白山市2026年高三第三次模拟考试数学试卷（含答案解析）

这是一份白山市2026年高三第三次模拟考试数学试卷（含答案解析），共29页。试卷主要包含了考生要认真填写考场号和座位序号，某设备使用年限x等内容，欢迎下载使用。
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．B．C．D．
2．已知向量，则（ ）
A．∥B．⊥C．∥()D．⊥( )
3．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（ ）
A．丙被录用了B．乙被录用了C．甲被录用了D．无法确定谁被录用了
4．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线交椭圆于A，B两点，交y轴于点M，若、M是线段AB的三等分点，则椭圆的离心率为( )
A．B．C．D．
5．已知数列对任意的有成立，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
6．若将函数的图象上各点横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在上单调递增B．函数的周期是
C．函数的图象关于点对称D．函数在上最大值是1
7．已知集合，则集合的非空子集个数是（ ）
A．2B．3C．7D．8
8．若双曲线的离心率为，则双曲线的焦距为（ ）
A．B．C．6D．8
9．某设备使用年限x（年）与所支出的维修费用y（万元）的统计数据分别为，，，，由最小二乘法得到回归直线方程为，若计划维修费用超过15万元将该设备报废，则该设备的使用年限为（ ）
A．8年B．9年C．10年D．11年
10．已知平面向量，满足且，若对每一个确定的向量，记的最小值为，则当变化时，的最大值为（ ）
A．B．C．D．1
11．已知双曲线C：（）的左、右焦点分别为，过的直线l与双曲线C的左支交于A、B两点.若，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
12．已知抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线分别交于、两点，与轴的正半轴交于点，与准线交于点，且，则（ ）
A．B．2C．D．3
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若，，则___________．
14．已知，，其中，为正的常数，且，则的值为_______.
15．已知，若，则________.
16．设（其中为自然对数的底数），，若函数恰有4个不同的零点，则实数的取值范围为________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）新型冠状病毒肺炎疫情发生以来，电子购物平台成为人们的热门选择.为提高市场销售业绩，某公司设计了一套产品促销方案，并在某地区部分营销网点进行试点.运作一年后，对“采用促销”和“没有采用促销”的营销网点各选取了50个，对比上一年度的销售情况，分别统计了它们的年销售总额，并按年销售总额增长的百分点分成5组：，分别统计后制成如图所示的频率分布直方图，并规定年销售总额增长10个百分点及以上的营销网点为“精英店”.
（1）请你根据题中信息填充下面的列联表，并判断是否有的把握认为“精英店与采用促销活动有关”；
（2）某“精英店”为了创造更大的利润，通过分析上一年度的售价 (单位：元)和日销量 (单位：件) 的一组数据后决定选择 作为回归模型进行拟合.具体数据如下表，表中的 ：
①根据上表数据计算的值；
②已知该公司成本为10元/件，促销费用平均5元/件，根据所求出的回归模型，分析售价定为多少时日利润可以达到最大.
附①：
附②：对应一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为.
18．（12分）已知数列满足且
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
19．（12分）如图，四边形为菱形，为与的交点，平面.
（1）证明：平面平面；
（2）若，，三棱锥的体积为，求菱形的边长.
20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线l的参数方程为（为参数），以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4sin.
（1）求曲线C的普通方程；
（2）求曲线l和曲线C的公共点的极坐标.
21．（12分）已知函数，其中，为自然对数的底数.
（1）当时，证明：对；
（2）若函数在上存在极值，求实数的取值范围。
22．（10分）已知矩形中，，E，F分别为，的中点.沿将矩形折起，使，如图所示.设P、Q分别为线段，的中点，连接.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D
【解析】
结合三视图可知,该几何体的上半部分是半个圆锥,下半部分是一个底面边长为4,高为4的正三棱柱,分别求出体积即可.
【详解】
由三视图可知该几何体的上半部分是半个圆锥,下半部分是一个底面边长为4,高为4的正三棱柱,则上半部分的半个圆锥的体积,下半部分的正三棱柱的体积,故该几何体的体积.
故选:D.
