精品解析：浙江金华十校2026届高三下学期4月模拟考试数学试题卷（含答案与解析）

这是一份精品解析：浙江金华十校2026届高三下学期4月模拟考试数学试题卷（含答案与解析），共4页。
考生注意：
1．考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卷上.
2．选择题的答案须用2B铅笔将答题卷上对应题目的答案涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦净.
3．非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卷上相应区域内，答案写在本试题卷上无效.
选择题部分（共58分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】因为，，
所以.
2. 复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】利用复数的乘法法则求出积，再求出该复数对应点的坐标并判断其所在象限即可.
【详解】复数，
所以复数在复平面内对应的点的坐标为
又，故点在第二象限，
所以复数在复平面内对应的点所在的象限为第二象限.
3. 一组样本数据依次为，，0，2，4，5．关于这组数据的数字特征，下列选项正确的是（ ）
A. 极差为B. 平均数小于0C. 方差小于1D. 中位数为1
【答案】D
【解析】
【详解】已知样本升序排列为：，，0，2，4，5，
极差为：，故A错误；
平均数为：，故B错误；
方差为：
，故C错误；
因这组数据有6个，故其中位数为中间两个数的平均值，即中位数为，故D正确．
4. 如图，汽车内胎（不考虑物体的内部结构）可以由下面某个图形绕轴旋转而成，这个图形是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】A选项中的图形旋转得到的是同心球，外面一个大球，里面一个小球；
B选项中的图形旋转得到的是空心环状几何体；
C选项中的图形旋转得到的是内胎；
D选项中的图形旋转得到的是球.
5. 某物种繁殖能力极强，在没有外部因素干扰的前提下，其种群数量每经过一年就会增长为原来的5倍，则该物种种群数量变成原来的1000万倍大约需要经过（ ）（参考数据：）
A. 10年B. 11年C. 23年D. 24年
【答案】A
【解析】
【详解】设初始种群数量为，经过年后，种群数量变为.
根据题意，种群数量变为原来的1000万倍，即.
两边同时除以，得. 两边同时取常用对数，有：.
由于，且 ，代入得：
，解得.
因此该物种种群数量变成原来的1000万倍大约需要经过10年.
6. 在中，内角所对的边分别为，若，的面积为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，求得，再由正弦定理得到，代入计算，即可求解.
【详解】在中，因为，且的面积为，
可得，即，所以，
由正弦定理得，所以，
代入，可得，所以.
7. 抛物线的焦点为F，斜率为2的直线l与抛物线C相交于A，B两点，且，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】设直线的方程为，，
由抛物线可得准线方程为，
又，，所以，，所以，
又因为，，所以，
所以，所以，
所以.
8. 若某个函数的图象可以夹在两条平行直线之间，且对于定义域内的任意，，当时，都有，则称该函数为“阶梯形函数”．下列选项中，不是“阶梯形函数”的是（ ）
A. （不超过x的最大整数）B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先准确理解“阶梯形函数”的定义，对于A，结合取整函数定义判断该函数的单调性，再结合关系即可判断，对于B，结合指数函数性质判断函数的单调性，再结合函数的值域为即可判断；对于C，利用导数判断函数的单调性，再结合余弦函数性质证明即可判断，对于D，利用导数判断函数单调性，利用反证法证明不存在满足条件的平行线即可判断.
【详解】对于选项A，若，则对于任意的，都有，
由已知，故函数的图象夹在平行直线和之间，
故函数满足“阶梯形函数”的定义，是阶梯形函数；
对于选项B，若，​
因为为增函数，故函数为增函数，且函数的值域为，
所以函数为减函数，函数的值域为，
因此在上单调递增，且函数的值域为，
故函数的图象夹在平行直线和之间，
所以函数满足“阶梯形函数”的定义，是阶梯形函数；
对于选项C，若，
则恒成立，当且仅当时取等号，
所以函数在上单调递增，
由得，
故函数的图象夹在平行直线和之间，
所以函数满足“阶梯形函数”的定义，是阶梯形函数；
对于选项D，若
则，
当时，，，故
当时，，，故，
所以对于任意的，，故函数在上单调递增，
假设存在两条平行直线，
​和，则对任意需要​，
但当时，三次项增长速度远快于一次项，，矛盾，
故的图象无法被两条平行直线夹住，不满足条件，
因此函数不满足“阶梯形函数”的定义，不是阶梯形函数.
