2026届松原市高考仿真卷数学试卷（含答案解析）

这是一份2026届松原市高考仿真卷数学试卷（含答案解析），共5页。试卷主要包含了已知复数为纯虚数，则实数，函数在上的大致图象是等内容，欢迎下载使用。
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知直四棱柱的所有棱长相等，，则直线与平面所成角的正切值等于（ ）
A．B．C．D．
2．函数在上的图象大致为( )
A．B．
C．D．
3．木匠师傅对一个圆锥形木件进行加工后得到一个三视图如图所示的新木件，则该木件的体积（ ）

A．B．C．D．
4．执行如图所示的程序框图，则输出的的值是（ ）
A．8B．32C．64D．128
5．已知函数在上可导且恒成立，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．、
B．、
C．、
D．、
6．山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：）服从正态分布，则直径在内的概率为（ ）
附：若，则，.
A．0.6826B．0.8413C．0.8185D．0.9544
7．已知双曲线的中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于，两点，若中点的横坐标为，则此双曲线的方程是
A．B．
C．D．
8．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（ ）
A．-1B．1C．0D．2
9．函数在上的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
10．在中，内角的平分线交边于点，，，，则的面积是（ ）
A．B．C．D．
11．已知双曲线的左、右顶点分别是，双曲线的右焦点为，点在过且垂直于轴的直线上，当的外接圆面积达到最小时，点恰好在双曲线上，则该双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
12．有一圆柱状有盖铁皮桶（铁皮厚度忽略不计），底面直径为cm，高度为cm，现往里面装直径为cm的球，在能盖住盖子的情况下，最多能装（ ）
（附：）
A．个B．个C．个D．个
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知复数（为虚数单位），则的共轭复数是_____，_____．
14．已知实数满足则点构成的区域的面积为____，的最大值为_________
15．实数，满足，如果目标函数的最小值为，则的最小值为_______．
16．在的展开式中，各项系数之和为，则展开式中的常数项为__________________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知定点，，直线、相交于点，且它们的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线。
（1）求曲线的方程；
（2）过点的直线与曲线交于、两点，是否存在定点，使得直线与斜率之积为定值，若存在，求出坐标；若不存在，请说明理由。
18．（12分）在中，角所对的边分别是，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求边长.
19．（12分）2019年底，北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试，所得成绩(单位:分)统计结果用茎叶图记录如下:
(Ⅰ)试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数;
(Ⅱ)从选出的8名男生中随机抽取2人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X，求的分布列和数学期望;
(Ⅲ)为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于5000)，并在每组中随机选取个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据，以频率作为概率，给出的最小值.(结论不要求证明)
20．（12分）在中，内角的边长分别为，且．
（1）若，，求的值；
（2）若，且的面积，求和的值．
21．（12分）已知四棱锥中，底面为等腰梯形，，，，丄底面.
（1）证明：平面平面；
（2）过的平面交于点，若平面把四棱锥分成体积相等的两部分，求二面角的余弦值.
22．（10分）在多面体中，四边形是正方形，平面，，，为的中点.
（1）求证：；
（2）求平面与平面所成角的正弦值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D
【解析】
以为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为轴，所在直线为轴，
建立空间直角坐标系．求解平面的法向量，利用线面角的向量公式即得解.
【详解】
如图所示的直四棱柱，，取中点，
以为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为轴，所在直线为轴，
建立空间直角坐标系．
设，则，
．
设平面的法向量为，
则取，
得．
设直线与平面所成角为，
则，
，
∴直线与平面所成角的正切值等于
故选：D
本题考查了向量法求解线面角，考查了学生空间想象，逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.
2．A
【解析】
首先判断函数的奇偶性，再根据特殊值即可利用排除法解得；
【详解】
解：依题意，，故函数为偶函数，图象关于轴对称，排除C；
而，排除B；，排除D.
故选：.
本题考查函数图象的识别，函数的奇偶性的应用，属于基础题.
3．C
【解析】
由三视图知几何体是一个从圆锥中截出来的锥体,圆锥底面半径为,圆锥的高,截去的底面劣弧的圆心角为，底面剩余部分的面积为,利用锥体的体积公式即可求得.
【详解】
由已知中的三视图知圆锥底面半径为，圆锥的高，圆锥母线，截去的底面弧的圆心角为120°，底面剩余部分的面积为，故几何体的体积为：.
故选C.
本题考查了三视图还原几何体及体积求解问题,考查了学生空间想象,数学运算能力,难度一般.
4．C
【解析】
根据给定的程序框图，逐次计算，结合判断条件，即可求解.
