上海市奉贤区世界外国语学校2024-2025学年八年级（下）期中数学试卷(含解析)

这是一份上海市奉贤区世界外国语学校2024-2025学年八年级（下）期中数学试卷(含解析)，共10页。试卷主要包含了4分钟等内容，欢迎下载使用。
2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．
3．作图可先使用 2B 铅笔画出，确定后必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔描黑．
一、选择题（共6题，每题3分，满分18分）
1．下列关于的方程一定有实数解的是（ ）
A．B．C．D．
2．用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为关于的方程是（ ）
A．B．C．D．
3．已知一次函数的图象经过第一、二、四象限，那么直线经过（ ）
A．第二、三、四象限B．第一、二、三象限
C．第一、二、四象限D．第一、三、四象限
4．下列命题中，真命题是（ ）
A．对角线相等的四边形是平行四边形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
5．某学校用420元到商场去购买“84”消毒液，经过还价，每瓶便宜0.5元，结果比原来多买了20瓶，若设原价每瓶元，则可列出方程（ ）
A．B．
C．D．
6．图1是变量与变量的函数关系的图象，图2是变量与变量的函数关系的图象，则与的函数关系的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分）：
7．（2分）方程的解为 ．
8．（2分）方程的解是 ．
9．（2分）关于的方程有增根．则 ．
10．（2分）已知直线与直线相交于点，那么点的横坐标是 ．
11．（2分）如果多边形的内角和等于外角和的3倍，那么这个多边形的边数为 ．
12．（2分）已知直线与坐标轴围成的三角形面积为6，则的值为 ．
13．（2分）已知直线与轴和轴的交点分别是和，那么关于的不等式的解集是 ．
14．（2分）如图，在菱形中，的垂直平分线交对角线于点，垂足为点，若，那么的大小为 ．
15．（2分）同学用两幅三角板拼出了如图的平行四边形，内部留白部分也是平行四边形（直角三角板互不重叠）含有相同角的三角板都全等，同一套三角板中的三角形斜边上的高均为6厘米，那么中间留白部分的平行四边形面积为 ．
16．（2分）如图，在△中，，，，为边上一动点（不与端点重合），，，垂足分别为、，为的中点，设的长为，则的取值范围是 ．
17．（2分）当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分割成两个等腰三角形时，我们称这个四边形为“等腰四边形”，其中这条对角线称为这个四边形的“等腰线”．如果凸四边形是“等腰四边形”，对角线是该四边形的“等腰线”，其中，，那么的度数为 ．
18．（2分）“绿波控制系统”就是通过信号控制技术，让车辆在指定的速度下，避免或减少通过多个路口的红灯等待，从而实现道路通行效率最大化的交通信号控制系统，以下是某路段“绿波控制系统”优化前后各指标的平均数据对比：
设“绿波控制系统”优化前的单次红灯平均等待时长为分钟，则的值为 ．
三、解答题（19题8分，20题9分，21题9分，22题10分，23题10分，24题12分，共58分）
19．（8分）．
20．（9分）如图，在中，，交于点，点，在上，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，求证：四边形是菱形．
21．（9分）某学校计划租用7辆客车送275名师生去参加课外实践活动．现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量（指的是每辆客车最多可载该校师生的人数）和租金如下表．设租用甲种型号的客车辆，租车总费用为元．
（1）求与的函数解析式（不需要写定义域）；
（2）如果使租车总费用不超过10200元，一共有哪几种租车方案？
（3）在（2）的条件下，选择哪种租车方案最省钱？此时租车的总费用是多少元？
22．（10分）小明和小丽在跑步机上慢跑锻炼．小明先跑，10分钟后小丽才开始跑，小丽跑步时中间休息了两次．跑步机上档比档快40米分、档比档快40米分．小明与小丽的跑步相关信息如下表所示，跑步累积里程（米与小明跑步时间（分的函数关系如图所示．
