陕西省咸阳市秦都区2026年初中学业水平考试第一次模拟卷 数 学（含解析）

这是一份陕西省咸阳市秦都区2026年初中学业水平考试第一次模拟卷 数 学（含解析），共15页。试卷主要包含了本试卷分为第一部分等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟．
2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）．
3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效．
4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑．
5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题共24分）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行求解即可．
【详解】解：的相反数是．
故选：D．
本题考查了求一个数的相反数，熟练掌握相反数的概念以及求解方法是解题的关键．
2. 如图是一个工艺品摆件，其主视图为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了三视图．
根据从前面看到的图形是主视图作答即可．
【详解】解：由图可知，其主视图为．
故选：A．
3. 如图，，直线分别与交于点，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
4. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】解：．
5. 如图，在中，于点，若，，则的长为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】先利用勾股定理求出，再根据进行求解．
【详解】解：∵，
∴，
由勾股定理得，
∴．
6. 已知点和点在直线（k为常数，）上，若，则的值可能是（ ）
A. 0B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知x与y的大小关系判断函数增减性，进而得到k的取值范围，即可选出符合条件的选项．
【详解】解：∵点纵坐标为，点纵坐标为，
∴，
又∵ ，可知增大时减小，
∴ 直线中，随的增大而减小，
根据一次函数的性质，一次项系数小于0时，随增大而减小，
∴ ，
解得 ，
∵ 选项中只有符合条件．
7. 如图，在正方形中，连接，点在上，连接，于点，延长交于点，若，则的长为（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据正方形的性质得出，确定，得出，利用勾股定理得出，再由等腰三角形三线合一得出，根据含30度角的直角三角形的性质及勾股定理得出，，即可求解
【详解】解：∵正方形，为对角线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴
8. 已知二次函数（为常数）的图象经过点，则下列关于该函数的结论正确的是（ ）
A. 图象的开口向上
B. 当时，
C. 当时，的值随值的增大而增大
D. 函数图象的顶点在第二象限
【答案】C
【解析】
【分析】先根据已知点坐标求出参数的值，再结合二次函数的图象与性质逐一判断选项即可．
【详解】解：∵二次函数的图象经过点，
∴将代入解析式得：，
整理得：，解得：，
∵，
∴抛物线图象开口向下，选项A错误。
将代入解析式得，选项B错误；
二次函数对称轴为，
∵，开口向下，
∴当时，随的增大而增大，
又∵满足，
∴当时，的值随值的增大而增大，选项C正确；
顶点坐标为，横坐标为正纵坐标为负，顶点位于第四象限，选项D错误．
第二部分（非选择题共96分）
二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）
9. 因式分解：_______
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握利用提取公因式法、完全平方公式分解因式是解题的关键．先提取公因式，然后利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
10. 刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正六边形，连接，若该正六边形的半径为2，则的长为________．
【答案】
【解析】
【分析】连接，交于点，根据正六边形的性质，求出，进而得到垂直平分，进而求出的长即可.
【详解】解：连接，交于点，则，
∵正六边形，
∴，
∴垂直平分，，
∴，
∴.
11. 生活中常用地砖按规律铺设人行道的地面，如图，某段地面用“8字砖”铺设，1块地砖有2个正方形，用2块地砖可拼得5个正方形，3块地砖可拼得8个正方形，．．．，按照这样的规律，则用7块地砖可以拼得_______个正方形．
【答案】20
【解析】
【分析】观察可知，后一个图形比前一个图形多3个正方形，即可得出结果．
【详解】解：观察可知，后一个图形比前一个图形多3个正方形，
故用块地砖可以拼得个正方形，
∴用7块地砖可以拼得个正方形．
12. 如图，内接于，是的直径，点是下方上一点，连接，若，则的度数为________．
【答案】##度
【解析】
【分析】先利用直径所对圆周角为直角，结合已知求出；再由等腰得，结合等腰与，证得平分，算出；最后根据同弧所对圆心角是圆周角的2倍，求出．
【详解】解：连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰三角形，，
∵，
∴是等腰三角形，，
∵，
∴，即平分，
∴，
∵是弧所对的圆周角，是弧所对的圆心角，
∴．
13. 反比例函数（k为常数，）的图象与点的位置关系如图所示，已知点的坐标为，则的值可能是________．（写出一个符合题意的数即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据函数图象判定出参数的取值范围即可．
【详解】解：∵函数图象位于第二象限，
∴；
当时，，
解得，
∴可取，（答案不唯一）．
14. 如图，在菱形中，对角线交于点，点是延长线上一点，连接交于点，若，则菱形的周长为________．
【答案】48
【解析】
【分析】取的中点，连接，根据菱形的性质得出是的中位线，得出相等的角，证明，利用对应边成比例进行求解．
【详解】解：如图，取的中点，连接，
∵四边形为菱形，
∴，，
∴是的中位线，
∴，
，且，
∴，
则，
即，
解得，
则
菱形的周长为．
三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程）
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【详解】解：原式
．
16. 解不等式组：
【答案】
【解析】
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤进行求解即可．
【详解】解：
解不等式，得；
解不等式，得；
不等式组的解集为．
17. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】按照解分式方程的步骤进行求解．
【详解】解：
去分母，得，
移项、合并同类项，得，
系数化为1，得．
检验：当时，，
原方程的解为．
18. 如图，已知，点是的中点，利用尺规作图法在边上找一点，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据题意作，然后利用相似三角形的判定和性质即可证明
【详解】解：如图所示，点即为所求．
证明：根据题意得，
∴，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴即．
19. 如图，在矩形中，点分别在边上，连接，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】证明，即可得证.
