2026年四川省南充市营山县初中学业水平第一次模拟考试数学试题（含解析）

这是一份2026年四川省南充市营山县初中学业水平第一次模拟考试数学试题（含解析），共6页。试卷主要包含了 若是直线上一动点，等内容，欢迎下载使用。
（时间120分钟，满分150分）
注意事项：
1.答题前将姓名、准考证号等填在答题卡指定位置；
2.所有解答内容均需涂、写在答题卡上；
3.选择题须用2B铅笔将答题卡相应题号对应选项涂黑，若需改动，须擦净另涂；
4.填空题、解答题在答题卡对应题号位置用0.5毫米黑色字迹笔书写．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）每小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的．请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置，填涂正确记4分，不涂、错涂或多涂记0分．
1. 五个有理数在数轴上的对应点E，F，G，H，M的位置如图所示，点G表示的数的相反数所对应的点是（ ）
A. FB. GC. HD. M
【答案】B
【解析】
【分析】先确定表示的数，再根据相反数的定义求出其相反数，最后在数轴上找到对应的点即可．
【详解】解：由数轴可知，点表示的数为，
的相反数是，
点表示的数的相反数所对应的点仍然是点．
2. 如图，直线，点A、B分别在直线n、m上，连接，过点作，交直线于．若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】平行线的性质和直角三角形的性质．根据垂直定义得到，利用平行线性质“两直线平行，内错角相等”得到，即可求出的度数．
【详解】解：，
，
∵，，
∴，
∴，
故选：B．
3. 下列说法正确的是（ ）
A. 数据“3，5，4，1，5”的众数是5
B. 为了解一批灯泡的使用寿命，适合用全面调查
C. 两组数据的平均数相同，方差越大，说明数据的波动越小
D. 海底捞月是必然事件
【答案】A
【解析】
【分析】根据众数的定义求出数据3，5，4，1，5的众数为5，可判断A选项；根据普查的和抽样调查的特点，即可判断B选项；根据方差越小越稳定可判断C选项；根据必然事件的定义可判断D选项．
【详解】解：A、数据“3，5，4，1，5”中，5出现的次数最多，该组数据的众数是5，故A正确；
B、调查灯泡的使用寿命具有破坏性，适合抽样调查，不适合全面调查，故B错误；
C、根据方差的意义，两组数据平均数相同时，方差越大，数据的波动越大，故C错误；
D、海底捞月不可能发生，属于不可能事件，不是必然事件，故D错误．
4. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】按照积的乘方与幂的乘方运算法则逐步计算即可得到结果．
【详解】解：由题意得，
．
5. 《九章算术》有一道题目，其译文如下：若两人坐一辆车，则九人需要步行；若三人坐一辆车，则有两辆空车．问人与车各多少？设有辆车，有人，下面所列方程（组）正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据总人数不变，分别从两种乘车情况中提取等量关系，列出方程组后即可判断正确选项．
【详解】解：设有辆车，有人，
根据题意得：y=2x+9y=3(x−2)．
6. 如图，在中，的垂直平分线交于，连接，点是的中点，连接．下列结论不正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由垂直平分线得到，由，点是的中点，结合斜边中线的一半得到，据此逐个判断即可．
【详解】解：∵的垂直平分线交，
∴，
∴，，故B选项结论正确，不符合题意；
∵，点是的中点，
∴，故A选项结论正确，不符合题意；
∴，故D选项结论正确，不符合题意；
∵，
∴，
∴不一定成立，故C选项结论不正确，符合题意；
7. 如图，是的弦，连接，，是所对的圆周角，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆周角定理可得，结合三角形内角和定理，可证明，再根据等腰三角形的性质可知，由此即得答案．
【详解】解：是所对的圆周角，是所对的圆心角，
，
，
，
，
，
，
，
．
8. 已知实数a，b满足，且，则的值是（ ）
A. 2B. C. 1D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知，进行计算可得．再根据，可得，将其代入即可求解．
【详解】解：由题意得，
，
∵，
∴，
∴
解得，
将代入得，
．
9. 如图，矩形的对角线、相交于点，点为边的中点，连接，连接交于点．若，则的长是（ ）
A. 6B. C. 5D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据矩形的性质得到是的中位线，即可得到，，即可得到，根据对应边成比例求出的长，进而即可解答．
【详解】解：∵四边形是矩形，
，，
又点是的中点，
是的中位线，
，，
，，
，
，
，
，
．
10. 若是直线上一动点，（是实数）是坐标平面内一动点，则线段长度的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】是直线上的动点，Bm,m2+m−2的运动轨迹是，作直线的平行线，当与抛物线只有唯一交点时，两平行线间的距离即为线段长度的最小值，即可求解．