本题考查三视图,考查空间几何体的体积,考查空间想象能力与运算求解能力,属于中档题.
2．D
【解析】
由题意利用两个向量坐标形式的运算法则，两个向量平行、垂直的性质，得出结论.
【详解】
∵向量（1，﹣2），（3，﹣1），∴和的坐标对应不成比例，故、不平行，故排除A；
显然，•3+2≠0，故、不垂直，故排除B；
∴（﹣2，﹣1），显然，和的坐标对应不成比例，故和不平行，故排除C；
∴•（）＝﹣2+2＝0，故 ⊥（），故D正确，
故选：D.
本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量平行、垂直的性质，属于基础题.
3．C
【解析】
假设若甲被录用了，若乙被录用了，若丙被录用了，再逐一判断即可.
【详解】
解：若甲被录用了，则甲的说法错误，乙，丙的说法正确，满足题意，
若乙被录用了，则甲、乙的说法错误，丙的说法正确，不符合题意，
若丙被录用了，则乙、丙的说法错误，甲的说法正确，不符合题意，
综上可得甲被录用了，
故选：C.
本题考查了逻辑推理能力，属基础题.
4．D
【解析】
根据题意，求得的坐标，根据点在椭圆上，点的坐标满足椭圆方程，即可求得结果.
【详解】
由已知可知，点为中点，为中点，
故可得，故可得；
代入椭圆方程可得，解得，不妨取，
故可得点的坐标为，
则，易知点坐标，
将点坐标代入椭圆方程得，所以离心率为，
故选：D.
本题考查椭圆离心率的求解，难点在于根据题意求得点的坐标，属中档题.
5．B
【解析】
观察已知条件，对进行化简，运用累加法和裂项法求出结果.
【详解】
已知，则，所以有，
，
，

，两边同时相加得，又因为，所以.
故选：
本题考查了求数列某一项的值，运用了累加法和裂项法，遇到形如时就可以采用裂项法进行求和，需要掌握数列中的方法，并能熟练运用对应方法求解.
6．A
【解析】
根据三角函数伸缩变换特点可得到解析式；利用整体对应的方式可判断出在上单调递增，正确；关于点对称，错误；根据正弦型函数最小正周期的求解可知错误；根据正弦型函数在区间内值域的求解可判断出最大值无法取得，错误.
【详解】
将横坐标缩短到原来的得：
当时，
在上单调递增 在上单调递增，正确；
的最小正周期为： 不是的周期，错误；
当时，，
关于点对称，错误；
当时，
此时没有最大值，错误.
本题正确选项：
本题考查正弦型函数的性质，涉及到三角函数的伸缩变换、正弦型函数周期性、单调性和对称性、正弦型函数在一段区间内的值域的求解；关键是能够灵活应用整体对应的方式，通过正弦函数的图象来判断出所求函数的性质.
7．C
【解析】
先确定集合中元素，可得非空子集个数．
【详解】
由题意，共3个元素，其子集个数为，非空子集有7个．
故选：C．
本题考查集合的概念，考查子集的概念，含有个元素的集合其子集个数为，非空子集有个．
8．A
【解析】
依题意可得，再根据离心率求出，即可求出，从而得解；
【详解】
解：∵双曲线的离心率为，
所以，∴，∴，双曲线的焦距为.
故选：A
本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题.
9．D
【解析】
根据样本中心点在回归直线上，求出，求解，即可求出答案.
【详解】
依题意在回归直线上，
，
由，
估计第年维修费用超过15万元.
故选:D.
本题考查回归直线过样本中心点、以及回归方程的应用，属于基础题.
10．B
【解析】
根据题意,建立平面直角坐标系.令.为中点.由即可求得点的轨迹方程.将变形,结合及平面向量基本定理可知三点共线.由圆切线的性质可知的最小值即为到直线的距离最小值,且当与圆相切时,有最大值.利用圆的切线性质及点到直线距离公式即可求得直线方程,进而求得原点到直线的距离,即为的最大值.
