浙江四校（含精诚联盟）2025-2026学年高二下学期3月阶段检测数学试卷（Word版附解析）

这是一份浙江四校（含精诚联盟）2025-2026学年高二下学期3月阶段检测数学试卷（Word版附解析），共3页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试题
一、单选题
1．直线的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
2．已知为空间的一组基底，则下列向量也能作为空间的一组基底的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
3．已知随机变量X服从正态分布，且，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知双曲线：，其一条渐近线被圆截得的弦长为（ ）
A．1B．2C．D．
5．6名同学排成一排，其中甲､乙两人必须在一起的不同排法共有（ ）
A．720B．360C．240D．120
6．已知圆：，直线：，设为圆上的一动点，则点到直线的最大距离为（ ）
A．4B．5C．7D．13
7．已知函数在处取得极大值，则的值是（ ）
A．3B．2C．1D．0
8．已知等比数列的前项和为，前项积为，则下列选项中正确的是（ ）
A．若，则数列严格增
B．若，则数列严格增
C．若数列严格增，则
D．若数列严格增，则
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．若，则的值为3或2
B．若数据，，，…，的标准差为，则，，，…，的标准差为
C．二项式的展开式中第二项与第四项的二项式系数相等
D．若5名教师分到4所学校任教，每所学校至少分配1名教师，则分配方法有480种
10．已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A． 有两个极值点
B．当时，在上是增函数
C．当时，在上的最大值是1
D．当时，点是曲线的对称中心
11．已知抛物线：的焦点为，的准线与轴交于点，过的一条直线与交于，两点，过，作的垂线，垂足分别为，，则（ ）
A．准线的方程为B．
C．直线与的斜率之和为0D．与的面积相等
三、填空题
12．二项式展开式中常数项为______．
13．若，，，则______.
14．已知点在双曲线：（，）上，到两渐近线的距离为，，若恒成立，则的离心率的取值范围为______.
四、解答题
15．已知等差数列和等比数列满足，.
(1)求数列，通项公式
(2)设数列中满足，求和
16．如图，在四棱锥中，平面，且，，，，，为的中点．