【详解】解：Bm,m2+m−2的运动轨迹是，直线与轴交点为，与轴交点为，
∴，
∴，
作直线的平行线，
∴当与抛物线只有唯一交点时，两平行线间的距离即为线段长度的最小值，
设与轴交点为，过作于，则BG=−k−−4=4−k，
∴，
∴，AB=22BG=224−k，
联立y=x−ky=x2+x−2整理得，
∵与抛物线只有唯一交点，
∴，解得，
∴AB=22BG=224−k=22×4−2=2，
即线段长度的最小值为．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡对应的横线上．
11. “先看到闪电，后听到雷声”那是因为在空气中光的传播速度比声音快．光在空气里的传播速度约为300000000米/秒，用科学记数法表示为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为，其中，为正整数，解题关键是正确确定和的值．
【详解】对于绝对值大于的数，的值等于原数的整数位数减，是位整数，可得，，因此．
12. 从不等式组的所有整数解中任意抽取一个数，它是偶数的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】先解不等式组得到所有整数解，再根据概率公式计算所求概率．
【详解】解：x≥1①3−x>−2②，
由①得：，
由②得：，即，
不等式组的解集为，
不等式组的整数解为：，共个，
其中偶数为，共个，
任意抽取一个数，它是偶数的概率是．
13. 在平面直角坐标系中，把点先向右平移2个单位，再向下平移3个单位长度得到点．若点的横坐标与纵坐标相等，则的值为______．
【答案】
7
【解析】
【分析】根据点平移的坐标变化规律：左减右加，上加下减，得到点的坐标为(4,m−3)，再根据点的横坐标与纵坐标相等，可得即可求解．
【详解】解：点先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点的坐标为(4,m−3)，
点的横坐标和纵坐标相等，
∴m−3=4，
解得：．
14. 如图，以的顶点为圆心，以适当的长为半径画弧交于，交于，再分别以点A、B为圆心，以长为半径画弧，两弧相交于点，连接、、、．若，四边形的面积为15，则的长为______．
【答案】3
【解析】
【分析】先证明四边形是菱形，再根据菱形的面积为15和，进行求解即可．
【详解】解：设与相交于点D，如图：
由题意得，，
四边形是菱形，
∵菱形的面积为15，
∴
解得．
15. 如图，经过坐标原点的直线与双曲线分别在第一象限和第三象限相交于点A、B，轴，于点．若，点的横坐标为，则的值为______．
【答案】5
【解析】
【分析】由点，直线过原点，得与关于原点对称，即．由轴、，得．计算、，由列方程，可得，代入中即可计算．
【详解】解：∵点在双曲线上，横坐标为，
∴，
由题意得，过原点的直线与双曲线的交点关于原点对称，
∴，
∵轴，
∴的横坐标与相同，为；
∵，
∴C的纵坐标与相同，为，即，
∴；，
∵，
∴
∴，
将代入，得
．
本题核心是反比例函数的中心对称性与整体代换思想，利用对称求坐标，列方程得到，整体代入求值，避免求解，简化计算．
16. 如图，点是边长为的正方形的边上一动点（不与、重合），连接，以为腰向右作等腰与交于点，连接，分别与、相交于点、，连接、．给出下列四个结论：①；②是等腰直角三角形；③若，则；④连接的最小值为．其中正确的结论是______．（填写序号）
【答案】②④##④②
【解析】
【分析】设，根据题意可得，，根据是动点，即可判断①；证明四点共圆，得出即可判断②；解，求得，进而可得，根据直角三角形中斜边大于直角边，即可判断③，先证明，根据轴对称的性质得出的最小值为的长，进而勾股定理，即可求解．
【详解】解：设，在正方形中，，即,
∴，
当时，，而是动点，故不一定成立，故①错误；
∵是等腰直角三角形，
∴，
又∵，
∴四点共圆，
∴，
∴是等腰直角三角形，故②正确；
∵正方形边长为，
∴，则
∴
又∵在中，是斜边，
∴，即，故③错误；
如图，在上取点，使AS=CE，连接，则是等腰直角三角形，
∴
∵AS=CE，，，
∴△SAE≌△CEHSAS，
∴
∴
作点关于的对称点，连接，则，，
∴
∴共线，
此时的最小值为的长，
在中，
∴，故④正确
三、解答题（本大题共9个小题，共86分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据单项式乘以多项式和完全平方公式的运算法则进行求解即可；
（2）先计算特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，再根据实数的运算法则求解即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
18. 如图，在中，为的中线，以点为圆心，以长为半径画弧，与、分别交于点E、F，连接、．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明见解析
（2）的度数为
【解析】
【分析】（1）根据三线合一得出．由作图知：．由可证明；
（2）由等腰三角形的性质求出，由作图知：．得出，进而利用三角形内角和即可得出答案．
【小问1详解】
证明：，为的中线，
．
