山东省青岛市2025届高三下学期一模数学试卷（Word版附解析）

这是一份山东省青岛市2025届高三下学期一模数学试卷（Word版附解析），共18页。试卷主要包含了03， 设是关于的方程的正实数根， 已知狄利克雷函数设函数，则等内容，欢迎下载使用。
2025.03
本试卷共4页，19题全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 抛物线的焦点坐标为
A. B. C. D.
2. 若，则（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
3. 若样本数据1，，，…，的平均数为1，方差为2，则数据，，…，相对于原数据（ ）
A. 平均数变小B. 平均数变大C. 方差变小D. 方差变大
4. 近年来，家用冰箱使用的氟化物的释放等破坏了臭氧层，臭氧含量与时间（单位：年）的关系为，其中是臭氧的初始含量.臭氧消失一半所需要的时间约为（ ）（，精确到年）
A. 年B. 年C. 年D. 年
5. 已知，，则在上的投影向量为（ ）
A B. C. D.
6. 设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得，”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
7. 在平面直角坐标系中，动点在以原点为圆心，为半径圆上，以的角速度按逆时针方向做匀速圆周运动；动点在以原点为圆心，为半径的圆上，以的角速度按逆时针方向做匀速圆周运动.、分别以、为起点同时开始运动，经过后，动点、的坐标分别为、，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8. 设是关于的方程的正实数根.记，其中表示不超过的最大整数，设数列的前项和为，则（ ）
A B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在正三棱柱中，为AC的中点，点满足，，则（ ）
A. 当时，B. 当时，
C. 存在，使得D. 存在，使得平面
10. 已知狄利克雷函数设函数，则（ ）
A. 是奇函数B. 是周期函数
C. 值域是D. 在区间上的有理数零点恰有3个
11. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线、的方程分别为、，过点作、的垂线，垂足分别为、，四边形的面积为，点的轨迹为曲线.则（ ）
A. 圆与没有公共点
B. 曲线与没有公共点
C. 上存在三点、、，使得为等边三角形
D. 在点处的切线与、分别交于、两点，则的面积为定值
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.
12. 的展开式中常数项为__________．（用数字作答）
13. 已知函数图象的两条切线相互垂直，并分别交轴于A，B两点，则__________.
14. 已知的内角对边分别为，边上的高为h，，则的最小值为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 为了调查某地区高中学生对于体育运动的爱好程度，随机调查了该地区部分学生的日均运动时间.在被调查的学生中，女生占，女生中有的人日均运动时间大于小时，男生中有的人日均运动时间大于小时.
（1）在被调查的学生中任选人，若此人日均运动时间大于小时，求此人为男生的概率；
（2）用频率估计概率，从该地区的高中生中随机抽取人，求日均运动时间大于小时的人数的期望和方差.
16. 如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，、是底面半径，，为劣弧上的动点.
（1）若为劣弧的中点，证明：平面；
（2）若圆锥底面半径为，体积为，当四边形面积最大时，求平面与平面夹角的余弦值.
17. 已知函数，.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若有两个极值点，记极大值和极小值分别为M，m，证明：.
18. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，短轴长为，离心率为.
（1）求的方程；
（2）记的左顶点为，直线与交于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之积为.
（i）证明：直线过定点；
（ii）若在轴上方，直线与圆交于点，点在轴上方.是否存在点，使得与的面积之比为3：5？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.
19. 若数列满足：①；②；③当整数时，存在正整数及，，…，，使得；④对于任意正整数及，，…，，都有.则称数列“非零可表”.
（1）若数列满足，判断否“非零可表”，并说明理由；
（2）若数列满足，，证明：数列“非零可表”；