【详解】证明：四边形是矩形，
，即．
在和中，，
，
．
20. 汉字是世界上最古老的文字之一，是中华优秀传统文化的重要载体．现有正面分别印着“生”“肖”“午”“马”古文字的四张不透明卡片如图所示，它们除正面外完全相同，把这四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上，小明先随机抽取一张卡片不放回，再从剩下的三张卡片中随机抽取一张．
（1）小明第一次抽中的卡片正面古文字是“马”的概率是___________；
（2）请用列表或画树状图的方法，求小明抽取的两张卡片正面的古文字恰好可以组成“生肖”或“午马”的概率．（不分先后顺序）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用简单概率公式进行求解；
（2）画树状图求概率．
【小问1详解】
解：小明第一次抽中的卡片正面古文字是“马”的概率是；
【小问2详解】
解：画树状图如下：
由图可知共有12种等可能的结果，其中小明抽取的两张卡片正面的古文字恰好可以组成“生肖”或“午马”的结果有4种，
（小明抽取的两张卡片正面的古文字恰好可以组成“生肖”或“午马”）．
21. 某地城隍庙有“毕土木之功，穷造形之巧”的美誉．城隍庙的山门是进入城隍庙的第一道大门．如图，某数学兴趣小组准备利用所学过的数学知识测量该城隍庙山门的高度．
【测量过程】小组成员甲在处利用测角仪（高度忽略不计）测得山门顶端点的仰角的度数；小组成员乙沿方向移动至点，在处放置一面平面镜（大小忽略不计），沿方向移动至点处，眼睛位于处时，恰好从平面镜中看到山门顶端点的像．
【测量数据】．
【图形说明】，点在同一水平直线上，图中所有的点都在同一平面内．
【参考数据】．
请你根据以上信息，求出该城隍庙山门的高度．
【答案】
【解析】
【分析】根据锐角三角函数得出．证明，利用对应边成比例进行求解．
【详解】解：，
，即．
由题意可得．
，
，
，
．
，
，
解得，
该城隍庙山门的高度为．
22. 随着“体重管理年”三年行动的实施，某体育用品商店老板计划购进甲、乙两种健身器材共100件进行销售．甲、乙两种健身器材的进价与售价如下表所示：
设该体育用品商店老板购进甲健身器材件，购进这两种健身器材所需的总费用为元．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）若该体育用品商店老板共花费6200元购进这两种健身器材，求售完此次购进的甲、乙两种健身器材所得的总利润．
【答案】（1）
（2）2600元
【解析】
【分析】（1）根据题意直接建立函数关系式即可；
（2）根据题意得出，然后求解计算即可．
【小问1详解】
解：由题意，得，
与之间的函数关系式为．
【小问2详解】
解：由题意，得，
解得，
则．
（元），
售完此次购进的甲、乙两种健身器材所得的总利润为2600元．
23. 3月1日，新版《环境空气质量标准》正式实施，调高“好空气”的“标尺”，我国大气污染防治步入更严要求、更高标准的新阶段．某校为了解学生对《环境空气质量标准》内容的知晓情况，对全校学生进行了问卷调查（共10小题，每题1分），并随机抽取了50名学生的得分（均不低于6分），将调查结果绘制成如下不完整的统计图：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图，所抽取学生问卷调查得分的中位数是___________分，众数是___________分；
（2）求所抽取学生问卷调查得分的平均数；
（3）若该校共有900名学生，请你估计此次问卷调查得分为满分的学生人数．
【答案】（1）见解析，8，8
（2）8.44分 （3）180名
【解析】
【分析】（1）求出得分为7分的人数，补全条形图，根据中位数和众数的计算方法进行求解即可；
（2）利用加权平均数的计算方法进行计算即可；
（3）利用样本估计总体的思想进行求解即可.
