着A→B→C→D的路线骑行，妈妈则从A处出发直接向北步行到达租船处D，在D处会和后再租船游玩．已知小明和弟弟骑车的速度是250米/分，妈妈步行的速度是90米/分，通过计算说明，小明和妈妈谁先到达租船处D．（结果精确到0.1）
【答案】（1）米；
（2）小明先到达租船处D．
【解答】解：（1）如图，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD，交AD延长线于点F，过点C作CG⊥BE于点G，
则四边形CFEG是矩形，
∴EG＝CF，
由题意得：AB＝850米，∠A＝60°，米，∠CDF＝45°，∠CBG＝90°﹣30°＝60°，
在Rt△BAE中，米，
在Rt△CDF中，CF＝CDsin∠CDF＝300米，
∴EG＝300米，
∴米，
在Rt△BCG中，米，
答：休息点B和美食区C之间的距离为米；
（2）由（1）知：四边形CFEG是矩形，
∴EF＝CG，
在Rt△BAE中，AE＝ABcsA＝425米，
在Rt△CDF中，DF＝CDcs∠CDF＝300米，
在Rt△BCG中，米，
∴米，
∴米，
∵小明和弟弟骑车的速度是250米/分，妈妈步行的速度是90米/分，
∴小明到达租船处D所需时间为（分），
妈妈到达租船处D所需时间为（分），
∵8.6＜9.8，
∴小明先到达租船处D．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于点A（2，0），点B（﹣8，0），交y轴于点C，连接BC，过点A作AD∥CB，交抛物线于点D．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点P是直线BC上方抛物线上一点，过点P作PE∥y轴交直线BC于点E，交直线AD于点F，过点P作 PG⊥PF交BC于G．当PF取最大值时，将线段EF沿直线DA平移，求平移过程中OE+FG的最小值；
（3）如图2，将原抛物线沿射线BC方向平移使得新抛物线y'经过线段BC的中点，Q为x轴上的一点，连接CQ，将射线QC绕着点Q旋转90°后与x轴上方新抛物线y′交于点K，且满足CQ＝QK，请写出所有符合条件的点K的坐标，并写出求解其中一个点K坐标的过程．
【答案】（1）；
（2）；
（3）或．
【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于点A（2，0），点B（﹣8，0），将点A，点B的坐标分别代入得：
，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）抛物线交y轴于点C，
当x＝0时，得：y＝2，
∴C（0，2），
设直线BC解析式为y＝kx+c，将点B，点C的坐标分别代入得：
，
解得：，
∴直线BC解析式为，
∵AD∥CB，
∴设直线AD解析式为，将点A的坐标代入得：
，
解得：，
∴直线AD解析式为，
当x＝0时，得：，
设直线与y轴的交点为H，
当x＝0时，得：y＝﹣，
∴H，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴当n＝﹣4时，PF有最大值，此时点P的坐标为（﹣4，3），
∵PG⊥PF，
∴点P和点G的纵坐标相同，都是3，
令，
解得x＝4，
∴G（4，3），
如图1，作FO′∥EO，交y轴于O′，
∵PE∥y轴，
∴四边形OEFO′是平行四边形，
∴OE＝O′F，EF＝OO′，
同理可得，
∴，
∴，
∴，
∵OE+FG＝O′F+FG≥O′G，
∴当O′，F，G三点共线时，OE+FG有最小值，最小值为O′G的长，
∴OE+FG的最小值为；
（3）点K的坐标为或．理由如下：
∵B（﹣8，0），C（0，2），
∴BC中点的坐标为，即（﹣4，1），
将原抛物线沿射线BC方向平移使得新抛物线y′经过线段BC的中点，相当于先将抛物线向右平移4个单位再向上平移1个单位，得，
当射线QC绕着点Q顺时针旋转90°后，如图所示：
作K1M1⊥x轴于M1，
∴∠K1M1Q1＝∠COA＝90°，
∵∠CQ1K1＝90°，
∴∠CQ1O+∠OCQ1＝∠CQ1O+∠K1Q1M1＝90°，
∴∠OCQ1＝∠K1Q1M1，
∵CQ1＝K1Q1，
∴△COQ1≌△Q1M1K1（AAS），
∴CO＝Q1M1＝2，OQ1＝M1K1，
设Q1（d，0），
