四川泸州市三校联盟2025-2026学年高二上学期期末联合考试数学试题（Word版附答案）

这是一份四川泸州市三校联盟2025-2026学年高二上学期期末联合考试数学试题（Word版附答案），共15页。
数学试卷分为第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，第 I 卷第 1 至 2 页，第 II 卷第 3 至 4 页。
试卷满分 150 分，考试时间共 120 分钟。
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴
在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑。
3．填空题和解答题的作答：请用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅笔
绘出，确认后再用 0.5 毫米黑色签字笔描写清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第 I 卷（选择题，共 58 分）
一、单项选择题：本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项
是符合题目要求的。请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。
1． 若直线 l 的方程为 x = 3，则直线 l 的倾斜角为（ ）
A．30° B．45° C．90° D．135°
2． 在复平面内，复数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3． 抛物线 的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
4． 有一组样本数据 1，2，2，2，3，5，去掉 1 和 5 后，相较于原数据不变的是（ ）
A．平均数 B．极差 C．中位数 D．方差
5． 已知向量 ， ，则向量 在向量 上的投影向量的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6． 某机构对 2014 年至 2023 年的中国新能源汽车的年销售量进行了统计，结果如图所示（单位：万辆），
则下列结论中正确的是（ ）
A．这十年中国新能源汽车年销售量的中位数为 123
B．这十年中国新能源汽车年销售量的极差为 721
C．这十年中国新能源汽车年销售量的第 70 百分位数
为 136.6
D．这十年中的前五年的年销售量的方差小于后五年
的年销售量的方差
7． 设 F1，F2 分别是椭圆 E： （ ）的左、右焦点，过 F2 的直线交椭圆于 A，B 两点，且
， ，则椭圆 E 的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
8． 在正四棱锥 中， ， ，如图，首先将一个半球
（半径为 R）水平放置于四棱锥 的内部，其球心 O 与四边形
的中心重合，随后将另一个球（半径为 r）放置于该半球正上方
（两球相切），使得该小球与正四棱锥 的四个侧面均相切，
则 （ ）
A．12 B．10
C．8 D．4
二、多项选择题：本大题共 3 个小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项符
合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9． 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件 A =“第一枚硬币反面朝上”，事件 B =“第二枚硬币反面朝上”，
则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C．A 与 B 互斥 D．A 与 B 相互独立
10．如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 2 的正方形， ， 平面 ， 为
的中点，则（ ）
A．
B．
C．异面直线 与 所成角的余弦值为
D．点 到平面 的距离为
11．已知等轴双曲线 长轴左右两顶点为 A，B， 为双曲线右支上任意一点（异于 A，B 两
点 ），设 ， ，点 P 到两条渐近线的距离分别为 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A．焦点到渐近线的距离为 2 B． 的值随着 的增大而增大
C． D． 的乘积为定值且为 2
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第 II 卷（非选择题，共 92 分）
注意事项：
（1）非选择题的答案必须使用 0.5 毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后，
再用 0.5 毫米黑色签字笔描写清楚，答在试题卷和草稿纸上无效。
（2）本部分共 8 个小题，共 92 分。
三、填空题：本大题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．双曲线 的实轴长为_______________．
13．在正四棱锥 中， ， ，E，F 分别是棱 AB，PC 的中点，则点 D 到直线 EF 的
距离是_______________．
14．抛物线 的顶点为坐标原点 O，抛物线上两点 A，B 满足： ，过点 O 作 AB 的垂线，垂
足为 H，若点 Q 是圆 C： 的一个动点，则 的最大值为_______________．
四、解答题：本大题共 5 个小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分 13 分）
已知圆 C 的圆心在 x 轴上，且经过 ， 两点．
（1）求圆 C 的方程；
（2）过点 的直线 l 与圆 C 相交于 M，N 两点，且 ，求直线 l 的方程．
16．（本小题满分 15 分）
某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，高一年级学生参加了这次
竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩 x 作为样本
进行统计，将成绩整理后，分为以下五组（ ， ，
， ， ）．
（1）求图中 a 的值．
（2）若根据这次成绩，年级准备淘汰 80% 的同学，仅留 20% 的同学进入下一轮竞赛，则成绩至少要达
到多少分才可以晋级？
（3）从样本数据在［80，90），［90，100］两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取 6 名同学，
再从这 6 名同学中随机选出 2 人，求选出的 2 人恰好来自同一小组的概率．
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17．（本小题满分 15 分）
如图，四边形 与 为直角梯形，且平面 平面 ，其中 ，
， ， ．
（1）求证： ；
（2）求平面 与平面 夹角的正弦值；
（3）若空间中存在一点 ，满足 （ ， ），且直线
平面 ，求 的长．
18．（本小题满分 17 分）
已知抛物线 C： （ ）过点 ，其焦点为 F，若 ．
（1）求 m 的值以及抛物线 C 的方程；
（2）过 F 点的两条互相垂直的直线分别交抛物线于 A，C 与 B，D 四点，求四边形 ABCD 面积的最小值．
19．（本小题满分 17 分）
已知椭圆 C： （ ）的离心率为 ，点 在椭圆 C 上．
（1）求椭圆 C 的标准方程．
（2）过点 的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B（异于点 P）两点，分别记直线 PA，PB 的斜率为 ，
．
① 当直线 l 的斜率为 时，求 的面积；
② 求 的最小值．
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四川省泸州市三校联盟 2025—2026 学年上学期期末联合考试
高 二 年 级 数 学 试 题 参 考 答 案
一、选择题：本大题共 11 个小题，第 1～8 题每小题 5 分，第 9～11 题每小题 6 分，共 58 分。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C A D C B D B A AD BCD ACD
二、填空题：本大题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．6 13． 14．8
三、解答题：本大题共 5 个小题，共 77 分。
15．（本小题满分 13 分）
解：（1）因为圆 的圆心在 轴上，所以设圆 的方程为 （ ），
因为圆 经过 ， 两点，
所以 ，解得 ，所以圆 的方程为 ．
（2）由 ，可得圆心 ，半径为 ，
因为直线 与圆 相交于 两点，且 ，
所以圆心 到直线 的距离为 ，
当直线 的斜率不存在时，直线 为 ，满足题意；
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，即 ，
则 ，解得 ，所以直线 的方程为 ，即 ，
综上所述，直线 的方程为 或 ．
16．（本小题满分 15 分）
解：（1）由频率分布直方图得 ，所以 ．
（2）成绩落在 内的频率为： ，
落在 内的频率为： ，
则第 80 百分位数 ，因此 ，解得 ，
所以成绩至少要达到 78 分才可以晋级．
（3）由频率分布直方图得成绩在 的频率比为 ，
因此成绩在 内抽取 人，记为 ，成绩在 内抽取 2 人，记为 ，
设 “抽到的两位同学来自同一小组”，
样本空间 ，共 15 个样本点，
则 ，共 7 个样本点，
所以选出的 2 人恰好来自同一小组的概率 ．
17．（本小题满分 15 分）
解：（1）由 ，得 ，而平面 平面 ，
平面 平面 平面 ，则 平面 ，
又 平面 ，所以 ．
（2）由（1）知 平面 ， 平面 ，则 ，
而 ， ，
以点 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，
又 ， ， ， ，
则 ， ， ， ， ， ，
， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，令 ，得 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，令 ，得 ，
因此 ，
所以平面 与平面 夹角的正弦值为 ．
（3）设 ，依题意， ，
即 ， ， ，
即 ，则 ，
由 平面 ，得 是平面 的一个法向量，于是 ，
高二上·数学参考答案 第 2 页 共 4 页
即 ，解得 ， ，
因此 ，所以 ．
18．（本小题满分 17 分）
解：（1）因抛物线 的焦点为 F，则 ，
∴ ，即抛物线 C 的方程： ，
又因为抛物线过点 ,代入抛物线方程，可得 ，解得 ；
综上所述： ，抛物线 C 的方程： ．
（2）由题知，过 F 点的两条互相垂直的直线斜率均存在，且不等于零，如下图所示：
因此设直线 ： ，直线 ： ，
设点 、 、 、 ，
联立直线 与抛物线 C 的方程，得 ，
则有 ，∴ ，
又∵ ，
同理，联立直线 与抛物线 C 的方程，得 ，
则有 ，∴ ，
又∵ ，∴ ，又∵ ，
∴ ，
当且仅当 ，即 时，四边形 ABCD 面积的最小值是 8．
19．（本小题满分 17 分）
解：（1）由已知椭圆的离心率为 ，即 ，化简可得 ，则椭圆方程为 ，
又椭圆过点 ，则 ，解得 ，则椭圆方程为 ．
（2）设 ， ，
高二上·数学参考答案 第 3 页 共 4 页
① 由已知可得直线 ，即 ，
联立直线与椭圆 ，消去 可得 ，
则 ， ，
则 ，
又点 到直线 的距离 ，所以 ；
② 设 ，即 ，
联立直线 与椭圆 ，
消去 可得 ，
则 ，解得 ，
且 ， ，又 ，则 ，
所以 ，
同理可设 ，即可得 ，
又 ， ， 三点共线，则 ，
即 ，化简可得 ，即 ，
所以 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
又 ，所以当且仅当 时等号成立，
综上所述， 的最小值为 ．