【详解】
由题意，执行上述程序框图，可得
第1次循环，满足判断条件，；
第2次循环，满足判断条件，；
第3次循环，满足判断条件，；
第4次循环，满足判断条件，；
不满足判断条件，输出.
故选：C.
本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出，其中解答中认真审题，逐次计算，结合判断条件求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
5．A
【解析】
设，利用导数和题设条件，得到，得出函数在R上单调递增，
得到，进而变形即可求解.
【详解】
由题意，设，则，
又由，所以，即函数在R上单调递增，
则，即，
变形可得.
故选：A.
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及其应用，以及利用单调性比较大小，其中解答中根据题意合理构造新函数，利用新函数的单调性求解是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与计算能力，属于中档试题.
6．C
【解析】
根据服从的正态分布可得，，将所求概率转化为，结合正态分布曲线的性质可求得结果.
【详解】
由题意，，，则，，
所以，.
故果实直径在内的概率为0.8185.
故选：C
本题考查根据正态分布求解待定区间的概率问题，考查了正态曲线的对称性，属于基础题.
7．D
【解析】
根据点差法得，再根据焦点坐标得，解方程组得，，即得结果.
【详解】
设双曲线的方程为，由题意可得，设，，则的中点为，由且，得 ， ，即，联立，解得，，故所求双曲线的方程为．故选D．
本题主要考查利用点差法求双曲线标准方程，考查基本求解能力，属于中档题.
8．B
【解析】
化简得到，根据纯虚数概念计算得到答案.
【详解】
为纯虚数，故且，即.
故选：.
本题考查了根据复数类型求参数，意在考查学生的计算能力.
9．D
【解析】
讨论的取值范围，然后对函数进行求导，利用导数的几何意义即可判断.
【详解】
当时，，则，
所以函数在上单调递增，
令，则，
根据三角函数的性质，
当时，，故切线的斜率变小，
当时，，故切线的斜率变大，可排除A、B；
当时，，则，
所以函数在上单调递增，
令 ，，
当时，，故切线的斜率变大，
当时，，故切线的斜率变小，可排除C，
故选：D
本题考查了识别函数的图像，考查了导数与函数单调性的关系以及导数的几何意义，属于中档题.
10．B
【解析】
利用正弦定理求出，可得出，然后利用余弦定理求出，进而求出，然后利用三角形的面积公式可计算出的面积.
【详解】
为的角平分线，则.
，则，
，
在中，由正弦定理得，即，①
在中，由正弦定理得，即，②
①②得，解得，，
由余弦定理得，，
因此，的面积为.
故选：B.
本题考查三角形面积的计算，涉及正弦定理和余弦定理以及三角形面积公式的应用，考查计算能力，属于中等题.
11．A
【解析】
点的坐标为，，展开利用均值不等式得到最值，将点代入双曲线计算得到答案.
【详解】
不妨设点的坐标为，由于为定值，由正弦定理可知当取得最大值时，的外接圆面积取得最小值，也等价于取得最大值，
因为，，
所以，
当且仅当，即当时，等号成立，
此时最大，此时的外接圆面积取最小值，
点的坐标为，代入可得，．
所以双曲线的方程为．
故选：
本题考查了求双曲线方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.
12．C
【解析】
计算球心连线形成的正四面体相对棱的距离为cm，得到最上层球面上的点距离桶底最远为cm，得到不等式，计算得到答案.
【详解】
由题意，若要装更多的球，需要让球和铁皮桶侧面相切，且相邻四个球两两相切，
这样，相邻的四个球的球心连线构成棱长为cm的正面体，
易求正四面体相对棱的距离为cm，每装两个球称为“一层”，这样装层球，
则最上层球面上的点距离桶底最远为cm，
若想要盖上盖子，则需要满足，解得，
所以最多可以装层球，即最多可以装个球．
故选：
本题考查了圆柱和球的综合问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
直接利用复数的乘法运算化简，从而得到复数的共轭复数和的模．
【详解】
，则复数的共轭复数为，且.
故答案为：；.
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础的计算题．
14．8 11
【解析】
画出不等式组表示的平面区域，数形结合求得区域面积以及目标函数的最值.
【详解】
不等式组表示的平面区域如下图所示：
数形结合可知，可行域为三角形，且底边长，高为，
故区域面积；
令，变为，
显然直线过时，z最大，故.
故答案为：；11.
本题考查简单线性规划问题，涉及区域面积的求解，属基础题.
15．
【解析】
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的最小值为，确定出的值，进而确定出C点坐标，结合目标函数几何意义，从而求得结果.
【详解】
先做的区域如图可知在三角形ABC区域内，
由得可知，直线的截距最大时，取得最小值，
此时直线为，
作出直线，交于A点，
由图象可知，目标函数在该点取得最小值，所以直线也过A点，
由，得，代入，得，
所以点C的坐标为．
等价于点与原点连线的斜率，
所以当点为点C时，取得最小值，最小值为，
故答案为：.
