北京市顺义区2026届高三下学期一模考试数学试卷含解析（word版）

这是一份北京市顺义区2026届高三下学期一模考试数学试卷含解析（word版），共6页。试卷主要包含了 已知集合，集合，则， 已知复数的共轭复数是，若，则， 在中，，若，则， 若双曲线， 已知抛物线，92dB；等内容，欢迎下载使用。
2026.3
本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】因为，，
所以
2. 已知复数的共轭复数是，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先由，得到，利用复数的除法运算法则求出，进而求出复数即可.
【详解】由于，得，
则，
故选：A.
3. 在中，，若，则（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】A
【解析】
【详解】由，得，
整理为，
即，，即.
4. 若双曲线：与椭圆的焦点相同，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】C
【解析】
【详解】对椭圆，因为，且，所以椭圆的焦点坐标为.
对双曲线：，其中，所以，.
又椭圆与双曲线焦点相同，所以.
所以双曲线的离心率为：.故选项C正确.
5. 已知函数的定义域为，则“对于任意，都有”是“值域为”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】通过充分条件与必要条件求解.
【详解】对于任意，都有可以推出的值域是或其子集，故充分性不成立，
若的值域是，可以推出对于任意，都有，故必要性成立，
因此“对于任意，都有”是“值域为”的必要不充分条件.
6. 已知等差数列的前项和为，若，，，成等比数列，则（ ）
A. 28B. 42C. 56D. 112
【答案】C
【解析】
【分析】根据等差数列和等比数列的性质列式求首项和公差，再代入求和公式.
【详解】设等差数列的公差为，，即，
由，，成等比数列，得，即，
得，所以.
7. 已知抛物线：的焦点为，.若上存在点，使得，且的面积为，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】由题设，图形结合抛物线定义可得关于的表达式，据此可得答案.
【详解】由题可得，则，从而.
又抛物线准线为，过A作准线垂线，垂足为，
由抛物线定义可得，则，
从而.
8. 已知函数，若方程有4个不同的实数解，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，按分段，结合一元二次方程实根分布列式求解.
【详解】方程，
当时，方程为，则，即，当时，方程有且只有一个实根；
当时，方程为，显然是此方程的一个实根，
当时，方程化为，要使方程有4个不同的实数解，
当且仅当方程有两个不同的正根，则，解得，
所以的取值范围是.
9. 一般地，用声压级来度量声音的强弱.定义声压级（单位：），其中常数是听觉下限阈值，是实际声压.若测得交通主干道某时段的实际声压为，声压级大约为.某所图书馆某时段的实际声压为，声压级大约为.
给出下列三个结论：
①；
②；
③若某降噪设备可使交通主干道的实际声压降低到原来的，则声压级减少约为0.92dB；
（参考数据：，）
其中正确结论的个数为（ ）
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】D
【解析】
【分析】本题可根据声压级的定义公式，结合对数的运算性质，分别对三个结论进行分析判断.
【详解】根据声压级定义，可得.
对于①：，①正确；
对于②：,②正确；
对于③：因为，可得，
因为实际声压降低到原来的，可得
所以，则声压级减少约为，③正确
10. 已知向量，满足，.当与的夹角最大时，（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将平方后换元，通过数量积的计算公式表示，利用余弦函数的单调性分析的最大值求解.
【详解】将平方得，
令，则，，
设与的夹角为，，当时，，与条件矛盾，，
，分子分母同时除以，，
令，则，
当时，取得最小值，此时取最大值，
当时，，，，
所以当与的夹角最大时，.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 函数的定义域为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据偶次根式被开方数大于等于0，结合对数函数的单调性，即可得答案.
详解】由题意得，则，
因为在上单调递增，
所以，则的定义域为.
12. 已知，则________；________.
【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【详解】的展开式的通项是，
令，得，则，
令，得，则，
令，得，则，
∴，．
13. 已知直线与圆交于两点.若圆弧的长恰为圆周长的，则________.
【答案】或
【解析】
【分析】根据题意，得到，取的中点，得到，且，结合点到直线的距离公式，即可求解.
【详解】由圆，可得圆心，半径为，
因为直线与圆交于两点，且圆弧的长恰为圆周长的，
如图所示，可得，即为等腰直角三角形，
取的中点，连接，可得，
因为，可得，即圆心到直线的距离为，
所以，解得或.
14. 设函数，则图象一条对称轴方程为________；若在上单调递增，则的最大值为________.
【答案】 ①. ，（任意符合的结果都正确） ②.
【解析】
【详解】利用辅助角公式化简得：，
由正弦函数的对称轴满足，令： ，