【详解】
根据题意,设,
则
由代入可得
即点的轨迹方程为
又因为,变形可得,即,且
所以由平面向量基本定理可知三点共线,如下图所示:
所以的最小值即为到直线的距离最小值
根据圆的切线性质可知,当与圆相切时,有最大值
设切线的方程为,化简可得
由切线性质及点到直线距离公式可得,化简可得
即
所以切线方程为或
所以当变化时, 到直线的最大值为
即的最大值为
故选:B
本题考查了平面向量的坐标应用,平面向量基本定理的应用, 圆的轨迹方程问题,圆的切线性质及点到直线距离公式的应用,综合性强,属于难题.
11．D
【解析】
设，利用余弦定理，结合双曲线的定义进行求解即可.
【详解】
设，由双曲线的定义可知：因此再由双曲线的定义可知：，在三角形中，由余弦定理可知：
，因此双曲线的渐近线方程为：
.
故选：D
本题考查了双曲线的定义的应用，考查了余弦定理的应用，考查了双曲线的渐近线方程，考查了数学运算能力.
12．B
【解析】
过点作准线的垂线，垂足为，与轴交于点，由和抛物线的定义可求得，利用抛物线的性质可构造方程求得，进而求得结果.
【详解】
过点作准线的垂线，垂足为，与轴交于点，
由抛物线解析式知：，准线方程为.
，，，，
由抛物线定义知：，，，
.
由抛物线性质得：，解得：，
.
故选：.
本题考查抛物线定义与几何性质的应用，关键是熟练掌握抛物线的定义和焦半径所满足的等式.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
因为，所以，又，所以，则，所以．
14．
【解析】
把已知等式变形，展开两角和与差的三角函数，结合已知求得值．
【详解】
解：由，得，
，
即，
，
又，
，解得：．
为正的常数，．
故答案为：．
本题考查两角和与差的三角函数，考查数学转化思想方法，属于中档题．
15．1
【解析】
由题意先求得的值，可得，再令，可得结论．
【详解】
已知，
，，
，
令，可得，
故答案为：1．
本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．
16．
【解析】
求函数，研究函数的单调性和极值，作出函数的图象，设，若函数恰有4个零点，则等价为函数有两个零点，满足或，利用一元二次函数根的分布进行求解即可．
【详解】
当时，，
由得：，解得，
由得：，解得，
即当时，函数取得极大值，同时也是最大值，（e），
当，，
当，，
作出函数的图象如图，
设，
由图象知，当或，方程有一个根，
当或时，方程有2个根，
当时，方程有3个根，
则，等价为，
当时，，
若函数恰有4个零点，
则等价为函数有两个零点，满足或，
则，
即（1）
解得：，
故答案为：
本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法进行转化一元二次函数根的分布以及．求的导数，研究函数的的单调性和极值是解决本题的关键，属于难题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）列联表见解析，有把握；（2）①；② 元时
【解析】
（1）直接由题意列出列联表，通过计算，可判断精英店与采用促销活动是否有关.
（2）①代入表中数据，结合公式求出；②由①中所得的线性回归方程，若售价为，单价利润为，日销售量为 ，进而可求出日利润，结合导数可求最值.
【详解】
解：（1）由题意知，采用促销中精英店的数量为 ，
采用促销中非精英店的数量为；没有采用促销中精英店的数量为，没有采用促销中非精英店的数量为，列联表为
因为
有的把握认为“精英店与采用促销活动有关”.
（2）①由公式可得：
所以回归方程为
②若售价为，单件利润为，日销售为，
故日利润，解得.
当时，单调递增；
当时，单调递减.
故当售价元时，日利润达到最大为元.
本题考查了独立性检验，考查了线性回归方程的求法，考查了函数最值的求解.在求函数的最值时，常用的方法有：函数图像法、结合函数单调性分析最值、基本不等式法、导数法.其中最常用的还是导数法.
18．（1）；（2）
【解析】
（1）根据已知可得数列为等比数列，即可求解；
（2）由（1）可得为等比数列，根据等比数列和等差数列的前项和公式，即可求解.