（1）求、、各档速度（单位：米分）；
（2）求小丽两次休息时间的总和（单位：分）；
（3）小丽第二次休息后，在分钟时两人跑步累积里程相等，求的值．
23．（10分）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，矩形的顶点在第一象限的反比例函数图象上，过点作．垂足为，设．
（1）直接写出点、的坐标及的大小；
（2）求点的坐标（用含的式子表示）；
（3）已知直线与反比例函数图象都经过第一象限的点，联结，如果轴，求的值．
24．（12分）综合与实践课上，邬老师带领学生们分小组进行折叠矩形纸片的探究活动．
【折叠实验】第一步：如图1，把矩形纸片对折，使边、重合，再展开，折痕与交于点．
第二步：如图2，在边上取点，沿折叠矩形，点的对应点为．延长交于点，将纸片沿过点的直线折叠，使的对应点落在上，折痕与边交于点．
【初步发现】探究图2中与的位置关系，并证明你的结论；
【深入探究】勤学小组的同学们选用了如图3所示的矩形纸片，选取的点与点重合，按步骤折叠后发现，点、、共线，请你帮他们求出的值；
【拓展延伸】奋进小组的同学们选取了，的矩形纸片，按步骤进行多次折叠（选取不同位置的点，且第二步折叠中，折痕与边交于点，把纸片展开后，联结（如图是奋进小组的一次折叠样例）．请你解决：当△为直角三角形时，求的长．
参考答案
一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分）
1．下列关于的方程一定有实数解的是（ ）
A．B．C．D．
解：、方程化简为，，故不符合题意；
、方程中，左边要求，而右边在时为负数，两边无法相等，不符合题意；
、方程的判别式△，有两个实数根和，故符合题意；
、方程化简得，解得，但此时分母为零，故不符合题意；
故选：．
2．用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为关于的方程是（ ）
A．B．C．D．
解：设，
方程化为，
整理得：．
故选：．
3．已知一次函数的图象经过第一、二、四象限，那么直线经过（ ）
A．第二、三、四象限B．第一、二、三象限
C．第一、二、四象限D．第一、三、四象限
解：一次函数的图象经过第一、二、四象限，
，，
经过一、三、四象限．
故选：．
4．下列命题中，真命题是（ ）
A．对角线相等的四边形是平行四边形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
解：．对角线相等的四边形不一定是平行四边形，故是假命题，不符合题意；
．对角线相等的平行四边形是矩形，故是真命题，符合题意；
．对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故是假命题，不符合题意；
．对角线相等且垂直平分的四边形是正方形，故是假命题，不符合题意；
故选：．
5．某学校用420元到商场去购买“84”消毒液，经过还价，每瓶便宜0.5元，结果比原来多买了20瓶，若设原价每瓶元，则可列出方程（ ）
A．B．
C．D．
解：由题意得，
故选：．
6．图1是变量与变量的函数关系的图象，图2是变量与变量的函数关系的图象，则与的函数关系的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
解：由图1可设，为常数，且，，由图2可设为常数，，
将代入得：，
与的函数关系为一次函数关系，
，，，
，，
与的函数图象过一、二、四象限．
故选：．
二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分）：
7．（2分）方程的解为 3 ．
解：两边平方得：
，
解方程得：，，
检验：当时，方程的左边右边，所以为原方程的解，
当时，原方程的左边右边，所以不是原方程的解．
故答案为3．
8．（2分）方程的解是 ．
解：因式分解可得：
，
，
，
，
解得，
故答案为：．
9．（2分）关于的方程有增根．则或 ．
解：
，
，
，
原方程有增根，
或，
或，
或，
故答案为：或．
10．（2分）已知直线与直线相交于点，那么点的横坐标是 ．
解：将代入得：，
解得：，
点的横坐标是．
故答案为：．
11．（2分）如果多边形的内角和等于外角和的3倍，那么这个多边形的边数为 8 ．
解：设这个多边形的边数为，多边形的内角和等于外角和的3倍，