取，得一条对称轴为，（任意符合的结果都正确）；
再由正弦函数的单调递增区间满足，
令： ，
整理得的单调递增区间为，
因为区间关于原点对称，只有时的递增区间包含原点，
要满足，得，因此的最大值为.
15. 如图，在棱长为1的正方体中，是棱上的一个动点（不含端点），给出下列四个结论：
①三棱锥的体积为定值；
②存在点，使得平面平面；
③为锐角三角形；
④若点在平面上的投影为点，则点的轨迹为一条线段（不含端点）.
其中所有正确结论的序号是________.
【答案】①③
【解析】
【分析】由三棱锥体积公式可判断①正确，由空间直角坐标系面面垂直定理可判断②错误，由余弦定理判断③正确，由立体几何证明可判断④正确.
【详解】对于①：三棱锥的底面积为，
所以三棱锥的体积，为定值；结论①正确.
对于②：以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
设，因为，，
设平面的法向量为，则n1→·BB1→=z1=0n1→·BE→=−x1+t−1y1=0，
取得n1→=t−1,1,0；
因为，，平面的法向量为，
则n2→·AD1→=−x2+z2=0n2→·AE→=−x2+ty2=0，取得n2→=t,1,t；
因为两平面垂直等价于法向量垂直，所以，可得，
判别式，无实根，
所以不存在点，使得平面平面，结论②错误；
对于③：计算三边长度的平方，D1E2=0−02+t−02+0−12=t2+12，
D1B12=1−02+1−02+1−12=2，
所以EB12>D1B12>D1E2，所以中∠B1D1E最大，
因为cs∠B1D1E=D1E2+D1B12−EB122⋅D1E⋅D1B1=t2+1+2−t2−2t+32t2+1⋅2=2t22t2+1>0，
所以最大角∠B1D1E为锐角，因此为锐角三角形，结论③正确；
对于④：记A1D∩AD1=H，连接HF,HB1，
B1F⊥平面，平面，所以B1F⊥FH，
所以点到的中点距离等于12B1H，为定值，所以点的轨迹不可能是线段，结论④错误.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 如图，在三棱柱中，为正三角形，，平面，，是延长线上一点，且.
（1）设中点为，求证：平面；
（2）求直线与平面夹角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取的中点，通过证明得到，再利用线面平行的判定定理即可得证；
（2）作平面的垂线，垂足为，易得即与平面所成的角，通过等体积求出，即可求得答案.
【小问1详解】
如图，取的中点，连接，
因为中点，则，又，则，
因，则，可得，故，
又平面，而平面，故平面.
【小问2详解】
过点作平面的垂线，垂足为，连接，
因，则直线与平面所成的角即直线与平面所成的角，即，
因平面，，则平面，，
在中，，由余弦定理，，
则，因，
由可得，解得，
在中，，即直线与平面夹角的正弦值为.
17. 顺义区的水稻种植历史悠久，最早可追溯到东汉初年.某农科所在顺义区，两镇分别抽取3块试验田开展水稻种植方式实验.种植方式包括有机种植、机械种植、共生种植三种，测得各试验田的平均亩产量如下表（单位：）：
用频率估计概率.
（1）从上述试验田中随机抽取2块，求其平均亩产量均不低于375的概率；
（2）从，两镇中各随机抽取1块试验田，设为平均亩产量不低于375的试验田的块数，求的分布列和数学期望；
（3）为了评估种植方式的综合效益，农科所进一步统计了三种种植方式在某年度的成本与市场售价：
有机种植：每亩成本约为800元，市场售价约为8元/kg；
机械种植：每亩成本约为500元，市场售价约为5元/kg；
共生种植：每亩成本约为1200元，市场售价约为6元/kg.
假设该年度，两镇有机种植、机械种植、共生种植三种方式的种植试验田面积之比均为，记镇水稻种植试验田每亩平均利润为，镇水稻种植试验田每亩平均利润为，试比较与的大小.（结论不要求证明）
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）分别计算总情况数和满足题意的情况数，据此可得概率；
（2）由题设可得可为，据此可得分布列及期望；
（3）设两地分别有地面积为，由题可得与表达式，据此可得答案.
【小问1详解】
由题可得随机拿地的情况有： 种，
平均亩产量均不低于375的情况有种，故相应概率为：；
【小问2详解】
分别从两地拿地有9种情况，将拿地情况用坐标表示，
横坐标表示A地平均亩产数，纵坐标表示B地平均亩产数.
的情况有共2种；
的情况有共5种；
的情况有种，则分布列如下：
期望为： ；
【小问3详解】
设两地分别有土地面积为亩.
对于A地，用于有机种植的地有亩，有机种植总产量为，
则有机种植的总利润为：元，
类似可得A地机械种植总利润为：元，
A地共生种植总利润为：元，
则A地平均利润为：元；
类似可得B地平均利润为：元.
则.
18. 在三角形中，角所对的边长分别为，，.
（1）求；
（2）若点在边上，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积.
条件①：；
条件②：；
条件③：.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）
（2）选择条件①②, ②③,可得，选择①③，不合题意
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理边化角，可求解；
（2）利用余弦定理建立方程组可求解边长，最后可求面积.
【小问1详解】
由，将代入得： ，
根据正弦定理，可得，即
已知，代入得： ，
在中，，约去，得，
又因为，所以；
【小问2详解】
选择条件①、②来作解答：

