浙江省湖州、衢州、丽水三地市2026届高三下学期4月二模数学试卷（Word版附解析）

这是一份浙江省湖州、衢州、丽水三地市2026届高三下学期4月二模数学试卷（Word版附解析），共16页。
1．本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．
2．考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上．
3．选择题的答案须用2B铅笔将答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦净．
4．非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内，作图时可先使用2B铅笔，确定后须用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑，答案写在本试题卷上无效．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 函数的最小正周期为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知正方体，E为棱的中点，则下列与直线不互为异面直线的是（ ）．
A. 直线B. 直线C. 直线D. 直线
4. 已知复数（为虚数单位），则（ ）．
A. B. C. D.
5. 已知三组数据：①4，4，4，5，5，5，6，6，6；②3，3，4，4，5，6，6，7，7；③2，2，2，2，5，8，8，8，8的方差分别是，，，则（ ）．
A. B.
C. D.
6. 如图，已知正三角形的边长为2，以B为圆心的圆与直线相切，若点P是圆B上的动点，则的最大值是（ ）．
A. B. C. 4D.
7. 已知为坐标原点，点，动点、在抛物线上，满足．若点关于直线的对称点为，则的最大值是（ ）．
A. B. 9C. D. 8
8. 已知函数的定义域为D，对于任意给定，都存在，使得，则称函数为“倍增友好函数”，则下列函数中不是“倍增友好函数”的是（ ）．
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知等比数列的公比为q，．若，，则下列说法正确的有（ ）．
A. B. C. D.
10. 已知连续型随机变量Y服从正态分布，记函数，，则（ ）．（注：若，则，）
A. B.
C. 的图象关于直线对称D. 的图象关于点对称
11. 已知定义在R的函数和均为奇函数，且满足函数是奇函数，函数是偶函数．若当时，，则（ ）．
A.
B. 对任意，
C. 当且仅当，
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 椭圆的离心率为______．
13. 已知函数，，则函数的单调递增区间是______．
14. 如图所示，有一只内壁呈半球面的小碗，半径为，碗内放了三颗汤圆（视为半径均为的球）．三颗汤圆两两相切，且汤圆与碗的内壁均相切．若汤圆与碗口等高，则______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在三棱锥中，平面平面，和都是边长为的正三角形．
（1）证明：；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．
16. 已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数有极小值，且极小值大于0，求实数的取值范围．（其中是自然对数的底数）
17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．
（1）求的值；
（2）若的面积为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，并求边长a的值．
条件①：；条件②：；条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
18. 设A，B两点的坐标分别为，，直线，相交于点M，且它们的斜率之积为3，记点M的轨迹为W，O为坐标原点．
（1）求轨迹W的方程；
（2）过点的动直线与W的左、右支交于P，Q两点，且与直线交于点C．过点F作直线，直线与直线，分别交于点D，E．
（ⅰ）证明：为定值；
（ⅱ）若的面积与的面积之比为，求点Q的坐标．
19. 现有质地均匀的150种不同的铜币1，2，3，…，150的数量分别为，，，…，，共计2026枚，即．
（1）甲乙两人选择1枚铜币1进行抛币游戏，已知每次抛出铜币1，出现正面向上和反面向上的概率均为．游戏规则如下：若抛币者抛出正面向上，则该抛币者得1分，另一人不得分，且由该抛币者继续抛掷；若抛币者抛出反面向上，则两人均不得分，且换另一人进行下一次抛掷．
现由甲第一次抛掷，记抛掷第n次时甲累计得分恰好为2分且乙累计得分小于2分的概率为．例如：当时，抛掷结果为：“正正；正反；反正；反反”，此时．
（1）（ⅰ）计算，，，的值；
（ⅱ）记，求；
（2）丙从这2026枚铜币中不放回地随机抽取150枚，记抽取的150枚铜币中共包含X种不同的铜币种类，问：当铜币1，2，3，…，150的数量如何分布时，随机变量X的期望取到最大值，并说明理由．