2026届吉林省长春市高考适应性考试数学试卷（含答案解析）

这是一份2026届吉林省长春市高考适应性考试数学试卷（含答案解析），共100页。试卷主要包含了若，则实数的大小关系为，已知为圆等内容，欢迎下载使用。
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列不等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
2．如果实数满足条件，那么的最大值为（ ）
A．B．C．D．
3．设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=AB，则集合中的元素共有 （ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
4．函数的部分图像如图所示，若，点的坐标为，若将函数向右平移个单位后函数图像关于轴对称，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
5．若，则实数的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数，若函数的所有零点依次记为，且，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知为圆：上任意一点，，若线段的垂直平分线交直线于点，则点的轨迹方程为( )
A．B．
C．（）D．（）
8．下列与函数定义域和单调性都相同的函数是（ ）
A．B．C．D．
9．已知函数，方程有四个不同的根，记最大的根的所有取值为集合，则“函数有两个零点”是“”的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
10．如图1，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，问折者高几何? 意思是:有一根竹子, 原高一丈（1丈=10尺）, 现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为（ ）尺.
A．B．C．D．
11．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，，则D．若，，，则
12．若的内角满足，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若，则的最小值是______.
14．运行下面的算法伪代码，输出的结果为_____．
15．已知数列的前项满足，则______.
16．在数列中，，则数列的通项公式_____.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）新型冠状病毒肺炎疫情发生以来，电子购物平台成为人们的热门选择.为提高市场销售业绩，某公司设计了一套产品促销方案，并在某地区部分营销网点进行试点.运作一年后，对“采用促销”和“没有采用促销”的营销网点各选取了50个，对比上一年度的销售情况，分别统计了它们的年销售总额，并按年销售总额增长的百分点分成5组：，分别统计后制成如图所示的频率分布直方图，并规定年销售总额增长10个百分点及以上的营销网点为“精英店”.
（1）请你根据题中信息填充下面的列联表，并判断是否有的把握认为“精英店与采用促销活动有关”；
（2）某“精英店”为了创造更大的利润，通过分析上一年度的售价 (单位：元)和日销量 (单位：件) 的一组数据后决定选择 作为回归模型进行拟合.具体数据如下表，表中的 ：
①根据上表数据计算的值；
②已知该公司成本为10元/件，促销费用平均5元/件，根据所求出的回归模型，分析售价定为多少时日利润可以达到最大.
附①：
附②：对应一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为.
18．（12分）已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，与的公共弦的长为.

（1）求的方程；
（2）过点的直线与相交于、两点，与相交于、两点，且与同向，设在点处的切线与轴的交点为，证明：直线绕点旋转时，总是钝角三角形；
（3）为上的动点，、为长轴的两个端点，过点作的平行线交椭圆于点，过点作的平行线交椭圆于点，请问的面积是否为定值，并说明理由.
19．（12分）已知函数
（1）求f(x)的单调递增区间；
（2）△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若且A为锐角，a=3，sinC=2sinB，求△ABC的面积.
20．（12分）如图，在正四棱柱中，已知，.
（1）求异面直线与直线所成的角的大小；
（2）求点到平面的距离.
21．（12分）已知中心在原点的椭圆的左焦点为，与轴正半轴交点为，且.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作斜率为、的两条直线分别交于异于点的两点、.证明：当时，直线过定点.
22．（10分）已知，点分别为椭圆的左、右顶点，直线交于另一点为等腰直角三角形，且.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点的直线与椭圆交于两点，总使得为锐角，求直线斜率的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D
【解析】
根据指数函数、对数函数、幂函数的单调性和正余弦函数的图象可确定各个选项的正误.
【详解】
对于，，，错误；
对于，在上单调递减，，错误；
对于，，，，错误；
对于，在上单调递增，，正确.
故选：.
本题考查根据初等函数的单调性比较大小的问题；关键是熟练掌握正余弦函数图象、指数函数、对数函数和幂函数的单调性.
2．B
【解析】
解：当直线过点时，最大，故选B
3．A
【解析】
试题分析：,,所以，即集合中共有3个元素，故选A．
考点：集合的运算．
4．B
【解析】
根据图象以及题中所给的条件，求出和，即可求得的解析式，再通过平移变换函数图象关于轴对称，求得的最小值.
【详解】
由于，函数最高点与最低点的高度差为，
所以函数的半个周期，所以，
又，，则有，可得，
所以，
将函数向右平移个单位后函数图像关于轴对称，即平移后为偶函数，
所以的最小值为1，
故选：B.
该题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决该题的关键，要求熟练掌握函数图象之间的变换关系，属于简单题目.
5．A
【解析】
将化成以 为底的对数，即可判断 的大小关系；由对数函数、指数函数的性质，可判断出 与1的大小关系，从而可判断三者的大小关系.
【详解】
依题意，由对数函数的性质可得.
又因为，故.
