湖南省衡阳市第八中学2026届高三下学期高考适应性练习卷（二）数学试题（Word版附解析）

这是一份湖南省衡阳市第八中学2026届高三下学期高考适应性练习卷（二）数学试题（Word版附解析），共6页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
请注意：时量 120 分钟 满分 150 分
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.）
1. 命题“ ”的否定为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据存在量词命题的否定形式，直接求解.
【详解】存在量词命题的否定是全称量词命题，
所以命题“ ”的否定为“ ”.
故选：C
2. 已知 为纯虚数，则实数 的值为（ ）
A. B.
C. 1 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数的除法运算和纯虚数的概念求解.
【详解】 ，又 为纯虚数，所以 ，得 ，
故选：C.
3. 已知 ， ，若 ，则向量 的夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
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【解析】
【分析】根据向量垂直及数量积的运算律有 ，应用数量积、模长坐标运算得方程 求参
数，再由向量夹角公式求余弦值.
【详解】由题意 ，故 ，
所以 ，故 ，
由 .
故选：B
4. 已知一个三棱柱高为 3,其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个直角边长为 1 的等腰直角
三角形(如图所示),则此三棱柱的体积为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】由斜二测画法的规则可知，三棱柱的底面为直角三角形，且两条直角边分别为 2， ，故此三棱
柱的体积为 ．选 D．
5. 若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由诱导公式及二倍角公式进行求解．
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【详解】
．
故选：B
6. 曲线 在点 处的切线与直线 和 围成的三角形的面积为（ ）
A B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【详解】 ，所以在点 处的切线方程为 ，它与 的交点为
，与 的交点为 ，所以三角形面积为
故选：A
7. 双曲线 的左､右焦点分别为 ，过 的直线 l 与双曲线的左､右两支分别交于 A，B 两点，
则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出双曲线的焦点坐标及渐近线的方程，设出直线 并与双曲线方程联立，求出 的纵坐标比
值即可得解.
【详解】在双曲线 中， ，渐近线方程为 ，
由对称性，不妨令点 在第一象限，设直线 的方程为 ， ，
由 消去 得 ，设 ， ，
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则 ，令 ，联立消去 得 ，
整理得 ，而 ，即 ，解得 ，
因此 ，所以 的取值范围是 .
故选：B
8. 已知定义在 上的函数 满足 ，且当 时， 成立
(当且仅当 时取等号)，若 ， ， ，则
， ， 的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】构造函数 ，结合 奇偶性得到 的奇偶性，利用导数分析 单调性， 然
后将 转化为 ，由此可比较出 的大小关系.
【详解】因为 且定义域为 ，所以 为奇函数，
设 ， ，
当 时， ，所以 ，所以 在 上单调递增，
又因为 ， 为奇函数，所以 为奇函数，所以 在 上单调递增，
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因为 ，
，
，且 ，
所以 ，所以 ，
故选：A.
【点睛】思路点睛：常见的抽象函数构造问题的思路：
（1）已知 ，可构造函数 分析问题；
（2）已知 ，可构造函数 分析问题；
（3）已知 ，可构造函数 分析问题；
（4）已知 ，可构造函数 分析问题；
（5）已知 ，可构造函数 分析问题；
（6）已知 ，可构造函数 分析问题.
二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 已知 ，则 的取值为 6 或 7
B. 由 1，1，1，2，3，4 这六个数字组成的不同六位数共有 120 个
C. 将 8 个相同小球放入 4 个不同盒子中，每个盒子至少放一个小球，则共有 70 种不同放法
D. 被 7 除所得的余数为 1
【答案】AB
【解析】
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【分析】由组合数的性质判断 A 选项；由排列组合知识计算结果判断 B 选项；利用隔板法计算不同放法判
断选项 C；由二项式定理解决整除问题判断选项 D.
【详解】对于 A，由组合数的性质， 得 或 ，
解得 或 7，故 A 正确；
对于 B，由 1，1，1，2，3，4 这六个数字组成的不同六位数共有 个，故 B 正确；
对于 C，将 8 个相同小球放入 4 个不同盒子中，每个盒子至少放一个小球，
采用隔板法，共 种不同放法，故 C 错误；
对 于 D， 因 为
，
因为展开式中除了 6 均能被 7 整除，则 被 7 除所得 余数为 6，故 D 错误，
故选：AB．
10. 在平面上，若动点 与两定点 满足 且 ，则 的轨迹是个圆，这个圆称
为阿波罗尼斯圆．已知 为坐标原点， ，动点 满足 ，记 的轨迹为圆 ．由直线
上的一点 向圆 引切线，切点为 ．下列结论正确的有（ ）
A. 圆 的方程为
B. 圆 与圆 的公切线有且只有三条
C. 的最小值为 2
D. 当 取最小值时，直线 的方程为
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于 A，由 得到一个等式，整理即可；对于 B，首先根据圆的方程，判断两圆的位
置关系，进而可知公切线的条数；对于 C，将 的最小值转化为 的最小值即可；对于 D，由选项 C
知点 在以 为圆心，2 为半径的圆 上，从而可求两圆的公共弦方程.