根据题意得：，
解得：，
故答案为：8．
12．（2分）已知直线与坐标轴围成的三角形面积为6，则的值为 ．
解：直线中，
当时，，当时，
直线与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为，
此直线与坐标轴围成的三角形的面积为，
解得，
故答案为：．
13．（2分）已知直线与轴和轴的交点分别是和，那么关于的不等式的解集是 ．
解：把和代入得，解得，
所以一次函数解析式为，
解不等式得．
故答案为．
14．（2分）如图，在菱形中，的垂直平分线交对角线于点，垂足为点，若，那么的大小为 ．
解：由线段垂直平分线可知，，
，
四边形是菱形，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
15．（2分）同学用两幅三角板拼出了如图的平行四边形，内部留白部分也是平行四边形（直角三角板互不重叠）含有相同角的三角板都全等，同一套三角板中的三角形斜边上的高均为6厘米，那么中间留白部分的平行四边形面积为平方厘米 ．
解：过点，分别作，，
由题意得，，，，，
四边形为矩形，，
，
，
，
，
，
，
，
，△为等腰直角三角形，
，
，
在△中，，
，
，
而，
，
，
即中间留白部分的平行四边形的面积为平方厘米，
故答案为：平方厘米．
16．（2分）如图，在△中，，，，为边上一动点（不与端点重合），，，垂足分别为、，为的中点，设的长为，则的取值范围是 ．
解：如图，连接，
，，，
，
△是直角三角形，且，
，，
，
四边形是矩形，
，
，为中点，
，
当时，值最小，
此时，
的最小值为，
，
即，
当和重合时，，
和、不重合，
，
，
，
即
故答案为：．
17．（2分）当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分割成两个等腰三角形时，我们称这个四边形为“等腰四边形”，其中这条对角线称为这个四边形的“等腰线”．如果凸四边形是“等腰四边形”，对角线是该四边形的“等腰线”，其中，，那么的度数为 ．
解：凸四边形是“等腰四边形”，对角线是该四边形的“等腰线”，
和为等腰三角形．
由于，在中分两种情形：①，②．
当①时，如图：
，．
．
为等边三角形．
．
，
．
，
．
当②时，如图，
过点作，过点作，交延长线于点，
，，
．
，，，
四边形为矩形．
．
，
．
在中，，
．
，
．
，
．
，
．
综上，．
故答案为：．
18．（2分）“绿波控制系统”就是通过信号控制技术，让车辆在指定的速度下，避免或减少通过多个路口的红灯等待，从而实现道路通行效率最大化的交通信号控制系统，以下是某路段“绿波控制系统”优化前后各指标的平均数据对比：
设“绿波控制系统”优化前的单次红灯平均等待时长为分钟，则的值为 1 ．
解：设“绿波控制系统”优化前的单次红灯平均等待时长为分钟，
根据题意得，
解得：，
的值为1．
故答案为：1．
三、解答题（19题8分，20题9分，21题9分，22题10分，23题10分，24题12分，共58分）
19．（8分）．
解：，
将①因式分解得：，
或，
将②因式分解得：，
或，
原方程化为：，，，，
解这些方程组得：，，，．
原方程组的解为：，，，，
20．（9分）如图，在中，，交于点，点，在上，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，求证：四边形是菱形．
【解答】证明：（1）在中，，，
．
，
四边形是平行四边形；
（2）四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
平行四边形为菱形，
，
平行四边形是菱形．
21．（9分）某学校计划租用7辆客车送275名师生去参加课外实践活动．现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量（指的是每辆客车最多可载该校师生的人数）和租金如下表．设租用甲种型号的客车辆，租车总费用为元．
（1）求与的函数解析式（不需要写定义域）；
（2）如果使租车总费用不超过10200元，一共有哪几种租车方案？
（3）在（2）的条件下，选择哪种租车方案最省钱？此时租车的总费用是多少元？
解：（1）租用甲种型号的客车辆，则租用乙种型号的客车辆，
；
（2）租车总费用不超过10200元，师生共有275人，
，
解得，
为整数，
可取4，5，6，