故选:A.
本题考查了指数函数的性质，考查了对数函数的性质，考查了对数的运算性质.两个对数型的数字比较大小时，底数相同，则构造对数函数，结合对数的单调性可判断大小；若真数相同，则结合对数函数的图像或者换底公式可判断大小；若真数和底数都不相同，则可与中间值如1,0比较大小.
6．C
【解析】
令，求出在的对称轴，由三角函数的对称性可得，将式子相加并整理即可求得的值.
【详解】
令，得，即对称轴为.
函数周期，令，可得.则函数在上有8条对称轴.
根据正弦函数的性质可知，
将以上各式相加得：
故选:C.
本题考查了三角函数的对称性，考查了三角函数的周期性，考查了等差数列求和.本题的难点是将所求的式子拆分为的形式.
7．B
【解析】
如图所示：连接，根据垂直平分线知，，故轨迹为双曲线，计算得到答案.
【详解】
如图所示：连接，根据垂直平分线知，
故，故轨迹为双曲线，
，，，故，故轨迹方程为.
故选：.
本题考查了轨迹方程，确定轨迹方程为双曲线是解题的关键.
8．C
【解析】
分析函数的定义域和单调性，然后对选项逐一分析函数的定义域、单调性，由此确定正确选项.
【详解】
函数的定义域为，在上为减函数.
A选项，的定义域为，在上为增函数，不符合.
B选项，的定义域为，不符合.
C选项，的定义域为，在上为减函数，符合.
D选项，的定义域为，不符合.
故选：C
本小题主要考查函数的定义域和单调性，属于基础题.
9．A
【解析】
作出函数的图象，得到，把函数有零点转化为与在（2，4]上有交点，利用导数求出切线斜率，即可求得的取值范围，再根据充分、必要条件的定义即可判断．
【详解】
作出函数的图象如图，
由图可知，，
函数有2个零点，即有两个不同的根，
也就是与在上有2个交点，则的最小值为；
设过原点的直线与的切点为，斜率为，
则切线方程为，
把代入，可得，即，∴切线斜率为，
∴k的取值范围是，
∴函数有两个零点”是“”的充分不必要条件，
故选A．
本题主要考查了函数零点的判定，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，训练了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，试题有一定的综合性，属于中档题．
10．B
【解析】
如图，已知，，
∴，解得 ，
∴，解得 .
∴折断后的竹干高为4.55尺
故选B.
11．C
【解析】
根据空间中直线与平面、平面与平面位置关系相关定理依次判断各个选项可得结果.
【详解】
对于，当为内与垂直的直线时，不满足，错误；
对于，设，则当为内与平行的直线时，，但，错误；
对于，由，知：，又，，正确；
对于，设，则当为内与平行的直线时，，错误.
故选：.
本题考查立体几何中线面关系、面面关系有关命题的辨析，考查学生对于平行与垂直相关定理的掌握情况，属于基础题.
12．A
【解析】
由，得到，得出，再结合三角函数的基本关系式，即可求解.
【详解】
由题意，角满足，则，
又由角A是三角形的内角，所以，所以，
因为，
所以.
故选：A.
本题主要考查了正弦函数的性质，以及三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式的化简、求值问题，着重考查了推理与计算能力.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．8
【解析】
根据，利用基本不等式可求得函数最值.
【详解】
，，当且仅当且，即时，等号成立.时，取得最小值.
故答案为：
本题考查基本不等式，构造基本不等式的形式是解题关键.
14．
【解析】
模拟程序的运行过程知该程序运行后计算并输出的值,用裂项相消法求和即可.
【详解】
模拟程序的运行过程知,该程序运行后执行：
.
故答案为:
本题考查算法语句中的循环语句和裂项相消法求和;掌握循环体执行的次数是求解本题的关键;属于基础题.
15．
【解析】
由已知写出用代替的等式，两式相减后可得结论，同时要注意的求解方法．
【详解】
∵①，
∴时，②，
①－②得，
∴，
又，
∴（）．
故答案为：．
本题考查求数列通项公式，由已知条件．类比已知求的解题方法求解．
16．
【解析】
由题意可得，又，数列的奇数项为首项为1，公差为2的等差数列，对分奇数和偶数两种情况，分别求出，从而得到数列的通项公式.
【详解】
解：∵，
∴①，②，
①﹣②得：，又∵，
∴数列的奇数项为首项为1，公差为2的等差数列，
∴当为奇数时，，
当为偶数时，则为奇数，∴，
∴数列的通项公式，
故答案为：.
本题考查求数列的通项公式，解题关键是由已知递推关系得出，从而确定数列的奇数项成等差数列，求出通项公式后再由已知求出偶数项，要注意结果是分段函数形式．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）列联表见解析，有把握；（2）①；② 元时
【解析】
（1）直接由题意列出列联表，通过计算，可判断精英店与采用促销活动是否有关.
