浙江省湖州、衢州、丽水三地市2026届高三下学期4月教学质量检测（二模）数学试卷含解析（word版+pdf版）

这是一份浙江省湖州、衢州、丽水三地市2026届高三下学期4月教学质量检测（二模）数学试卷含解析（word版+pdf版），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 已知集合 ，则
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
2. 函数 的最小正周期是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】易得 .
3.已知正方体 为棱 的中点，则下列与直线 不互为异面直线的是
A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线
【答案】C
【解析】由图可得直线 与直线 不互为异面直线.
4.已知复数 ( 为虚数单位),则
A. B. i C. 1 D. -1
【答案】D
【解析】.
5.已知三组数据:①4，4，4，5，5，5，6，6，6；② 3，3，4，4，5，6，6，7，7；③ 2，2，2，5，8， 8,8,8 的方差分别是 ,则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题可得三组均值都为 5 ,
所以 .
6.如图,已知正三角形 的边长为 2,以 为圆心的圆与直线 相切,若点 是圆 上的动点,则 的最大值是
A. B. C. 4 D.
【答案】D
【解析】取 中点 ,则 , 又 ,所以 ,
所以 在圆 上， 到 的距离为 ，圆半径 在 方向的最大投影为 ( 在 正上方, 水平向右, 取圆最右端点时投影最大).
因此: 即 .
7.已知 为坐标原点，点 ，动点 在抛物线 上，满足 . 若点 关于直线 的对称点为 ,则 的最大值是
A. B. 9 C. D. 8
【答案】B
【解析】方法一：由题意 ,可知直线 经过定点 ,不妨设定点 ,
又因为点 关于直线 的对称点为 ,可知 ,
可知点 的运动轨迹是以 为圆心,半径为 的圆,所以 .
方法二：设 ,
,直线 ,过 ,
记 ,则 ,故 轨迹: .
8.已知函数 的定义域为 ,对于任意给定 ,都存在 ,使得 ,则称函数 为 “倍增友好函数”,则下列函数中不是 “倍增友好函数” 的是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A 项: ,定义域为 ,显然 ,显然成立;
B 项: ,定义域为 ,使得 ;
项: ,定义域为 ,显然不能,对任意给定 ,使得 成立;
D 项: ,定义域为 ,使得 .
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知等比数列 的公比为 . 若 ,则下列说法正确的有
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】已知 为等比数列,且 ,由 可得 ,故 。 A 项: 由上分析可得 A 正确;
B 项: , B 正确;
C 项: 正确;
D 项: , D 错误.
10.已知连续型随机变量 服从正态分布 ,记函数 ,则 (注: 若 ,则
A. B.
C. 的图象关于直线 对称D. 的图象关于点 对称
【答案】AC
【解析】A 项: ,由 可得 ,故 A 正确;
B 项: ,故 B 错误;
C 项: 关于 对称,即对任意 ,
. 令 ,则 ,
,由正态分布对称性 ,得 , 故 C 正确;
D 项: 关于点 对称需满足 ,取 , ,故 D 错误.
11.已知定义在 的函数 和 均为奇函数,且满足函数 是奇函数,函数 是偶函数. 若当 时, ,则
A.
B. 对任意
C. 当且仅当
D.
【答案】ABD
【解析】根据题意分析: 若 是奇函数,则 ,故曲线 关于 对称.
又 是奇函数,关于 对称,则 也关于 对称.
归纳可得:对于任意整数 关于 对称.
A 项: 由奇函数性质, ,故 ,求和得 , 故 A 正确;
B 项: 由之前分析的结论,对于任意整数 关于 对称,则 成立. 构造 , 由于 是偶函数,则 是偶函数,则 关于 对称. 由于 是奇函数, 是奇函数,则 是奇函数,则 ,即 周期为 4 . 而 ,则 ,故 B 正确;
C 项: 令 ,则 为奇函数, ,即 关于 对称,则 周期为 4 . 当 时, . 在一个周期内画出 和 图像,
则可得 ,即 ,当且仅当 或 ,故 C 错误;
D 项: 当 时, ,则在 上, ,则 ,故 D 正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.椭圆 的离心率为________.
【答案】
【解析】由题可得 ,故离心率 .
13.已知函数 ，则函数 的单调递增区间是_______.
【答案】
【解析】由题可得函数 ,函数 的单调增区间为 ,
又 ,当 时,函数 的单调递增区间是 .
14.如图所示，有一只内壁呈半球面的小碗，半径为 ，碗内放了三颗汤圆(视为半径均为 的球). 三颗汤圆两两相切,且汤圆与碗的内壁均相切. 若汤圆与碗口等高,则 _____.
【答案】
【解析】如图,把碗倒扣,其球心为 ,汤圆的球心依次为 为汤圆 与碗的切点.
由图知: ;
所以: ,
则 ,所以 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.在三棱锥 中,平面 平面 和 都是边长为 1 的正三角形.
(1)证明: ；
(2)若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
【解析】(1) 取 中点 . 2 分
是 的中点，所以
又 ， 是 的中点，所以 .
又 . 4 分
平面 ,直线 平面 所以 . 5 分
(2)因为平面 平面 ，且平面 平面 且 ,可得 平面 .