已知，，在上，，，
故，
在中，由余弦定理可得： ，
在中，由余弦定理可得： ，
代入已知条件得：，
由上两式消整理可得，
，
若，代入上式可得，此时判别式小于0，该方程无解；
若，代入上式可得，
解得正根，
代入：，
此时三角形的解是唯一一组解，故满足题意，
则.
选择条件①、③来作解答：

已知，在上，，，，
在中，由正弦定理可得：，
当为锐角时，由，可得，
在中，由余弦定理可得： ，
整理得：，
在中，由余弦定理： ，
代入已知条件得：，
解得：或，
由于为钝角，则满足，即，
故，此时，

当为钝角时，由，可得，
在中，由余弦定理可得： ，
整理得：，
在中，由余弦定理： ，
代入已知条件得：，
解得：或，
由于为锐角，则满足，即，
故，此时，
则此时三角形为等边三角形，
故满足题意的三角形有两个，不满足题意，故不能选①、③来作解答；
选择条件②、③来作解答：

已知，在上，，，，
过点作，垂足为，因为，所以，
由点在上，可知为锐角，则，
又由，，在直角三角形中，可解得：，
再由，可得，
再由，可得，即，
在中，由余弦定理： ，
代入已知条件得：，
解得：或，
由于为钝角，则满足，即，
故，此时，
此时三角形的解是唯一一组解，故满足题意，
则.
19. 已知椭圆：的左右顶点为，，，焦距为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为原点，是上不同于，的一点，的中点为，直线与直线交于点，直线与交于点.是否存在点使得直线平行于直线成立?说明理由.
【答案】（1）；
（2）不存在满足条件的点，理由见解析；
【解析】
【分析】（1）根据椭圆性质得到，再利用椭圆中的关系，就能求出，进而得到椭圆的方程；
（2）先设出点的坐标，利用中点坐标公式求出的坐标，求出直线的方程，令就能得到点的坐标，求出直线的方程，然后分别求出直线和直线的斜率，若两直线平行则斜率相等，可求出点的坐标，将其与椭圆方程联立，据此建立方程，判断方程是否有解.
【小问1详解】
由椭圆性质，左右顶点距离，得；
焦距，得；
由椭圆关系，
因此椭圆的方程为：；
【小问2详解】
不存在满足条件的点，
理由如下：由题意得，设，
中点坐标为，直线的斜率方程为，令得，
直线的斜率方程为，
若，则，而，故，
将代入化简得：，
因为在椭圆上，代入椭圆方程，结合在椭圆上满足，化简最终得：，
此时与重合，不符合“不同于”的条件，因此不存在满足条件的点.
20. 已知函数，.
（1）若曲线在点处的切线与直线平行，求的值；
（2）讨论的单调性；
（3）若存在两个极值点，且，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）当时，函数在上单调递减，在上单调递增；当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增，在和上单调递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减.
（3）
【解析】
【分析】（1）根据导数的几何意义求出曲线在给定点的切线斜率列方程求解即得；
（2）将函数求导后，根据参数的取值进行分类，判断导函数的符号，即可确定函数的单调性；
（3）由（2）的结论分析得，易得，设，则有，计算并化简得，设，求导分析其单调性可得，再由，利用函数单调性即可求得答案.
【小问1详解】
由求导得，
依题意，，解得
【小问2详解】
因函数的定义域为，
，
当时，，当时，，当时，，
即此时函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，若，恒成立，则，即函数在上单调递减；
若，由解得，
由可得，由可得或，
即函数在上单调递增，在和上单调递减；
当时，由可得，由可得，
即函数在上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，函数在上单调递减；
当时，函数上单调递增，在和上单调递减；
当时，函数上单调递增，在上单调递减.
【小问3详解】
由（2）分析可知，存在两个极值点，则
此时是方程的两个实根，则.
由
，
设，则，将代入，化简得，，
则，，
设，则，故函数上单调递增，
由题意，，且，即有，故可得，
又因，函数在上单调递增，故，
又因，故得.
21. 已知项数列：满足.数列：，满足，，其中.记，.其中，表示数集中最大的数.
（1）已知：，求，的值；
（2）若为奇数，且，求证：；
（3）求证：.
【答案】（1），
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据数列的定义，分别计算和时数列的各项，进而求出和的值.
（2）通过以及数列的定义，通过递推关系和绝对值的性质，证明.
（3）利用三角不等式和绝对值不等式进行放缩去证明.
【小问1详解】
已知：，.
当时，，，.
，.
.
当时，，，，.
.
.
【小问2详解】
，记（其中为常数且，，，），则对任意的，有.
（且）.
，不妨记的有项，则的有项.
，.
又为奇数，，故仅当时等式成立.
当时，对所有成立，递推可得：
，即.
又，当时，则，结合，得.
当时，，则，进而可得.
综上，，证毕.
【小问3详解】
当时，且.
记，，故存在.
不妨设（循环数列，可平移下标），即，记，.
对任意，，由三角不等式：
.
同理可得：.
对任意，.
故.
当为偶数时，.
.
当为奇数时，.
.
由可得.
即，证毕.
有机种植
机械种植
共生种植
镇
300
350
425
镇
300
375
400
0
1
2