(1)求证：平面；
(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
17．年春节期间，某服装超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过元（含元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有个形状、大小完全相同的小球（其中红球个，黑球个）的抽奖盒中，一次性摸出个球，其中奖规则为：若摸到个红球，享受免单优惠；若摸出个红球则打折，若摸出个红球，则打折；若没摸出红球，则不打折.方案二：从装有个形状、大小完全相同的小球（其中红球个，黑球个）的抽奖盒中，有放回每次摸取球，连摸次，每摸到次红球，立减元.
（1）若两个顾客均分别消费了元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；
（2）若某顾客消费恰好满元，试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？
18．已知函数．
(1)求在处的切线方程；
(2)若对任意的恒成立，求实数m的取值范围；
(3)若是函数的极值点，求证：．
19．已知椭圆的离心率为分别是椭圆的右顶点，上顶点，且.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线与椭圆交于两点，其中点在第一象限，点不在轴上，设直线的斜率分别为.
（i）求证：为定值；
（ii）设直线与轴交于点，求的面积的最大值.
参考答案
1．C
【详解】设直线的倾斜角为，
由题可知，直线斜率为，则，
又，
所以直线的倾斜角是．
2．B
【详解】对于A，因，即共面，故A不合题意；
对于B,因，，其中任何一个向量都不能用另外两个向量表示，故，，不共面，即B符合题意；
对于C，因，即，，共面，故C不合题意；
对于D，因，即，，共面，故D不合题意.
故选：B.
3．D
【详解】根据题意可得，，
则.
故选:D
4．D
【详解】双曲线：的渐近线方程为，
圆，圆心，半径，
因为双曲线与圆都关于轴对称，
故取其中一条渐近线，
圆心到的距离，
故所求的弦长为.
5．C
【详解】先将甲､乙两人排成一排共种排法，将甲､乙两人看成一个元素，然后与其余4人一起排成一排，共有种，所以甲､乙两人在一起的不同排法共有种排法.
故选：C
6．C
【详解】由题意得圆心，半径为3，
因为直线：，所以直线过定点，
数形结合可知，圆心到直线的最大距离，
所以点到直线的最大距离为．
7．A
【详解】函数，有，
在处取得极大值，则有，解得或，
当时，，
，解得或；，解得，
则在和上单调递增，在上单调递减，
在处取得极小值，不合题意；
当时，，
，解得或；，解得，
则在和上单调递增，在上单调递减，
在处取得极大值，满足题意，所以.
8．D
【详解】设等比数列,,
对于A，由，得，则，即，
所以当时，满足，但不是单调递增，故A错误；
对于B，由，得，则，
所以当时，满足，满足，但不是单调递增，故B错误；
对于C，当时，由，，此时满足数列单调递增,但，
故C错误；
对于D，由数列是单调递增，则，所以,故，
即，所以，且，
又因为所以即，故D正确.
故选:D
9．AB
【详解】对于A，由组合数的性质可得，解得，
又，所以或，解得或，正确；
对于B，设数据的平均数为，
则数据的平均数为，
由数据的标准差，
则数据的标准差为，正确；
对于C，由二项式的展开式为，
则第二项的二项式系数为，第四项的二项式系数为，错误；
对于D，由题意可知，5位教师的分组情况为2,1,1,1的分组，再分配到4所学校，
所以分配方案有，错误.
10．BCD
【详解】因为，
所以，
当时，，当且仅当时，
函数在上单调递增，
函数没有极大值点也没有极小值点，A错误；
当时，，
当时，，函数在上单调递增，B正确；
当时，，
令可得，或，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
又，
所以函数在上的最大值为1，C正确；
当时，，
，
设，
则，，
所以函数为奇函数，
所以函数的图象关于原点对称，
所以函数关于点对称，D正确.
故选：BCD.
11．ACD
解：选项A，由抛物线的定义知，，选项A正确；
选项B，因为轴，所以，
若，则，
即，显然该等式不一定成立，故选项B错误；
选项C，设，，且，
由题意知，直线的斜率一定存在，且不为0，
设其方程为，联立，消去得，，
因为直线与抛物线有两个交点，所以，
即：，得：或，当时， ，
所以，且，
由韦达定理知：，，所以
，故选项C正确；
选项D，的面积
，
的面积，
所以与的面积相等，故选项D正确.
12．45
【详解】由题意，二项式的展开式的通项为，
令，得，
可得，即展开式的常数项是.
故答案为：.
13．
【详解】因为，则
又因为，则
所以
14．
【详解】双曲线：（，）的两条渐近线的方程为和，
点到两条渐近线的距离之积为，
而恒成立，又因为的最小值为，
故只需，又点满足双曲线的方程，
，，即，
则的离心率，.
15．(1)，
(2)
【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
则，解得，
，
，解得，
，
即，；
（2）由（1）得，
.
16．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）过作于点，则，，
由于平面，平面，所以，
以为原点，所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
因为为的中点，所以，
所以，
设平面的法向量为，则，
令，则，
所以平面的法向量为，
因为，所以，
又因为平面，所以平面
（2）由（1）知，，平面的法向量为，
设平面的法向量为，则，
故可设，
所以，
故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.

17．（1）；（2）选择第一种抽奖方案更合算.
【详解】（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球，
设顾客享受到免单优惠为事件，则，
所以两位顾客均享受到免单的概率为；
（2）若选择方案一，设付款金额为元，则可能的取值为、、、.
，，
，.
故的分布列为，
所以（元）.
若选择方案二，设摸到红球的个数为，付款金额为，则，
由已知可得，故，
所以（元）.
因为，所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算.
18．(1)；
(2)；
(3)证明见解析.
【详解】（1）函数，求导得，则，而，
所以函数的图象在处的切线方程为.
（2）不等式，
令，依题意，对任意的恒成立，
而，当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，，则，
所以实数m的取值范围是.
（3）依题意，，求导得，令，
求导得在上恒成立，
则函数在上单调递增，由是函数的极值点，
得，即，由，则，
所以.
19．(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）.
【详解】（1）因为椭圆的离心率为，
所以，即；
因为，
又，
解得，
所以椭圆C的标准方程为.
（2）（i）设直线的方程为，其中，且，
联立方程组，
整理得，
所以.
所以
故为定值.
（ii）直线的方程为，令，得，故，
设直线与轴交于点，直线的方程为，
令，得，故；
由（i）可知，故，所以点是线段的中点，
故的面积，其中为点到直线的距离.
显然，当过点且与直线平行的直线与椭圆相切时，取最大值.
设直线的方程为，即，
联立
整理得，由，解得.
所以平行直线与之间的距离为，
即的最大值为，
此时的面积为，
所以的面积的最大值为.