∴OQ1＝d＝M1K1，
∴M1（d+2，0），
∴K1（d+2，d），
∴，
解得：，，
∴，
∴，
当时，
∴，
∴，
当射线QC绕着点Q逆时针旋转90°后，如图4，
K3，K4的坐标为（d﹣2，﹣d），
同理可求；
∵点K在x轴上方，
∴点K的坐标为或．
24．（10分）在等边三角形ABC中，AB＝6，D为边BC一点，连接AD，E为AD上一点，连接EC．
（1）如图1，DE＝DC，连接BE，若BE恰好平分∠ABC，求∠AEB的度数；
（2）如图2，E为AD中点，将DC绕C旋转至CF，在CB延长线上有一点G，连接GF交AB于点H，若∠AHF＝∠ACF＝∠ECD，试探究AB、GF、CF之间的数量关系；
（3）如图3，若D为直线BC上一点，F为AC中点，连接FD，将△AFD沿着FD翻折至原平面内的△PFD，点Q在线段PF上且满足FQ＝2PQ，连接BP、CQ，当BP+CQ最小时，请直接写出S△BPC的值．
【答案】（1）110°；
（2）FG＝AB+CF；
（3）．
【解答】解：（1）∵等边三角形ABC，BE恰好平分∠ABC，
∴BE垂直平分AC，∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，∠ABE＝∠CBE＝30°，
∴AE＝CE，
∴∠EAC＝∠ECA，
∵DE＝DC，
∴∠DCE＝∠DEC，
设∠DCE＝∠DEC＝α，则∠CAE＝∠ACE＝∠ACB﹣∠DCE＝60°﹣α，
∴∠ADB＝∠DCE+∠DEC＝2α，∠BAD＝∠BAC﹣∠CAE＝α，
∵∠ABD+∠ADB+∠BAD＝60°+3α＝180°，
∴α＝40°，
∴∠BDE＝2α＝80°，
∴∠AEB＝∠CBE+∠BDE＝110°；
（2）延长CE至点N，交AB于点K，使CE＝EN，设CE交FG于点M，
∵E为AD的中点，
∴AE＝DE，
又∵∠AEN＝∠DEC，
∴△AEN≌△DEC（SAS），
∴AN＝CD，∠ANE＝∠DCE，
∴AN∥CD，
∴∠NAB＝∠ABC＝60°，
∵∠AHF＝∠ACF＝∠ECD，
∴∠AHF＝∠ANK，∠ECD+∠ACM＝∠ACF+∠ACM，即∠MCF＝∠ACB＝60°，
∵∠AKN＝∠HKM，
∴∠HMK＝∠NAK＝60°，
∴∠CMF＝∠HMK＝60°，
∴∠CFM＝180°﹣∠FMC﹣∠FCM＝60°，
∴△CFM为等边三角形，
∴CM＝CF＝FM，
∵旋转，
∴CD＝CF，
∴AN＝CM，
∵∠BHG＝∠AHF，∠ABC＝∠BHG+∠G＝∠AHF+∠G，
∠ABC＝∠ACB＝∠DCM+∠ACM，∠DCM＝∠AHF，
∴∠ACM＝∠G，
又∵等边三角形ABC，
∴AC＝BC＝AB，
∴△ACN≌△MGC（SAS），
∴MG＝AC，
∴MG＝AB，
∴FG＝GM+MF＝AB+CF；
（3）∵等边△ABC，AB＝6，
∴AC＝BC＝AB＝6，
∵F为AC的中点，
∴AF＝FC＝3，
∵折叠，
∴PF＝AF＝3，
∴点P在以F为圆心，3为半径的圆上运动，
作PE∥CQ交FC的延长线于点E，则△FQC∽△FPE，
∴，
∵FQ＝2PQ，
∴，
∴，
∴，
取，连接PG，BG，则CG＝CF﹣PG＝1，，
又∵∠PFG＝∠PFE，
∴△PFG∽△EFP，
∴，
∴，
∴PG＝CQ，
∴BP+CQ＝BP+PG，
∴当点P在线段BG上时，BP+CQ＝BP+PG＝BG，最小，即点P运动到P′时，如图：
连接BF，P′F，作P′H⊥AC于点H，
∵F为AC的中点，△ABC为等边三角形，
∴BF⊥AC，
∴，
∴，
设，则FH＝2﹣2x，
在Rt△P′HF中，由勾股定理，得P′H2+FH2＝P′F2，
∴，
解得或（舍去）；
∴，
∴S△BP′C＝S△BCF﹣S△BFG﹣S△CP′G
＝，
＝
＝．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/4/16 19:32:55；用户：初中数学；邮箱：15723468291；学号：54021742平均数
中位数
众数
高一年级
92.6
94
b
高二年级
92.6
a
98
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D．
C
A
C．
A
C
B
D
B
C
平均数
中位数
众数
高一年级
92.6
94
b
高二年级
92.6
a
98