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 已知等差数列的公差为d，前n项和为，且，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【详解】已知等差数列的公差为d，则，解得，
，解得，故B错误；
，故A正确；
，故，故C错误；
，故D正确．
10. 在棱长为3的正方体中，点E在棱上且，点F在正方形内运动（含边界），若平面，则（ ）
A. 点F的运动轨迹为线段B. 的最小值为
C. 存在点F，使得D. 过F，D，B，C四点的球的表面积最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】以为原点，建立坐标系，求得平面的法向量，结合，求得点的运动轨迹方程，可判定A正确；由点，求得，利用二次函数的性质，可判定B正确；由，求得，得到点坐标，可判定C不正确；设球心，由球的性质，求得，且，结合函数的性质和球的表面积公式，可判定D正确.
【详解】以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，因为正方体的棱长为3，
可得，
因为点在棱上且，可得，
对于A，由向量，
设平面的法向量为，则，
取，可得，所以，
因为点在平面，设，可得
又因为平面，可得，
整理得，
因为点在正方形内，可得，
当时，，对应的点在棱上；
当时，，对应的点在棱上，
所以点的运动轨迹为线段，所以A正确；
对于B，由点，点且，
可得，其中，
所以当时，取得最小值，且，所以，所以B正确；
对于C，由，点且，可得，
若，可得，解得，
当时，可得，此时点，
因为点在正方形内，即，此时，
所以点不在正方形的区域内，所以不存在满足条件的点，所以C不正确；
对于D，由点，可得都在的平面上，
设球心，半径为，
因为三点确定的圆是正方形的外接圆，
其圆心为的中点，半径为，
则球心必在过且垂直于底面的直线上，所以，
设，球的半径为，
因为点且，即在球面上，所以，
可得，
整理得，即，可得，
又由球的表面积为，要使得表面积最小，只需最小，
令，可得的图象开口向上，且对称轴为，
所以当时，取得最小值，最小值为，所以，
所以，所以D正确.
11. 第十五届全国运动会会徽“同心礼花”由广东木棉花、香港紫荆花、澳门莲花的三朵花瓣交叠旋转而成，构成爱心形状，象征三地同心同源、深度融合．会徽轮廓如下图1，现将其简化为图2：半径均为1的圆，，互相过圆心，A，B为圆上两点，且，点C在圆与圆上运动．若（，），则下列选项可能成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题意求得，从而得到，对于ACD，将其代入，有解即可判断正确；对于B，根据基本不等式得到，可判断.
【详解】由题意知，，，，
因为，
所以，故，
对于A，当时，则，此时，，
所以当四点共线或四点共线时成立（不重合），故A正确；
对于B，因，故，即，故B错误；
对于C，当时，将代入得，
解得满足，故C正确；
对于D，当时，，代入得，
即满足，故D正确.
非选择题部分（共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 双曲线的离心率为___________.
【答案】
【解析】
【分析】依据题意可得，然后根据离心率公式可得结果.
【详解】由题可知：，由
所以离心率
故答案为：
13. 数列中，，，记数列的前n项和为，则______．
【答案】
【解析】
【分析】先根据累乘法求出的通项公式，然后根据裂项法求出，最后再计算.
【详解】，.
，又，.
.
.
.
14. 已知实数a，b满足，若对任意实数c，d，记的最小值为M，则M的最大值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】根据题意可得或，结合图形及几何意义进行求解．
【详解】解：，
或，
即或，
故点在如图直线族中，

表示点与点距离的平方，
又相邻两直线的距离，
所以的最小值，
故M的最大值为．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知函数，．
（1）求；
（2）中，若构成等差数列，且，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）代入，根据正弦函数的图象确定的值；
（2）先求出角，代入已知条件，由角的关系得出，利用二倍角公式求解.
【小问1详解】
，
或，
又，
【小问2详解】
因为在中，构成等差数列，
则，结合，可得，
，
，，
，
．
16. 三棱锥中，，，，平面，，．
（1）证明：直线平面；
（2）求直线和平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用线面垂直的性质来证明线面垂直.
