2026年安徽合肥市五十中学新校九年级中考一模数学试卷.（含解析）

这是一份2026年安徽合肥市五十中学新校九年级中考一模数学试卷.（含解析），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每题4分，共40分）
1. 2026的相反数是（ ）
A. B. 2026C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据相反数的定义即可求解．
【详解】解：的相反数是．
2. 2025年政府工作报告中指出，截至2025年底，中国新能源汽车保有量为4397万辆，其中4397万用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】科学记数法的形式为，其中，为整数，确定和的值即可求解．
【详解】∵ 万，将原数表示为科学记数法时，得到，满足，原数小数点向左移动了位，
∴ ，即43970000=4.397×107，
故选：D．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据运算法则，对每一个选项进行计算排除即可．
【详解】A、与不是同类项，不可以合并，故选项计算错误，不符合题意；
B、，故选项计算正确，符合题意；
C、与不是同类项，不可以合并，故选项计算错误，不符合题意；
D、，故选项计算错误，不符合题意；
故选：．
本题主要考查单项式乘单项式，积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，解答的关键是熟练掌握相应的运算法则及其应用．
4. 砚台与笔、墨、纸是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具．如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】解：它的俯视图是，
故选：C．
5. 已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置，其中斜边与直线n交于点D．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】在左边作，由三角板可得，，根据拐点模型得到求出，再根据∠2=180°−∠BAC−∠3计算即可．
【详解】解：在左边作，
由三角板可得，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴∠2=180°−∠BAC−∠3=180°−25°−90°=65°．
6. 每周五下午的社团课是学校的特色课程，同学们可以选择自己喜欢的课程．小明和小丽从“篮球课”“思辨课”“机器人课”三种课程中随机选择一种参加，则两人恰好选择同一种课程的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】画出树状图，先确定所有等可能的选择结果数，再找出两人恰好选择同一种课程的结果数，代入概率公式计算即可．
【详解】记三种课程分别为篮球课，思辨课，机器人课，
画树状图为：
∵共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一课程的结果数为3，
∴两人恰好选择同一课程的概率．
7. 如图，是的直径，弦交于点，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，三角形外角的性质，连接，先由直径所对的圆周角是直角得到，进而得到，再根据同弧所对的圆周角相等得到，即可利用三角形外角的性质得到．
【详解】解：如图所示，连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
故选：A．
8. 如图，菱形中，，点G、H分别在、上，，，，则菱形的边长为（ ）
A. B. C. 8D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】连接，由菱形中，，得到，是等边三角形，则，，再根据结合一线三等角模型证明，得到，代入解方程即可．
【详解】解：连接，
∵菱形中，，
∴，，，
∴是等边三角形，
∴，，
设，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
整理得，
解得，
∵，
∴，
即菱形的边长为．
9. 已知两个实数a、b，满足，且、，则的最小值是（ ）
A. B. 0C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】本题先根据已知条件用a表示b，结合a、b的非负性求出a的取值范围，3a−b=3a−1−2a=5a−1，利用不等式的性质求最小值．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴a≥01−2a≥0，
解得，
将代入得3a−b=3a−1−2a=5a−1，
∴0≤5a≤52，
∴−1≤5a−1≤32，
∴当时，取得最小值，最小值为．
10. 如图，中，，，P，Q两点同时从点A出发，均以1个单位每秒的速度分别沿着，运动，则的面积与运动时间x之间的函数图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分三种情况讨论，①当时，过点作，交于点，得到，，推出，为二次函数；②当时，过点作，交于点，过点作，交于点，得到，高为，推出，为一次函数；③当时，过点作，交于点，反向延长交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，得到，，，，，根据，得到，为二次函数．
【详解】解：①当时，过点作，交于点，
∴，，
∴，为二次函数；
②当时，过点作，交于点，过点作，交于点，
∵,
∴高为，
∴，为一次函数；
③当时，如图所示，过点作，交于点，反向延长交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，
∵中，，
∴，
∵，，，，，
∴，
，
，
，
∴，为二次函数，开口向下．
二、填空题（每题5分，共20分）
11. 计算：______．
【答案】2
【解析】
【分析】先计算算术平方根，再计算减法即可．
【详解】解：．
12. 分解因式：_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解的知识，灵活运用提公因式法和完全平方公式是解答本题的关键．
先提取公因式x，再利用完全平方公式即可作答．
【详解】解：，
故答案为：．
13. 如图，A、B是第二象限内双曲线上的点，A、B两点的横坐标分别是a，，线段的延长线交x轴于点C，．则k的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】设，，，过作轴于，过作轴于，则，得到，，代入对应线段长度解得，最后根据S△AOC=12AD⋅OC=12⋅ka⋅−4a=8解方程即可．
【详解】解：过作轴于，过作轴于，则，
∴，
∴，
∵A、B是第二象限内双曲线上的点，A、B两点的横坐标分别是a，，
∴，，
设，
∴，，，，，
∴，
解得，
∴，
∵．
∴S△AOC=12AD⋅OC=12⋅ka⋅−4a=8，
解得．
14. 如图，在矩形纸片中，，，E为边的中点，点F在边上，连接，将沿翻折，点D的对应点为，连接，若，（1）连接，则______；（2）______．
【答案】 ①. ##30度 ②.