由作图可得．
在和中，
AE=AF,∠BAD=∠CAD,AD=AD,，
；
【小问2详解】
解：，为的中线，
，
∵，
，
由作图可得，
又，
∴．
19. 为了解中考体育科目训练情况，某市从全市九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）图1中度数是______，并把图2条形统计图补充完整；
（2）测试老师想从4位同学（分别记为E，F，G，H，其中E为小明）中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树形图的方法求出选中小明的概率．
【答案】（1），图见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，列表法求概率：
（1）级人数除以所占的比例求出总数，360度乘以级人数所占的比例求出度数，求出级人数，补全条形图 即可；
（2）列出表格，利用概率公式进行计算即可．
【小问1详解】
解：（人）；
；
级人数为：（人），补全条形图如图：
【小问2详解】
由题意，列表如下：
共12种等可能的结果，其中选中小明的结果有6种，
∴．
20. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求实数的取值范围；
（2）若，求实数的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系的应用．
（1）问根据方程有两个不相等的实数根，得到判别式，建立关于的不等式求解范围．
（2）问利用完全平方公式变形将转化为(x1+x2)2−4x1x2，结合根与系数的关系代入，得到关于的一元二次方程，再结合第(1)问得到的范围舍去不符合的解，得到的值．
【小问1详解】
解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴Δ=(−4)2−4×1×m+1>0，
解得；
【小问2详解】
解：对于一元二次方程，由根与系数的关系可得，，
∵(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2，(x1−x2)2=−m2+9，
∴42−4m+1=−m2+9，
整理得，
解得，
由（1）得
舍去，
因此．
21. 如图，直线与双曲线相交于，两点，与轴交于点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求点的坐标；
（3）若点与点关于轴对称，求的面积．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）将代入计算即可；
（2）将直线与双曲线联立求解即可；
（3）先求出，再根据轴对称的性质得到，可知，根据三角形面积公式计算即可．
【小问1详解】
解：将代入得，
解得：，
∴；
【小问2详解】
解：将直线与双曲线联立得，
解得：，
经检验，均为原分式方程的解，
当时，，
∴；
【小问3详解】
解：当时，，
∴，
∵点与点关于轴对称，
∴，
∴，
∴的面积．
22. 如图，点P是外一点，交于点．
（1）请用尺规按下列步骤作图：（不写作法，保留作图痕迹）
①画线段的垂直平分线，交于点；②在上找一点（点在）上方，使；③画射线．
（2）求证：是的切线；
（3）在（1）（2）问的条件下，若，求点C到的距离．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）①分别以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，分别在上方和下方交于两点，过这两点作直线，交于点A即可；②以点为圆心，的长为半径画弧，在上方与交于点，连接即可；③由射线的定义作图即可；
（2）连接，易证，得到∠P=∠ACP,∠ACO=∠AOC，根据三角形内角和定理可得∠P+∠ACP+∠ACO+∠AOC=180°，进而得到，即可证明；
（3）过点作CG⊥PO于点，易证∠PCG=∠POC，由cs∠POC=cs∠PCG=CGPC=1010，求出，即可解答．
【小问1详解】
解：①如图所示：的垂直平分线，点为所求：
②如图所示：点，为所求：
③如图所示：射线为所求：
【小问2详解】
证明：连接，
由作图知，，
∵，
∴，
∴∠P=∠ACP,∠ACO=∠AOC，
∵∠P+∠ACP+∠ACO+∠AOC=180°，
∴2∠ACP+∠ACO=180°，即，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
【小问3详解】
解：过点作CG⊥PO于点，
∵，，
∴∠P+∠PCG=∠P+∠POC=90°，
∴∠PCG=∠POC，
∵，
∴cs∠POC=cs∠PCG=CGPC=1010，
∴，
∴点C到的距离为．
23. 研究背景：某校数学兴趣小组到蔬菜基地了解某种有机蔬菜的销售情况，并利用所学的数学知识对基地的蔬菜销售提出合理化建议．
材料一：某种蔬菜的种植成本为每千克10元，经过市场调查发现，该蔬菜的日销售量y（千克）与销售单价x（元）是一次函数关系；
材料二：该种蔬菜销售单价为12元时，日销售量为1800千克；销售单价为15元时，日销售量为1500千克．
（1）任务一：建立函数模型
求y与x的函数表达式及自变量的取值范围；
（2）任务二：设计销售方案