（2）建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面的法向量，然后利用向量法求出直线和平面所成角的正弦值.
【小问1详解】
平面，平面，，
又，，平面，平面
【小问2详解】
平面，平面，，
，，
平面，平面，平面平面，
过点作，为垂足，
平面平面，平面，
由题意可得：，
如图，以A点为原点，以为x轴，为y轴，
过A点且与同向的方向为z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
由，可得，，
另外，设平面的一个法向量为，直线和平面所成角为，
结合，，
则有，，取，可得，
，
综上，直线和平面所成角的正弦值为．
17. 设椭圆的右焦点为F，左顶点为A，上顶点为B， ．点P是椭圆C上的一点，轴，且．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若过点且斜率不为零的动直线l与椭圆C相交于两个不同的点T，S，过线段的中点Q作直线l的垂线与x，y轴分别交于M，N，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意可得的关系式，进而可求得椭圆C的标准方程；
（2）设直线l的方程为，点，，联立方程组，利用根与系数的关系求得点Q的坐标，进而求得直线的方程，进而求得点的坐标，可求得的取值范围．
【小问1详解】
由题意可得，，
将代入中，可得,
依题意，点在第一象限，故得，
由，，得，
解得，，所以，
所以椭圆标准方程为．
【小问2详解】
设直线l的方程为，点，．
联立，得，
由解得
且，，
所以，从而，
解得，，
所以，
令，则，
综上，的取值范围为．
18. 已知函数，．
（1）求函数的极小值；
（2）讨论函数的单调性；
（3）若存在实数a，使得在恒成立，求实数b的取值范围．
【答案】（1）极小值为
（2）答案见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）求导，利用导数分析的单调性和极值；
（2）求导，分类讨论两根大小，结合导数的符号分析函数的单调性；
（3）分析可得，令，，分类讨论的符号，结合恒（能）成立问题分析求解.
【小问1详解】
因为的定义域为，且，
当时，；当时，；
可知在上单调递增，在单调递减，
所以的极小值为．
【小问2详解】
因为的定义域为，且，
令，解得或，
当，即时，则，
可知在上单调递减；
当，即时，令，解得；令，解得或；
可知在上单调递增，在，上单调递减；
当，即时，令，解得；令，解得或；
可知在上单调递增，在，上单调递减；
综上所述：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在，上单调递减；
当时，在上单调递增，在，上单调递减.
【小问3详解】
因为，即，可得，
令，，
①当时，若，则，不合题意；
若，方程满足，
且，可知方程有一正一负两个实根，
取其正根为，则，不合题意；
综上所述：当时，不存在实数a，使得恒成立；
②当时，不妨取，则，
记，则，
令，则，
当时，；当时，；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则，即，
可知在单调递减，则，
即对，都存在，使得在恒成立，
综上所述：实数b的取值范围为．
19. 某信息源仅发射信息A，B，C，且第n次发射的概率分别为，，，首次发射概率由二项分布生成，，，，第一次信息发射后遵循下表规则：
当发射信息的次数足够多后，若该信息源发射信息A，B，C的概率分别趋近于定值a，b，c，则称该信息源存在发射稳定期．
（1）写出，，的值（用p表示）．
（2）当时，证明：．
（3）当时，该信息源是否存在发射稳定期？若存在，求a，b，c的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），，
（2）证明见解析 （3）存在，
【解析】
【分析】（1）根据条件，利用二项分布的概率公式，即可求解；
（2）根据条件，利用全概率公式得，从而可得，进而可得，再由，即可求解；
（3）根据条件，由（2）可得， ，进而可得，再由极限思想，即可求解；法二，直接利用极限思想得，即可求解.
【小问1详解】
因为，则，，.
【小问2详解】
若，则，，所以，
由题知，即，
则，
又，，
，
所以，又，所以，
所以．
【小问3详解】
由题知，，，则，
又因为，则恒成立，
又，则，
所以，
则，所以
则，则，
所以.
法二，，，，
所以，解得.
第n次发
射的信息
第次发
射信息的概率
A
B
C
A的概率
B的概率
C的概率