一共有3种租车方案；
（3）在中，随的增大而增大，又可取4，5，6，
当时，取最小值，最小值为（元，
租用甲种型号的客车4辆，租用乙种型号的客3辆，租车最省钱，租车的总费用是9600元．
22．（10分）小明和小丽在跑步机上慢跑锻炼．小明先跑，10分钟后小丽才开始跑，小丽跑步时中间休息了两次．跑步机上档比档快40米分、档比档快40米分．小明与小丽的跑步相关信息如下表所示，跑步累积里程（米与小明跑步时间（分的函数关系如图所示．
（1）求、、各档速度（单位：米分）；
（2）求小丽两次休息时间的总和（单位：分）；
（3）小丽第二次休息后，在分钟时两人跑步累积里程相等，求的值．
解：（1）小明跑步时间为50分钟，里程4000米，
档速度：（米分），
档速度：（米分），
档速度：（米分）．
（2）小丽第一段跑步时间：（分，
第二段跑步时间：（分，
第三段跑步时间：（分，
小丽总跑步时间： （分，
小丽跑步总时长（小明出发后）（分，
两次休息总时间：（分．
（3）小明里程函数：，
小丽第三段开始时间（小明出发后）（分为休息总时间），
小丽第三段跑步时间：（分，里程：，
由题意：，
解得：，，
即．
23．（10分）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，矩形的顶点在第一象限的反比例函数图象上，过点作．垂足为，设．
（1）直接写出点、的坐标及的大小；
（2）求点的坐标（用含的式子表示）；
（3）已知直线与反比例函数图象都经过第一象限的点，联结，如果轴，求的值．
解：（1）对于直线，令，得，令，得，
，，；
，，
，
；
（2）在矩形中，，
，
，
，
，
，，
，
在△中，，
，
，；
（3）如图，连接，交轴于点，
轴，
，
，且，，，
，且，，
△△
，，
点，，
点，，
当时，，
点坐标为，，
点，点都在反比例函数上，
，
（不合题意舍去），；
，，
．
24．（12分）综合与实践课上，邬老师带领学生们分小组进行折叠矩形纸片的探究活动．
【折叠实验】第一步：如图1，把矩形纸片对折，使边、重合，再展开，折痕与交于点．
第二步：如图2，在边上取点，沿折叠矩形，点的对应点为．延长交于点，将纸片沿过点的直线折叠，使的对应点落在上，折痕与边交于点．
【初步发现】探究图2中与的位置关系，并证明你的结论；
【深入探究】勤学小组的同学们选用了如图3所示的矩形纸片，选取的点与点重合，按步骤折叠后发现，点、、共线，请你帮他们求出的值；
【拓展延伸】奋进小组的同学们选取了，的矩形纸片，按步骤进行多次折叠（选取不同位置的点，且第二步折叠中，折痕与边交于点，把纸片展开后，联结（如图是奋进小组的一次折叠样例）．请你解决：当△为直角三角形时，求的长．
解：（1）；
证明：四边形是矩形，
，
，
，，
，
；
（2）如图（3），连接，设，，
，，
，
由题意知，
在△和△中，
，
△△，
，
，
，
由（1）知，
△△，
，
，
，
，
，，
，
，
；
（3）当时，如图（4），
，
，，
四边形是正方形，
；
当时，如图（5），过点作于点，
，
，
，
，
△△，
，
；
，
，
，
，
△△，
，
，
；
综上，的长为2或．
指标
优化前
优化后
备注
行程总时间
25.4分钟
12分钟
行程总时间红灯等待时间行驶时间．如：若汽车经过一路段的行程总时间为20分钟，红灯等待时间共计2分钟，则行驶时间为18分钟．
红灯等待次数
7次
1次
单次红灯平均等待时长
为优化前的
行驶速度
500米分钟
800米分钟
行驶速度总路程行驶时间
型号
载客量（人辆）
租金（元辆）
甲
45
1500
乙
33
1200
时间
里程分段
速度档
跑步里程
小明
不分段
档
4000米
小丽
第一段
档
1800米
第一次休息
第二段
档
1200米
第二次休息
第三段
档
1600米
指标
优化前
优化后
备注
行程总时间
25.4分钟
12分钟
行程总时间红灯等待时间行驶时间．如：若汽车经过一路段的行程总时间为20分钟，红灯等待时间共计2分钟，则行驶时间为18分钟．
红灯等待次数
7次
1次
单次红灯平均等待时长
为优化前的
行驶速度
500米分钟
800米分钟
行驶速度总路程行驶时间
型号
载客量（人辆）
租金（元辆）
甲
45
1500
乙
33
1200
时间
里程分段
速度档
跑步里程
小明
不分段
档
4000米
小丽
第一段
档
1800米
第一次休息
第二段
档
1200米
第二次休息
第三段
档
1600米