（2）①代入表中数据，结合公式求出；②由①中所得的线性回归方程，若售价为，单价利润为，日销售量为 ，进而可求出日利润，结合导数可求最值.
【详解】
解：（1）由题意知，采用促销中精英店的数量为 ，
采用促销中非精英店的数量为；没有采用促销中精英店的数量为，没有采用促销中非精英店的数量为，列联表为
因为
有的把握认为“精英店与采用促销活动有关”.
（2）①由公式可得：
所以回归方程为
②若售价为，单件利润为，日销售为，
故日利润，解得.
当时，单调递增；
当时，单调递减.
故当售价元时，日利润达到最大为元.
本题考查了独立性检验，考查了线性回归方程的求法，考查了函数最值的求解.在求函数的最值时，常用的方法有：函数图像法、结合函数单调性分析最值、基本不等式法、导数法.其中最常用的还是导数法.
18．（1）；（2）证明见解析；（3）是，理由见解析.
【解析】
（1）根据两个曲线的焦点相同，得到，再根据与的公共弦长为得出，可求出和的值，进而可得出曲线的方程；
（2）设点，根据导数的几何意义得到曲线在点处的切线方程，求出点的坐标，利用向量的数量积得出，则问题得以证明；
（3）设直线，直线，、、，推导出以及，求出和，通过化简计算可得出为定值，进而可得出结论.
【详解】
（1）由知其焦点的坐标为，
也是椭圆的一个焦点，，①
又与的公共弦的长为，与都关于轴对称，且的方程为，
由此易知与的公共点的坐标为，，②
联立①②，得，，故的方程为；
（2）如图，，由得，
在点处的切线方程为，即，令，得，即，，
而，于是，
因此是锐角，从而是钝角.
故直线绕点旋转时，总是钝角三角形；
（3）设直线，直线，、、，
则，
设向量和的夹角为，
则的面积为，
由，可得，同理可得，
故有.
又，故，
则，因此，的面积为定值.
本题考查了圆锥曲线的和直线的位置与关系，考查钝角三角形的判定以及三角形面积为定值的求解，关键是联立方程，构造方程，利用韦达定理，以及向量的关系，得到关于斜率的方程，计算量大，属于难题．
19．（1）（2）
【解析】
（1）利用降次公式、辅助角公式化简解析式，根据三角函数单调区间的求法，求得的单调递增区间.
（2）先由求得，利用正弦定理得到，结合余弦定理列方程，求得，由此求得三角形的面积.
【详解】
（1）函数，
，
由，
得.
所以的单调递增区间为 .
（2）因为且为锐角，所以.
由及正弦定理可得，又，
由余弦定理可得，
解得， .
本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数单调区间的求法，考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于中档题.
20．（1）；（2）.
【解析】
（1）建立空间坐标系，通过求向量与向量的夹角，转化为异面直线与直线所成的角的大小；（2）先求出面的一个法向量，再用点到面的距离公式算出即可．
【详解】
以为原点，所在直线分别为轴建系，
设
所以,
,
所以异面直线与直线所成的角的余弦值为 ，异面直线与直线所成的角的大小为．
（2）因为， ，设是面的一个法向量，
所以有 即 ，令 ， ，故，
又，所以点到平面的距离为.
本题主要考查向量法求异面直线所成角的大小和点到面的距离，意在考查学生的数学建模以及数学运算能力．
21．（1）；（2）见解析.
【解析】
（1）在中，计算出的值，可得出的值，进而可得出的值，由此可得出椭圆的标准方程；
（2）设点、，设直线的方程为，将该直线方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，根据已知条件得出，利用韦达定理和斜率公式化简得出与所满足的关系式，代入直线的方程，即可得出直线所过定点的坐标.
【详解】
（1）在中，，，，
，，，，
因此，椭圆的标准方程为；
（2）由题不妨设，设点，
联立，消去化简得，
且，，
，，，
∴代入，化简得，
化简得，
，，，
直线，因此，直线过定点.
本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中直线过定点的问题，考查计算能力，属于中等题.
22．（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）由题意可知：由，求得点坐标，即可求得椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线，代入椭圆方程，由韦达定理，由，由为锐角，则，由向量数量积的坐标公式，即可求得直线斜率的取值范围．
【详解】
解：（Ⅰ）根据题意是等腰直角三角形
，
，
设由
得
则
代入椭圆方程得
椭圆的方程为
（Ⅱ）根据题意，直线的斜率存在，可设方程为
设
由得
由直线与椭圆有两个不同的交点则
即
得
又
为锐角则
即
②
由①②得或
故直线斜率可取值范围是
本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量数量积的坐标运算，韦达定理，考查计算能力，属于中档题．
采用促销
没有采用促销
合计
精英店
非精英店
合计
50
50
100
采用促销
没有采用促销
合计
精英店
35
20
55
非精英店
15
30
45
合计
50
50
100