如图,以 为原点,射线 分别为 轴的正方向建立空间直角坐标系.
则 8 分
则 .
设平面 的法向量为 ,
由 ,得
解得 ,即 10 分
由 ,得 ,所以又 ,
设 与平面 所成角为 ,则 .
因此直线 与平面 所成角的正弦值是 13 分
16.已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若函数 有极小值，且极小值大于 0，求实数 的取值范围.(其中 是自然对数的底数)
【解析】(1) 当 时,则 ,故 , 2 分
故 , 4 分
因此所求切线方程 即 .6 分
(2)由题意定义域为 , 7 分
(i) 若 ,则 恒成立,
可知 在 上递减,无极值,不合题意; 9 分
(ii) 若 ,令 ,解得 ; 令 ,解得 ;
可知 在 递减,在 内单调递增,
则 有极小值 ,无极大值, 12 分
所以 ,即 ,
令 ,则 ,可知 在 内单调递增,且 ,不等式 等价于 ,解得 ,
所以实数 取值范围为 . 15 分
17.记 的内角 的对边分别为 . 已知 .
(1)求 的值；
(2)若 的面积为 ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得 存在，并求边长 的值.
条件①: ; 条件②: ; 条件③: .
注:如果选择的条件不符合要求，第(2)问得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答, 按第一个解答计分.
【解析】
(1) 由余弦定理得得 , 2 分
整理得 ,
由正弦定理得,4 分
因为 ,所以 .6 分
(2)若选择条件①.
由(1)可知， .8 分
由 ,得 (*) 10 分
又由余弦定理得 , 12 分
解得 (**).
由 式得 ,或者 .
因此所求 的值是 或者 .15 分
若选择条件③.
由( 1 )可知， ,8 分
又 , 10 分
所以 ,故 .12 分
所以 ,
化简得 ,得
因此所求 的值是 3 . 15 分
18.设 两点的坐标分别为 ,直线 相交于点 ,且它们的斜率之积为 3,记点 的轨迹为 为坐标原点.
(1)求轨迹 的方程；
(2)过点 的动直线 与 的左、右支交于 两点，且与直线 交于点 . 过点 作直线 ,直线 与直线 分别交于点 .
(i) 证明: 为定值;
(ii) 若 的面积与 的面积之比为 ,求点 的坐标.
【解析】(1) 设动点为 1 分
则由直线 斜率之积为 3,得 , 4 分
整理可得 .
因此轨迹 的方程为 .5 分
(2)(i)设直线 的方程为 ，则 .
由 得, .
故 .8 分
直线 的方程为 ,直线 的方程为 ,
由 解得 .10 分
同理解得 .
故 ,
因此 . 即点 是线段 的中点,因此 为定值. 12 分
(ii) 不妨假设点 在第二象限,点 在第一象限,此时 .
,得 .
由题意 .
由 (i) 得 .
代入 (*) 化简得 , 15 分
得 ,即 ,解得 或 (舍去),
因此 ,代入双曲线得 .
由对称性可得当点 在第四象限时, .
因此点 的坐标为 .17 分
方法二: 由题意
利用 结合 ,可得 .
不妨设 ,则 ,
得 ,得
因此 ,得 .
解得 (负值舍去) .15 分
故 ,因此 ,代入双曲线方程得
因此点 的坐标为 .17 分
方法三: 不妨设 .
因为利用 结合 ,得 ,
由 ,得 ,化简得 ,
解得 . 因此 .15 分
故 ,因此 ,代入双曲线方程得
因此点 的坐标为 . 17 分
19.现有 150 种不同质地的铜币 (替代原试题铜币图)的数量分别为是 ,合计 2026 枚,即 ).
(1)甲乙两人选择1枚铜币 进行抛币游戏，已知每次抛出铜币 ，出现正面向上和反面向上的概率均为 . 游戏规则如下:若抛币者抛出正面向上，则该抛币者得 1 分，另一人不得分, 且由该抛币者继续抛掷; 若抛币者抛出反面向上, 则两人均不得分, 且换另一人进行下一次抛掷.
现由甲第一次抛掷,记抛掷第 次时甲累计得分恰好为 2 分且乙累计得分小于 2 分的概率为 . 例如: 当 时,抛掷结果为: “正正; 正反; 反正; 反反”,此时 .
(1) (i) 计算 的值;
(ii) 记 ,求 ;
(2)丙从这 2026 枚铜币中不放回地取出 150 枚，记取出的这些铜币中共包含 种不同的铜币种类,问: 当铜币 的数量如何分布时,随机变量 的期望 取到最大值, 并说明理由.
【解析】(1) (i) ,
.4 分
(ii) 分为两种情况:
①第一种情况:甲得 2 分，乙得 0 分.此时由乙得 0 分可知:“反面向上”是成对出现的， 所以 必须为偶数,设 ( ). 此时第 次是 “正”,前 次可以看成 组“反 +反”与 1 次“正”的组合,其 种情况,则 ;
②第二种情况:甲得 2 分，乙得 1 分.此时最后一次是“正”，乙得 1 分必须有“反+正+反” 的组合,若干“反+反”组合,还有 1 次“正”,所以 必须是奇数,设 . 此时前 次可看成 1 次 “正”,1 次 “反+正+反”, 组 “反+反”的组合,其 种, 则 且 ;
综上: .8 分 (猜出答案得 2 分, 有分析的过程得 4 分)
故 ,
故 -12 分
(2)记150种不同质地的铜币 ， ， ， 数量为 ， ， ，
记 ,则 , 13 分
故
,只需求 的最小值即可,
记 .14 分
假设
由 得
令 ,可知 单调递减,而 ,即
故 . 15 分
综上: 只要 中有两个数之差大于等于 2,一定能找到 ,使得 ,故 任意两数之差不超过 1 . 16 分
考虑 ,
故 2026 个不同种类铜币中分布: 其中 76 种铜币各有 14 枚,74 种铜币各有 13 枚时, 最大,此时 。铜币

，
...

备注
数量
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调整
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