【解析】
【分析】连接，延长交的延长线于H，根据折叠的性质及矩形的性质，证明，进而得到为直角三角形，即可求；设，则，，证明为等腰三角形，求出，即可解答．
【详解】解：如图，连接，延长交的延长线于H，
∵矩形中，，，E为边的中点，
∴，，
∵将沿翻折，点D的对应点为，
∴，，，
则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为直角三角形，
∴，
∴；
设，则，，
∴，，
∴，
∴为等腰三角形，
∴，
∴，
∴．
故答案为：，．
三、解答题（15，16，17，18题每题8分，19，20题每题10分，21，22题每题12分，23题14分）
15. 解不等式：．
【答案】
【解析】
【详解】解：整理得，
移项得，
合并同类项得，
系数化为1得．
16. 《九章算术》记载：“今有善田一亩，价三百；恶田一亩，价五十．今并买顷，价钱一万，问善田恶田各几何？”其译文是好田300钱一亩，坏田50钱一亩，合买好田、坏田100亩，共需10000钱，问好田、坏田各买了多少亩？
【答案】好田买了20亩，坏田买了80亩
【解析】
【详解】解：设好田、坏田分别买了、亩，
由题意可得x+y=100300x+50y=10000，
解得，
∴好田买了20亩，坏田买了80亩
17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，已知点，．
（1）画出线段；
（2）将线段向右平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段，画出线段；
（3）以O为位似中心，在第三象限内把线段缩小到原来的一半，得到线段，画出线段．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）在直角坐标系中标出点A、B，再连接即可；
（2）根据平移性质得到对应点的位置，再连接即可；
（3）连接、，分别取、的中点，再连接即可．
【小问1详解】
解：线段如图所示；
【小问2详解】
解：线段如图所示；
【小问3详解】
解：线段如图所示．
18. 观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式 ；
（2）写出你猜想的第n（n为正整数）个等式：（用含n的等式表示），并证明．
【答案】（1）
（2），证明见解析
【解析】
【小问1详解】
解：第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
第5个等式：，
第6个等式：；
【小问2详解】
解：根据前面的式子规律可得第n（n为正整数）个等式：，证明如下：
19. 项目式学习：某数学实践小组观测太阳高度角（太阳光线与地平面的夹角）与物体影长的关系，并借助相关知识探究合肥骆岗公园“大蘑菇”的高度．下面是小组成员进行交流展示时的部分资料及实践结果，请同学们分析成果展示并完成任务：
项目任务：请你求出“大蘑菇”的高度（注意：计算结果保留整数）．
【答案】约61米
【解析】
【分析】延长交于，根据题意得，，，米，设米，则,米，然后根据，即可列方程求解．
【详解】解：延长交于，则四边形为矩形，
∴，，
根据题意得，，，米，
∴，
设米，则,米，
∴，
∴，
解得，
经检验：是原方程的根，
∴米，
答：“大蘑菇”的高度约为米．
20. 如图，在中，、为弦，为直径，于点E，于点F，与相交于点G．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，根据垂径定理得到，则，再根据垂直得到，结合对顶角相等得到，则，最后根据等腰三角形三线合一的性质得到；
（2）连接，设的半径为，即，由，，得到，再根据垂径定理得到，最后在中根据列方程求解即可．
【小问1详解】
证明：连接，
∵为直径，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：连接，
设的半径为，即，
∵，，
∴，
∴，
∵为直径，，，
∴，
∵中，
∴，
解得或（舍去）．
∴的半径为．
21. 为积极响应市委市政府“加快建设天蓝·水碧·地绿的美丽合肥”的号召，我市某街道决定从备选的五种树中选购一种进行栽种，为了更好地了解社情民意，工作人员在街道辖区范围内随机抽取了部分居民，进行“我最喜欢的一种树”的调查活动（每人限选其中一种树），并将调查结果整理后，绘制成如图两个不完整的统计图：
请根据所给信息解答以下问题：
