云南省三校联考2025-2026学年高一下学期开学考试数学试卷（Word版附解析）

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第Ⅰ卷（选择题，共58分）
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 已知集合，，则（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】C
解析：因为，，
所以或，则．
2 若，则（ ）
A. 8B. 27C. 64D. 3
【答案】A
解析：由，得，则，
所以.
3. 命题“”的一个充分不必要条件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
解析：因为，解得，
故不等式的解集为，
因此，不等式“”的一个充分不必要条件是该不等式解集的真子集，只有C满足．
4. 已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
解析：因为，所以，
又，则，
所以，则，
故.
5. 若，，，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
解析：因为，所以，
，
即，，
则，，
可得，
所以.
6. 若为偶函数，满足，，则的值为（ ）．
A. B. 2C. 1013D. 2026
【答案】C
解析：∵函数为偶函数，
∴，
∵，
∴，
则，
即为周期函数，且周期为6，
故．
7. 函数的图象的对称中心为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
解析：，
故函数是由函数向左平移2个单位变为，
再将图象向下平移1个单位得到，
∵对称中心为，∴函数的对称中心为．
8. 已知点在直线上，且在第一象限，则的最小值为（ ）．
A B. C. D.
【答案】B
解析：∵点在直线上，且在第一象限，
∴，则，
由，
当且仅当，即时等号成立，
∴的最小值为.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9. 已知为锐角，且，则下列选项正确的有（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】ABD
解析：∵，
∴，
∵为锐角，
∴，A正确；
∵，两边同时平方得，
∴，B正确；
∵，又为锐角，
∴，C错误；
联立与可得，，故，D正确．
10. 函数的部分图象如图所示，则（ ）．
A. B. 在上单调递增
C. D. 的图象关于点对称
【答案】BC
解析：从图象可知：，该函数的最小正周期满足，解得，
则，故，
将点代入解析式，得，
因为，所以，所以，解得，A错误；
故，，C正确；
当时，，
故的图象不关于点对称，D错误；
又，当时，，
上单调递增，
故在上单调递增，B正确．
11. 同学们，你们是否注意到；自然下垂的铁链；空旷田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深涧的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线相关理论在工程､航海､光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数表达式可以为（其中a，b是非零常数，无理数e=2.71828…），对于函数，以下结论正确的是（ ）
A. 如果a=b，那么为奇函数B. 如果，那么为单调函数
C. 如果，那么没有零点D. 如果，那么的最小值为2
【答案】BC
解析：解：对于A：当时，函数，此时为偶函数，故A错误.
对于B：当时，令，函数在其定义域上为单调递增函数，函数在其定义域上也为单调递增函数，故函数在其定义域上为单调递增函数；
当，函数在其定义域上为单调递减函数，函数在其定义域上也为单调递减函数，故函数在其定义域上为单调递减函数；
综上，如果，那么为单调函数；故B正确.
对于C：当时，函数，
当时，函数；
综上，如果，那么函数没有零点；故C正确.
对于D：由，则，
当时，函数；
当时，函数；
故时，函数没有最小值，故D错误.
故选：BC.
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
注意事项：第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知，则______．
【答案】
解析：∵，
∴．
13. 已知a，b为方程的两个根，则______．
【答案】
解析：原方程变形为．
令，则，解得或 ，
当时，可得；当时，可得，
即方程的两根分别为、，故．
14. 函数的零点个数为________.
【答案】3
解析：由题意，令，则，即，
故求函数的零点个数，等价于函数与图象交点个数，
对于函数，两函数可作图如下：
则，令，解得，易知，
，结合图象，可得两函数有三个交点，
故函数有三个零点.
故答案为：.
四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
15. 已知，．
（1）求；
（2）求的值．
【答案】（1）
（2）
解析：
（1）由，则；
（2）由．
16. 已知函数．
（1）当时，，恒成立，求实数a的取值范围；
（2）若函数图象的顶点M在第二象限，且经过点，与x轴的另一个交点为C，求实数a的取值范围.
【答案】（1）；
（2）.
解析：
（1）
由，得，
当时，恒成立，当时，，解得，
所以实数a的取值范围是.
（2）
依题意，，由的图象过点，得，即，
因此，
由顶点在第二象限，得，解得，
所以实数a的取值范围是.
17. 已知函数．
（1）判断函数的奇偶性，并证明；
（2）判断函数在上的单调性，并证明．
【答案】（1）既不是奇函数也不是偶函数，证明见解析
（2）在单调递增，在单调递减，证明见解析
解析：
（1）
函数既不是奇函数也不是偶函数．
证明：要使函数有意义，则，
解得，所以的定义域是，
因为函数的定义域不关于原点对称，
所以函数既不是奇函数也不是偶函数．
（2）
函数在单调递增，在单调递减.
证明：令，，
所以函数在单调递增，在单调递减，
令，则，
由指数函数性质可知在上单调递增，
根据复合函数的单调性可得，在单调递增，在单调递减．
18. 把函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于y轴对称．
（1）求函数的解析式；
（2）若在区间上存在最大值，求实数a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
解析：
（1）因为，
所以把的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，
因为图象关于y轴对称，则，，，
又因为，所以，．
（2）
由，，，
当时，的单调递增区间为，
因，则在上单调递增，
若函数在上存在最大值，
由于在上单调递增，且，
即时取得最大值，所以，
即实数a的取值范围为．
19. 已知函数．
（1）证明：，，，；
（2）求不等式的解集．
【答案】（1）证明见解析
（2）
解析：
（1）
，
因为且，根据均值不等式，
且，所以分子，分母，
故，即．
（2）
函数的定义域为，关于原点对称，
因为，所以是奇函数，
又因为幂函数的指数，所以在上单调递减，根据奇函数的性质，在上也单调递减，
由得，
因为是奇函数，所以，则不等式变为，
由于在和上均单调递减，需分情况讨论：
当且时，即，由单调性得，解得，结合得；
当且时，即且，无解；
当与异号时：
且，即，此时，不等式不成立；
且，即，此时，不等式成立；