该题考查的是有关线性规划的问题，在解题的过程中，注意正确画出约束条件对应的可行域，根据最值求出参数，结合分式型目标函数的意义求得最优解，属于中档题目.
16．
【解析】
利用展开式各项系数之和求得的值，由此写出展开式的通项，令指数为零求得参数的值，代入通项计算即可得解.
【详解】
的展开式各项系数和为，得，
所以，的展开式通项为，
令，得，因此，展开式中的常数项为.
故答案为：.
本题考查二项展开式中常数项的计算，涉及二项展开式中各项系数和的计算，考查计算能力，属于基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17． (1) ；(2) 存在定点，见解析
【解析】
（1）设动点，则，利用，求出曲线的方程．
（2）由已知直线过点，设的方程为，则联立方程组，
消去得，设，，，利用韦达定理求解直线的斜率，然后求解指向性方程，推出结果．
【详解】
解：（1）设动点，则，
，
，即，
化简得：。
由已知，故曲线的方程为。
（2）由已知直线过点，设的方程为，
则联立方程组，消去得，
设，，则
又直线与斜率分别为，
，
则。
当时，，；
当时，，。
所以存在定点，使得直线与斜率之积为定值。
本题考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查计算能力，属于中档题．
18．（1）； （2）.
【解析】
（1）把代入已知条件，得到关于的方程，得到的值，从而得到的值.
（2）由（1）中得到的的值和已知条件，求出，再根据正弦定理求出边长.
【详解】
（1）因为，，
所以，，
所以，即.
因为，所以，
因为，所以.
（2）
.
在中，由正弦定理得，
所以，解得.
本题考查三角函数公式的运用，正弦定理解三角形，属于简单题.
19． (Ⅰ)万；(Ⅱ)分布列见解析， ；(Ⅲ)
【解析】
(Ⅰ)根据比例关系直接计算得到答案.
(Ⅱ) 的可能取值为，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.
(Ⅲ) 英语测试成绩在70分以上的概率为 ，故，解得答案.
【详解】
(Ⅰ)样本中女生英语成绩在分以上的有人，故人数为：万人.
(Ⅱ) 8名男生中，测试成绩在70分以上的有人，的可能取值为：.
，，.
故分布列为：
.
(Ⅲ) 英语测试成绩在70分以上的概率为 ，故，故.
故的最小值为.
本题考查了样本估计总体，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
20．（1）；（2）.
【解析】
（1）先由余弦定理求得，再由正弦定理计算即可得到所求值；
（2）运用二倍角的余弦公式和两角和的正弦公式，化简可得sinA+sinB=5sinC，运用正弦定理和三角形的面积公式可得a，b的方程组，解方程即可得到所求值．
【详解】
解：（1）由余弦定理

由正弦定理得
（2）由已知得：

所以------①
又所以------②
由①②解得
本题考查正弦定理、余弦定理和面积公式的运用，以及三角函数的恒等变换，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
21．（1）见证明；（2）
【解析】
（1）先证明等腰梯形中，然后证明，即可得到丄平面，从而可证明平面丄平面；（2）由，可得到，列出式子可求出，然后建立如图的空间坐标系，求出平面的法向量为，平面的法向量为，由可得到答案．
【详解】
（1）证明：在等腰梯形，，
易得
在中，，
则有，故，
又平面，平面，，
即平面，故平面丄平面.
（2）在梯形中，设，
，，
，而,
即，.
以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图的空间坐标系，则，，
设平面的法向量为，
由得，
取，得，，
同理可求得平面的法向量为，
设二面角的平面角为，
则，
所以二面角的余弦值为.
本题考查了两平面垂直的判定，考查了利用空间向量的方法求二面角，考查了棱锥的体积的计算，考查了空间想象能力及计算能力，属于中档题．
22．（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）首先证明，，，∴平面.即可得到平面，.
（2）以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，带入公式求解即可.
【详解】
（1）∵平面，平面，∴.
又∵四边形是正方形，∴.
∵，∴平面.
∵平面，∴.
又∵，为的中点，∴.
∵，∴平面.
∵平面，∴.
（2）∵平面，，∴平面.
以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.
如图所示：
则，，，.
∴，，.
设为平面的法向量，
则，得，
令，则.
由题意知为平面的一个法向量，
∴，
∴平面与平面所成角的正弦值为.
本题第一问考查线线垂直，先证线面垂直时解题关键，第二问考查二面角，建立空间直角坐标系是解题关键，属于中档题.