【详解】
（1）因为，所以，又
所以数列为等比数列，且首项为，公比为.故
（2）由（1）知，所以
所以
本题考查等比数列的定义及通项公式、等差数列和等比数列的前项和，属于基础题.
19．（1）证明见解析；（2）1
【解析】
（1）由菱形的性质和线面垂直的性质，可得平面，再由面面垂直的判定定理，即可得证；（2）设，分别求得，和的长，运用三棱锥的体积公式，计算可得所求值．
【详解】
（1）四边形为菱形，
，
平面，
，
又，
平面，
又平面，
平面平面；
（2）设，在菱形中，由，
可得，，，
，
在中，可得，
由面，知，为直角三角形，可得，
三棱锥的体积，
，菱形的边长为1．
本题考查面面垂直的判定，注意运用线面垂直转化，考查三棱锥的体积的求法，考查化简运算能力和推理能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
20．（1）（2）(2，)．
【解析】
（1）利用极坐标和直角坐标的转化公式求解.
（2）先把两个方程均化为普通方程，求解公共点的直角坐标，然后化为极坐标即可.
【详解】
（1）∵曲线C的极坐标方程为，
∴，则,
即.
（2），
∴，
联立可得，
（舍）或，
公共点(，3)，化为极坐标(2，)．
本题主要考查极坐标和直角坐标的转化及交点的求解，熟记极坐标和直角坐标的转化公式是求解的关键，交点问题一般是统一一种坐标形式求解后再进行转化，侧重考查数学运算的核心素养.
21． (1)见证明；(2)
【解析】
（1）利用导数说明函数的单调性，进而求得函数的最小值，得到要证明的结论；
（2）问题转化为导函数在区间上有解，法一：对a分类讨论，分别研究a的不同取值下，导函数的单调性及值域，从而得到结论.法二：构造函数，利用函数的导数判断函数的单调性求得函数的值域，再利用零点存在定理说明函数存在极值．
【详解】
(1)当时，，于是，.
又因为，当时，且.
故当时，，即.
所以，函数为上的增函数，于是，.
因此，对，；
(2) 方法一：由题意在上存在极值，则在上存在零点，
①当时，为上的增函数，
注意到，，
所以，存在唯一实数，使得成立.
于是，当时，，为上的减函数；
当时，，为上的增函数；
所以为函数的极小值点；
②当时，在上成立，
所以在上单调递增，所以在上没有极值；
③当时，在上成立，
所以在上单调递减，所以在上没有极值，
综上所述，使在上存在极值的的取值范围是.
方法二：由题意，函数在上存在极值，则在上存在零点.
即在上存在零点.
设，，则由单调性的性质可得为上的减函数.
即的值域为，所以，当实数时，在上存在零点.
下面证明，当时，函数在上存在极值.
事实上，当时，为上的增函数，
注意到，，所以，存在唯一实数，
使得成立.于是，当时，，为上的减函数；
当时，，为上的增函数；
即为函数的极小值点.
综上所述，当时，函数在上存在极值.
本题考查利用导数研究函数的最值，涉及函数的单调性，导数的应用，函数的最值的求法，考查构造法的应用，是一道综合题．
22．（1）证明见解析（2）
【解析】
(1) 取中点R，连接，,可知中,且,由Q是中点,可得则有且,即四边形是平行四边形,则有,即证得平面.
(2) 建立空间直角坐标系,求得半平面的法向量: ,然后利用空间向量的相关结论可求得二面角的余弦值.
【详解】
（1）取中点R，连接，，
则在中，，且，
又Q是中点，所以，
而且，所以，
所以四边形是平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面.
（2）在平面内作交于点G，以E为原点，，，分别为x，y，x轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则各点坐标为，，，
所以，，
设平面的一个法向量为，
则即，
取，得，
又平面的一个法向量为，
所以.
因此，二面角的余弦值为
本题考查线面平行的判定,考查利用空间向量求解二面角,考查逻辑推理能力及运算求解能力,难度一般.
采用促销
没有采用促销
合计
精英店
非精英店
合计
50
50
100
采用促销
没有采用促销
合计
精英店
35
20
55
非精英店
15
30
45
合计
50
50
100