（1）这次参与调查的居民人数为： ；
（2）请将条形统计图补充完整．
（3）请计算扇形统计图中“枫树”所在扇形的圆心角度数．
（4）已知该街道辖区内现有居民16万人，请你估计16万人中最喜欢玉兰树的有多少人？
【答案】（1）1000人
（2）见解析 （3）
（4）4万人
【解析】
【分析】（1）根据“银杏树”的人数及其百分比可得总人数；
（2）将总人数减去选择其它4种树的人数可得“樟树”的人数，补全条形图即可；
（3）用样本中“枫树”占总人数的比例乘以可得；
（4）用样本中最喜欢“玉兰树”的比例乘以总人数可得．
【小问1详解】
解：这次参与调查的居民人数有（人）；
【小问2详解】
解：选择“樟树”的有（人），
补全条形图如图：
【小问3详解】
解：，
答：扇形统计图中“枫树”所在扇形的圆心角度数为；
【小问4详解】
解：（万人），
答：估计这16万人中最喜欢玉兰树的约有4万人．
22. 已知：如图1，在中，，为边上的高，平分，分别交，于点F，E．
（1）求证：；
（2）若，，求的长；
（3）如图2，在上取点G使，连接，求证：．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）可证，从而；
（2）先证，得出，即，设，则，在中，，据此列方程求解即可；
（3）在上截取，连接，先证，根据全等三角形的性质得，，从而可证四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质即可得出结论．
【小问1详解】
证明：∵平分，
∴，
∵为边上的高，
∴，
∵，
∴，
∴在和中，，，
∴，
又∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
设，则，
在中，，
，
解得或（舍负），
；
【小问3详解】
证明：在上截取，连接，如图，
在和中，
，
∴，
∴，，
由（2）知，
∴，
∴，
由（1）知，
又∵，，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴．
23. 定义：若两个二次函数的二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y轴交点也相同，则称它们互为亲和同轴二次函数．例如：的亲和同轴二次函数为：．
（1）函数的亲和同轴二次函数为 ．
（2）若函数（且）的亲和同轴二次函数有最大值为5，求a的值．
（3）已知点，分别在二次函数（且）及其亲和同轴二次函数的图像上，比较p，q的大小，并说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）当时，；当时，；当时，；见解析
【解析】
【分析】（1）根据抛物线解析式可得抛物线中a，b，c的值，然后根据定义求解；
（2）求出函数y=1−ax2−21−ax+a2+a+1（且）的亲和同轴二次函数，利用配方或者顶点坐标公式得到顶点的纵坐标值等于5，解方程；
（3）先求出的函数解析式，再将，分别代入、的函数解析式得到、，进而可得p−q=2a−1m2−42a−1m，再根据与零的关系分类讨论，分别解不等式．
【小问1详解】
解：∵中，对称轴为直线，，
∴的亲和同轴二次函数中，对称轴为直线，，
∴的亲和同轴二次函数为；
【小问2详解】
解：由函数y=1−ax2−21−ax+a2+a+1（且）可求得，该函数的亲和同轴二次函数为；
利用配方或者顶点坐标公式得，4aa2+a+1−4a24a=5，
解得，
函数有最大值，
；
【小问3详解】
解：由函数（且）可求得，该函数的亲和同轴二次函数为y2=1−ax2−41−ax+c，
把，分别代入，可得，，，
则p−q=am2−4am+c−(1−a)m2−4(1−a)m+c=(2a−1)m2−4(2a−1)m，
，
，
①当时，，即，，
解得：或；
②当时，，即，，
解得：；
③当时，，即，，
解得：或；
又∵，
所以综上所述，当时，；当时，；当时，．
项目主题： 测量骆岗公园“大蘑菇”建筑的高度
项目素材
合肥市某天下午不同时刻太阳光线与地面的夹角α参照表：
时刻
太阳高度角（度）
47
35
22
参考数据：，，
示意图
项目成果
“自律”小组
“自强”小组
下午时，在观测点C处测“大蘑菇”的影子．但因为“大蘑菇”周围有一圈栅栏，所以无法直接测量影子的长度．
下午时，从C向“大蘑菇”方向前进27米到达点D，在点D处用高1米的测角仪测得塔顶A的仰角为．
项目任务
请你求出“大蘑菇”的高度（注意：计算结果保留整数）．