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【详解】对于 A，由 得 .
设 ，由 ， 得 ，
整理得 ，即点 的轨迹圆 的方程为 ，故 A 错误.
对于 B，由圆 的方程 ，即 ，
可知圆心为 ，半径 ；
又圆 的圆心为 ，半径 ，
所以两圆的圆心距为 ，所以两圆外切，
所以圆 与圆 的公切线有且只有三条，故 B 正确.
对于 C，如图，由相切的性质可知 ，
所以当 取得最小值时， 也取得最小值，
而 的最小值为点 到直线 的距离，即 ，
所以 ，故 C 正确.
对于 D，若 交于点 B，由切线的性质可知 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以当 取最小值时， 取得最小值，由 C 知此时 与直线 垂直，
所以 斜率为 ，直线 的斜率为 1，
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设 ，则 ，解得 ，所以 ，
由 知点 在以 为圆心，2 为半径的圆 上，
其方程为 ，
所以 为圆 与圆 的公共弦，其方程为 ，
即 ，故 D 正确.
故选：BCD.
11. 在平面直角坐标系 中，动点 到定点 与 轴的距离之积为常数 ，记点 的轨迹为曲线
，曲线 的图象如图所示，下列结论正确的是（ ）
A.
B. 曲线 的方程为
C. 曲线 关于直线 对称
D. 曲线 上的点到 轴的距离的最大值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】通过已知条件化简方程，利用曲线上的点满足方程来确定参数的值，再根据对称点的性质判断曲
线的对称性，最后通过特定条件求解曲线与坐标轴相关的最值.
【详解】由题知 ，化简得 ，
由图象知，点 在曲线 上，所以 ，解得 ，
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所以曲线 的方程为 ，故选项 A 正确，选项 B 错误；
曲线 上的点 关于直线 对称的点为 ，
因为 ，曲线 关于直线 对称，故选项 C
正确；
当 时， ，解得 或 ，所以曲线 上的点到 轴的距离的最大值为
，故选项 D 正确．
故选：ACD.
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．）
12. 已知随机变量 ，若 ，则 __________.
【答案】2
【解析】
【分析】根据正态分布的对称性即可求解.
【详解】 ，解得
故答案为：2
13. 已知偶函数 满足 当 时， ，若在区间 内，函数
有 4 个零点，则实数 a 的取值范围_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据 的周期性和奇偶性，画出 在区间 内的图像，函数
有 4 个零点，转化为函数 的图像与 有 4 个交点，结合图像求解.
【详解】函数 满足 ，故函数 是周期为 2 的周期函数．
再由 是偶函数，当 时， ，可得 时， ，
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故当 时， ，
当 时， ，
由函数 有 4 个零点，故函数 的图像与 有 4 个交点，
如图，当 ， 过 ，在 单调递减，故函数 的图像与
没有个交点，不合题意；
如图，当 时，函数 的图像与 有 4 个交点，只需 ，故实
数 的取值范围是 ．
故答案为： .
14. “斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现．数列中的一系列数字常被人们称之为神奇数．
具体数列为： ，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和．已知数
列 为“斐波那契”数列， 为数列 的前 项和，若 ，则 __________（用 表示）
【答案】
【解析】
【详解】因为 ，
所以 ，
叠加得 .
因为 ，
，
所以 ．
四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
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15 已知函数 ，数列 满足 .
（1）证明 为定值，并求数列 的通项公式；
（2）记数列 的前 项和为 ，证明： .
【答案】（1）证明见解析，
（2）证明见解析
【解析】
分析】（1）首先证明 ，再利用倒序相加法即可求出 ；
（2）裂项得 ，再求和即可证明.
【小问 1 详解】
由题意得 ，
则 ，
得到 ，
两式相加得 ，即 .
【小问 2 详解】
由题意得 ，
则 ，
当 时， 无限趋近于 0 且大于 0，则 ，且小于 ，
而 ， 在 上单调递增，故 得证.
16. 在正方体 中，如图 、 分别是 的中点．
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（1）求证： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】(1)利用空间向量数量积为 0 来证明线线垂直，从而证明线面垂直；
(2)利用第 1 问可知道平面的法向量，从而可求线面角的正弦值，然后再求余弦值即可.
【小问 1 详解】
如图建立空间直角坐标系，假设正方体的棱长为 2，由题意可知：
，
所以
因为
所以
又因为 平面 ，所以 平面 ；
【小问 2 详解】
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由（1）可得：平面 的法向量可以取
又因为 所以
即 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ，
即直线 与平面 所成角的余弦值为 .
