四川省泸州市三校联盟2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题含答案

这是一份四川省泸州市三校联盟2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题含答案，共11页。试卷主要包含了选择题的作答，填空题和解答题的作答， 下列说法正确的是， 如图，在斜四棱柱中，，，，则， 下列命题中正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑。
3．填空题和解答题的作答：请用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描写清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第I卷（选择题，共58分）
一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
1． 复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2． 有一组样本数据1，2，2，2，3，5，去掉1和5后，相较于原数据不变的是（ ）
A．平均数B．极差C．方差D．中位数
3． 甲、乙两人独立地破译一份密码，已知这两人能破译的概率分别为，，若甲、乙两人一起破译这份密码，则密码不能被成功破译的概率为（ ）
A．B．C．D．
4． 若圆锥的底面圆半径为，其侧面展开图的面积为，则这个圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
5． 下列说法正确的是（ ）
A．数据1，8，3，5，6的第60百分位数是5
B．按比例进行分层随机抽样时，个体数最多的层里的个体被抽到的概率最大
C．若，，…，的方差为4，则，，，…，的方差是16
D．若某组数据的频率分布直方图是单峰不对称的，且在左边“拖尾”，则该组数据的平均数大于中位数
6． 某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图表．则下列说法错误的是（ ）
A．丁险种参保人数超过五成B．41岁以上参保人数超过总参保人数的五成
C．18－29周岁人群参保的总费用最少D．人均参保费用不超过5000元
7． 如图，在斜四棱柱中，，，，则（ ）
A．B．C．D．
8． 定义两个向量与的向量积是一个向量，它的模，它的方向与和同时垂直，且以，，的顺序符合右手法则（如图），
在棱长为2的正四面体中，则 （ ）
A．B．4
C．D．
二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9． 下列命题中正确的是（ ）
A．若A，B，C，D是空间任意四点，则有
B．若向量，，满足，则
C．空间中任意三个非零向量都可以构成空间一个基底
D．对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若（其中，，，
且），则P，A，B，C四点共面
10．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（ ）
A．乙发生的概率为B．丙发生的概率为
C．甲与丁相互独立D．丙与丁互为对立事件
11．如图，正方体的棱长为2，E，F分别是，的中点，点P是底面内
一动点，则下列结论正确的为（ ）
A．存在点P，使得平面
B．当P为中点时，过E，F，P三点的平面截正方体所得截面图形
的面积为
C．三棱锥的体积为
D．当P在棱上时，若为，三棱锥外接球表面积为
第II卷（非选择题，共92分）
注意事项：
（1）非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后，再用0.5毫米黑色签字笔描写清楚，答在试题卷和草稿纸上无效。
（2）本部分共8个小题，共92分。
三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分。
12．已知向量，向量，则在方向上的投影向量的坐标为_______________．
13．某学校新学期开设了丰富的社团供新生选择，高一年级甲同学对理科学社和十三月音乐社产生了浓厚的兴趣．若甲加入理科学社的概率为0.7，加入十三月音乐社的概率为0.3，两个都加入的概率为0.21，则甲只加入其中一个社团的概率为_______________．
14．已知正三棱柱的底面边长为2，是的中点，若线段上有一点，使得
，则侧棱长的取值范围是_______________．
四、解答题：本大题共5个小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求角A的大小；
（2）若，△ABC的周长为，求△ABC的面积．
16．（本小题满分15分）
如图，在三棱柱中，，，
平面．
（1）求证：；
（2）若，直线与平面所成的角为，求平
面与平面所成锐二面角的余弦值．
17．（本小题满分15分）
2025年春节期间，国产电影《哪吒之魔童闹海》凭借其震撼的特效、生动的情节与深刻的思想使票房一路攀升，于2025年2月6日登顶中国影史票房榜，根据网络平台数据，截至2025年5月5日，总票房（含港澳台和海外票房）已超158.24亿元，排名全球影史票房第五，是登顶全球动画电影票房榜的亚洲电影．某影院为了解观看该影片的观众的年龄结构，随机抽取了100名观众作为样本，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中a的值以及计算第85百分位数；
（2）若样本中年龄在［0，10）的观众年龄的平均数是6，方差是2，年龄在［50，60）的观众年
龄的平均数是57，方差是5，求这两组样本总的平均数和方差；