【小问1详解】
解：得分为7分的人数为；
补全条形统计图如图所示．
将数据排序后第25和第26个数据均为8，故中位数为8；
出现次数最多的数据为8，故众数为8；
【小问2详解】
解：（分），
答：所抽取学生问卷调查得分的平均数是8.44分．
【小问3详解】
解：（名），
答：估计此次问卷调查得分为满分的学生人数为180名．
24. 如图，在中，以为直径的交于点，过点的切线交于点，延长交于点，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的半径．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，根据切线的性质得出直角，证明，得出，即可得出结论；
（2）连接，根据直径得出直角，得出，根据勾股定理列出方程求解．
【小问1详解】
证明：如图，连接．
是的切线，
．
，
，
，
；
【小问2详解】
解：连接．
是的直径，
，则．
，即点是的中点，
．
在中，，
，
解得，
的半径为．
25. 如图是某工厂车间的正向截面示意图，车间顶部是抛物线形状，和是墙面，点是车间顶部最低点（点与点关于该抛物线的对称轴对称），是车间地面，，且，车间顶部最高点到地面的距离是是与地面平行的钢架（点在上，点在上），．以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系．
（1）求车间顶部所在抛物线的函数表达式；
（2）现要在车间顶部的处安装照明灯（大小忽略不计），若到的距离均为，求两点间的水平距离．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意得出点的坐标为，车间顶部所在抛物线的顶点坐标为，设车间顶部所在抛物线的函数表达式为，然后利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意得出，确定点到地面的距离为．令，代入求解即可．
【小问1详解】
解：由题意得：点的坐标为，车间顶部所在抛物线的顶点坐标为．
设车间顶部所在抛物线的函数表达式为，
将代入，得，
解得，
车间顶部所在抛物线的函数表达式为；
【小问2详解】
是与地面平行的钢架，
，
点到地面的距离为．
令，即，
解得．
，
两点间的水平距离为．
26. 【问题探究】
（1）如图，在中，，点是边上的动点，连接，则的最小值为___________；
（2）如图，在中，，点是延长线上一点，于点，求的长；
【问题解决】
（3）如图，矩形是某校实践活动基地，现要对该实践活动基地重新扩建规划，首先延长至点，使得，在边上找一点建一口水井，沿修一条水渠，再从向修一条小路，使得于点，再沿分别修小路，在四边形内种植果树．已知，求种植果树面积的最小值（即四边形面积的最小值）．（水井的大小和水渠、小路的宽度均忽略不计）
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（）根据垂线段最短，确定时最小，再利用等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，由求出的最小值为；
（）先由已知条件求出各边长度，再证明与相似，最后根据相似三角形对应边成比例，计算出的长度；
（）将四边形的面积拆分为与的面积之和，先由矩形边长算出的面积，将求四边形面积最小值转化为求面积最小值；再把面积表示为点到的距离的函数，结合点的运动轨迹(以中点为圆心的圆)，利用垂线段最短求出点到的最小距离，最终算出四边形的最小面积．
【小问1详解】
解：根据垂线段最短，当时，取得最小值，如图：
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：，
，则．
，
．
，
，
，
．
【小问3详解】
解：连接，则．
四边形是矩形，，
，
，
，
，
要求四边形面积的最小值，只需求出面积的最小值．
过点作于点，
则，
只需求出点到的距离的最小值．
以的中点为圆心，为半径作，
，即，
点在上方的上运动．
过点作于点交于点，连接．
，
当点移动到点的位置时，点与点重合，此时点到的距离最小，最小值为的长．
是的中点，
，
．
在和中，，
，
，即，
，
，
，
故种植果树面积的最小值为．
种类
进价（元/件）
售价（元/件）
甲
80
100
乙
50
80