17. 食品安全问题越来越受到人们的重视，某超市在进某种蔬菜前，食品安检部门要求对每种蔬菜进行三轮
各项指标的综合检测，只有三轮检测都合格，该种蔬菜才能在该超市销售，已知每箱这种蔬菜第一轮检测
不合格的概率为 ，第二轮检测不合格的概率为 ，第三轮检测不合格的概率为 ，每轮检测只有合格与
不合格两种情况，且各轮检测互不影响.
（1）求每箱这种蔬菜能在该超市销售的概率；
（2）若这种蔬菜能在该超市销售，则每箱可获利 100 元，若不能在该超市销售，则每箱亏损 50 元，现有 3
箱这种蔬菜，设这 3 箱蔬菜的总收益为 元，求 的分布列和数学期望.
【答案】（1）
（2）分布列见解析，30
【解析】
【分析】（1）根据独立事件概率乘法公式进行计算；
（2）写出 的可能取值及概率，求出分布列和数学期望.
【小问 1 详解】
设每箱这种蔬菜能在该超市销售为事件 ，
则 ，
即每箱这种蔬菜能在该超市销售的概率为 .
【小问 2 详解】
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的所有可能取值为 .
因为 ，
,
，
,
所以 的分布列为
300 150 0
.
18. 已知函数 ，曲线 在 处的切线方程为 .
（1）求 的值；
（2）函数 在区间 上存在零点，求 的值；
（3）记函数 ，设 （ ）是函数 的两个极值点，若 ，且
恒成立，求实数 的最大值.
【答案】（1）
（2） 或
（3）
【解析】
【分析】（1）由题意可得切点为 ，代入 中可求出 的值；
（2）对函数求导，然后求出函数的单调区间和极值，再利用零点存在性定理可求出零点的范围，从而可求
出 的值；
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（3）对函数求导后，由题意可得方程 有两个不相等的正实根 ，则 ，
，再结合 可得 ，则 ，构造函数
，利用导数求出其最小值即可求出 的取值范围，从而可求出 的最大值
【小问 1 详解】
因为曲线 在 处的切线方程为 ，
所以切点为 ，
所以 ，得
【小问 2 详解】
由（1）得 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上递减， 上递增，
所以当 时， 取得极小值 ，
因为 ，
所以 在区间 上存在一个零点，此时 ，
因为 ，
所以 在区间 上存在一个零点，此时 ，
综上 或
【小问 3 详解】
，
则 ，
由 ，得 ，
因为 （ ）是函数 的两个极值点，
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所以方程 有两个不相等的正实根 ，
所以 ， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，解得 或 ，
因为 ，所以 ，
所以
令 ，则
，
所以 在 上单调递减，
所以当 时， 取得最小值，即 ，
所以 ，
所以实数 的最大值为
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数解决函数零点问题，考查利用导数解决不
等式恒成立问题，第（3）问解题的关键是由题意得方程 有两个不相等的正实根 ，
再根据根与系数的关系和已知条件可得 ， ，然后构造函
数 ，利用导数求出函数的最小值即可，考查数学转化思想和计算能
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力，属于较难题
19. 设椭圆 的离心率为 ，上顶点为 ，右焦点为 ，且 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）设 为椭圆 上两个不同的动点（均不与 重合）．
①若直线 过点 ，求 面积的最大值；
②若 是 的角平分线，试问直线 是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.
【答案】（1）
（2）① ;②
【解析】
【分析】（1）根据 ，结合离心率公式即可求解；
（2）①设直线 方程为 ，与椭圆联立方程，结合韦达定理可得 ，由弦长公
式可得 ，利用点到直线的距离求得点 到直线 的距离 ，表示出
的面积，结合基本不等式求解即可.
②设 ， 直 线 ， 利 用 点 到 直 线 的 距 离 公 式 可 求 得 点 在 直 线
，同理可求得点 也在直线 上，可得直线 的
直线方程，进而可求定点.
【小问 1 详解】
因为上顶点为 ，右焦点为 ，且 ，
所以 ，由 ，解得 ，
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可得 ，
则椭圆 的方程为 .
【小问 2 详解】
①显然直线 的斜率不为 0，
设直线 方程为 ， ，
则 ，消去 化简可得 ，
所以 ，
由韦达定理可得 ，
所以 ，
点 到直线 的距离 ，
则 的面积
，
由于 ，则 ，
当且仅当 ，即 ， 时，等号成立，
所以 ， ，
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则 面积的最大值为 ，
②设 ，则 ，
因为直线 的斜率必存在，所以直线 ，即 ，
设 到直线 与 的距离均是 ，从而
平方得 ，
又由于 ，故 ，
整理得 即点 在直线
同理点 也在直线 上
故直线 的方程为
将其按照参数 进行整理：
令 ，解得 ，从而定点坐标为 .
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