（3）为进一步了解观众的年龄结构，现采用按比例分层随机抽样的方法从年龄位于分组［40，50），［50，60）的观众中抽取5人，再从中任选2人进行调查，求2人年龄均在［40，50）的概率．
18．（本小题满分17分）
某校为了厚植文化自信、增强学生的爱国情怀，特举办“中国诗词精髓”知识竞赛活动，比赛中只有A，B两道题目，比赛按先A题后B题的答题顺序各答1次，答对A题得2分，答对B题得3分，答
错得0分．已知学生甲答对A题的概率为，答对B题的概率为，其中，，学生乙
答对A题的概率为，答对B题的概率为，且甲、乙各自在答A，B两题的结果互不影响．
（1）若甲比赛后得5分的概率为，得3分的概率为．
① 求，的值；
② 在此情况下，求比赛后甲、乙总得分不低于8分的概率．
（2）记甲、乙总得分为5分的概率为，甲、乙总得分为10分的概率，若，试比较
与的大小．
19．（本小题满分17分）
如图所示，在直角梯形中，，，，分别是，上的点，且， ，（），，将四边形沿向上翻折，连接，，，在翻折的过程中，设（），记几何体的体积为．
（1）求证：平面；
（2）若平面平面．
① 求证：；
② 当取得最大值时，求的值．
数 学 试 题 参 考 答 案
一、选择题：本大题共11个小题，第1～8题每小题5分，第9～11题每小题6分，共58分。
二、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分。
12．（1，0）13．0.58（或）14．［1，+ ∞）
三、解答题：本大题共5个小题，共77分。
15．（本小题满分13分）
解：（1）由正弦定理可得：，
即：，
因为，所以，由得：．
（2）因为，的周长为，所以，
由余弦定理可得：，
所以，即的面积：．
16．（本小题满分15分）
解：（1）因为，，且，所以四边形为菱形，则,
又因为平面，平面，
所以，又，、平面，所以平面，
又平面，所以．
（2）（方法一）因为平面，
所以直线与平面所成的角为，即，
因为平面，平面，则，则，
令，由四边形为菱形，，则是边长为的等边三角形，
所以，，，，
因为平面，，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、，
则，，
设平面的法向量，
则，取，则，，故，
易知平面的一个法向量为，
，
故平面与平面的夹角余弦值为．
（方法二）因为平面，
所以直线与平面所成的角为，即，
因为平面，平面，则，则，
令，由四边形为菱形，，则是边长为的等边三角形，
所以，，，，
所以，，
取中点，连接、，
等腰直角中，且，
由勾股定理得，
因为，则，且，
因为，，平面平面，
所以平面与平面的夹角即，
在中，，，，则，即，
，故平面与平面的夹角余弦值为．
17．（本小题满分15分）
解：（1）由题意可得，解得，
由频率分布直方图可知的频率为，而的频率为，
所以第85百分位数在区间内，设第85百分位数为，
则，解得，
所以第85百分位数为．
（2）由频率分布直方图可知的频率为，的频率为，
所以，
．
（3）由频率分布直方图可知年龄为，的两组观众频率之比为：，
所以按比例用分层随机抽样的方法抽取5人，
则年龄在中的观众应抽取4人，年龄在中的观众应抽取1人；
记的四名学生编号为1、2、3、4，记的一名学生编号为5，
则选出两名学生的可能结果为12，13，14，15，23，24，25，34，35，45，共10种；
设事件“抽到的两名学生的年龄都来自”，
则事件包含的样本点有12，13，14，23，24，34，共6种，
所以两名学生的年龄均在的概率．
18．（本小题满分17分）
解：（1）由题意得，
解得，．
（2）比赛结束后，甲、乙个人得分可能为0，2，3，5，
记甲得分为i分的事件为，乙得分为i分的事件为，
，相互独立，
记两轮投篮后甲总得分不低于8分为事件E，
则，且，，彼此互斥，
易得，，
，，
所以
，
所以两轮投篮后，甲总得分不低于8分的概率为．
（3）记甲得分为分的事件为，乙得分为分的事件为，
、、、两两互斥，
则
，
，
，
因为，，，
所以，当且仅当时取等号，
所以，
即．
19．（本小题满分17分）
解：（1）证明：根据题意可知，，
因为平面，平面，所以平面，
同理，因为平面，平面，所以平面，
又因为是平面内的两条相交直线，所以平面平面，
因为平面，所以平面．
（2）①证明：过点作交于点，
因为平面平面，平面平面，所以平面．
又因为平面，则；
根据题意，平面图形翻折后，，
且是平面内两条相交直线，
所以平面，又，得平面．
又平面，则，
因为是平面内两条相交直线，所以平面，
因为平面，所以．
②方法一：
直角梯形中，，，且，
由①可知平面，
由（1）可知由题意平面平面，
所以到底面的距离为，
在中，设点到的高，即，
因为平面，所以，
因为，所以平面，
设点到底面的高为，
在中，根据三角形的面积公式，∴；
几何体的体积为
；
取的中点，连接，
因为，所以四边形是平行四边形，所以，
因为平面，所以平面，又因为平面，所以，
在中，，
在中，，
在中，，∴，化简得到，
因为，所以，当且仅当时等号成立，
故当取得最大值时，即取得最小值，，
所以几何体体积．
方法二：
直角梯形中，，且在平面上，
由①可知平面，
由（1）可知由题意平面平面，
所以点到底面的距离为，
在中，设点到的高，即，
因为平面，所以，
因为，所以平面，
设点到底面的高为，
在中，根据三角形的面积公式，∴．
几何体的体积为
．
过点作的垂线交直线于，分别以为轴正方向建立空间直角坐标系，
则，
，
设平面的法向量为，
，
令，可得，
，设平面的法向量为，
，
令，可得，
因为平面平面，所以，化简得到，
因为，所以，当且仅当时等号成立，
故当取得最大值时，即取得最小值，，
所以几何体体积．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
B
D
C
D
C
B
A
A
AD
ACD
ABD