设该种蔬菜的日销售利润为w（元），市场监督管理部门规定，除去每日其他正常开支总计1000元外，该蔬菜销售单价不得超过每千克18元，请求出最大日销售利润．
【答案】（1）
，自变量取值范围为；
（2）
最大日销售利润为8600元．
【解析】
【分析】（1）设y与x的函数表达式为，将点代入，利用待定系数法求解即可；
（2））根据题意，可得w=x−10−100x+3000−1000，整理可得w=−100x−202+9000，结合二次函数的图像与性质，即可获得答案．
【小问1详解】
解：设y与x的函数表达式为，
将点代入，
可得，
解得，
∴y与x的函数表达式为，
∵销售单价不低于成本价，
∴，
又∵，
∴，
∴自变量的取值范围为；
【小问2详解】
根据题意，可得w=x−10−100x+3000−1000
，
∵，
∴该函数图像开口向下，且对称轴为，
又∵该蔬菜销售单价不得超过每千克18元，
∴当时，日销售利润取最大值，
此时w最大=−100×18−202+9000=8600（元），
答：最大日销售利润为8600元．
24. 按要求解决问题：
（1）证明推断：如图1，在正方形中，点分别在边上，于点，点分别在边上，．求的值；
（2）类比探究：如图2，在矩形中，（k为常数）．将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，交于点，连接交于点．试探究与之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用：连接，在（2）的条件下，当时，若，求的长．
【答案】（1）
（2），理由见解析；
（3）
【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质，垂直的定义证明，再证明四边形是平行四边形，从而得出，即可求解；
（2）根据题意可证，得到，结合题意得到四边形是矩形，，由此即可求解；
（3）作交的延长线于．利用角的正切值，设，，在中，利用勾股定理列方程，证明，从而求出、的长，最后再利用勾股定理求解即可．
【小问1详解】
证明：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，即，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：，理由如下：
如图2中，作于，
由折叠可知，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：如图，作交的延长线于．
∵，
∴，
∴，
∴设，，则，
∴，
由（2）可知，，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴或（舍弃），
∴，，，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴．
25. 如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，顶点为，连接．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在图1中，连接并延长交的延长线于点，求证：；
（3）如图2，若动直线与抛物线交于M、N两点（直线与BC不重合），连接、，直线与交于点．当时，点P的横坐标是否为定值，请说明理由．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）定值3
【解析】
【分析】（1）把代入列方程计算即可；
（2）由，，可得，，则，再根据顶点，得到，则，证明△BCD∽△COA，得到，最后根据，得到；
（3）直线解析式为，则直线解析式为，设，，联立直线与抛物线根据根与系数关系得到，直线解析式为，联立直线与抛物线解析式得到； 同理由直线与抛物线交于，，可得，结合，得到，最后代入点P的横坐标计算即可．
【小问1详解】
解：把代入
得0=4a−2b−60=36a+6b−6，
解得，
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：令，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴顶点，
连接，
∴CD2=22+−6+82=8，BC2=62+−62=72，BD2=6−22+−8−02=80，
∴，
∴，
∵，，
∴，即CDOA=BCOC，
∵，
∴△BCD∽△COA，
∴，
∵，
∴；
【小问3详解】
解：点P的横坐标为定值，理由如下：
∵，
∴设直线解析式为，
代入得，解得，
∴直线解析式为，
∵，
∴设直线解析式为，
设，，
∵直线与抛物线交于M、N两点，
∴联立y=x+b1y=12x2−2x−6得，
∴，，
∵，
∴设直线解析式为，
∴设直线解析式为，
把代入解析式得0=6k2+b2，
解得：b2=−6k2，
∴直线解析式为y=k2x−6，
∵直线与交于点，
∴联立y=k1x−6y=k2x−6，解得，
∵直线与抛物线交于，，
联立y=k1x−6y=12x2−2x−6得，解得，
∴，
同理由直线与抛物线交于，，可得，
∵，
∴，
整理得
∴xP=6k2−6k2−k1=6k2−6k2−2−k2=6k2−62k2−2=3，
∴点P的横坐标为定值．
E
F
G
H
E
E，F
E，G
E，H
F
F，E
F，G
F，H
G
G，E
G，F
G，H
H
H，E
H，F
H，G